Operações com Matrizes

Resumo Completo

Introdução às Matrizes

Esse capítulo você já deve ter visto no Ensino Médio. Vamos relembrar algumas coisas e acrescentar outras, então fique atento ao que parecer novo para você.

Uma matriz A m × n é uma “tabela” de m linhas e n colunas.

O elemento da matriz A que está na linha i e coluna j é indicado por a i j . Isto é, a 12 é o elemento da primeira linha e segunda coluna. Veja:

A m × n = a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22   a 2 n         a m 1 a m 2   a m n  

A novidade em Álgebra Linear é que começaremos a tratar as colunas e as linhas das matrizes como vetores! Por exemplo, podemos considerar a primeira linha da matriz A acima como um vetor a 1 = ( a 11 ,   a 12 , ,   a 1 n ) , pertencente ao R n .

Igualmente, podemos considerar a última coluna da matriz como sendo um vetor a n = ( a 1 n ,   a 2 n , ,   a m n ) , pertencente ao R m (pois tem m componentes). Enfim, faremos isso constantemente daqui para frente, então não fique confuso!

Tipos de Matrizes

Vamos começar vendo alguns tipos de matrizes:

Matriz nula: é a matriz em que todos os seus elementos são nulos (ou seja, é uma matriz que possui apenas zeros). É indicada por O m × n . Veja um exemplo:

O 2 × 3 = 0 0 0 0 0 0

Matriz quadrada de ordem n : é uma matriz com a mesma quantidade de linhas e colunas ( n ). Por exemplo, a seguinte matriz é uma matriz quadrada de ordem 3:

M 3 × 3 = 2 3 1 0 0 1 4 6 - 9

Diagonal principal: A diagonal principal é formada pelos elementos a 11 , a 22 , ,   a n n , ou seja, os elementos a i j tais que i = j . A diagonal principal de uma matriz quadrada une o seu canto superior esquerdo ao canto inferior direito. Por exemplo a matriz a seguir tem todos os elementos da diagonal principal igual a 1 :

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Já a diagonal principal de uma matriz retangular é a diagonal que parte do canto superior esquerdo e segue a direita e abaixo até encontrar o lado direito ou o lado inferior da matriz, como nos exemplos a seguir:

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0                                         1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

Traço: é a soma dos elementos da diagonal principal. Não se esqueça disso! Por exemplo, o traço de M , no exemplo anterior, é dado por:

M = 2 3 1 0 0 1 4 6 - 9

tr M = 2 + 0 - 9 = - 7 .

Matriz identidade de ordem n : (denotamos por I n ou I d n ) é a matriz onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e o restante é igual a zero.

É o elemento neutro da MULTIPLICAÇÃO, ou seja qualquer matriz multiplicada pela identidade de mesma ordem é igual a ela mesma, assim como 2.1 = 2 .

Veja os exemplos:

I 2 = 1 0 0 1 ,   I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ,   I 4 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ,

Matriz triangular superior: é uma matriz que possui o elemento a i j = 0 para todo i > j . Basta que tenha apenas zeros abaixo de sua diagonal principal.

Por exemplo, toda matriz triangular superior 4 × 5 é da seguinte forma:

K 4 × 5 = a b c d e 0 f g h i 0 0 j k l 0 0 0 m n

Não importa se alguma das letras for zero também, o que importa é que tem que ter zero no lugar indicado!!!

Analogamente temos:

Matriz triangular inferior: Que funciona quase igual à superior, só que ela possui os elementos a i j = 0 para todo i < j . Ou seja, tem apenas zeros em cima da diagonal principal. Por exemplo:

L 4 × 5 = a 0 0 0 0 b c 0 0 0 d e f 0 0 g h i j 0

Matriz diagonal: é uma matriz que possui a i j = 0 para todo i j . Basta que que todos os elementos fora da diagonal principal sejam 0. Os da diagonal principal podem ser qualquer coisa. Olhe só:

1 0 0 6 ,   1 0 0 0 9 0 0 0 - 2 ,   1 0 0 3 0 0

Agora que você já conhece os diferentes tipos de matrizes, vamos às operações!

Operações entre Matrizes

As operações entre matrizes são bem parecidas com as operações entre vetores. Na verdade SÃO IGUAIS!

Quando você somava vetores, era só somar elemento por elemento. É igual com as matrizes:

1 0 2 - 1 4 8 + 4 3 0 5 9 - 7 = 1 + 4 0 + 3 2 + 0 - 1 + 5 4 + 9 8 - 7 = 5 3 2 4 13 1

Quando você multiplicava vetores por um escalar, era só multiplicar cada componente. É igual! Vamos multiplicar a identidade por 3 para exemplificar:

3 I 2 = 3 1 0 0 1 = 3 1 3 0 3 0 3 1 = 3 0 0 3

Para multiplicar duas matrizes é um pouquinho diferente, e exige algumas restrições. Vamos ver quais são elas:

Podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Resumindo, eu posso multiplicar uma 2 × 3 com uma 3 × 4 , pois a primeira tem 3 colunas e a segunda tem 3 linhas. Mas eu não posso fazer o contrário!

Eu não posso multiplicar uma 3 × 4 com uma 2 × 3 porque a primeira tem 4 colunas e a segunda tem 2 linhas.

Um detalhe: EM GERAL, o produto de matrizes é não-comutativo, ou seja,

A B diferente! B A

Isso vai acontecer pra maioria dos casos. Mas cuidado, podem ter matrizes cuja ordem de multiplicação não importe.

O resultado do produto de matrizes será uma outra matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Olha uns exemplos:

A 2 × 3 B 3 × 4 = C 2 × 4  

A 3 × 1 B 1 × 2 = C 3 × 2  

A 2 × 3 B 2 ? ? × 4 = impossível!

A 2 × 4 B 4 × 2 = C 2 × 2  

A 2 × 4 B 2 ? ? × 4 = impossível!

Basta você esquecer os índices que estão pertos, e juntar os das extremidades!

A 2 × 3 B 3 × 4 = C 2 × 4  

Entendeu? Já conseguimos saber quando dá pra multiplicar, só falta como multiplicar, né?

É assim: para a multiplicação A B = C você deve multiplicar as colunas da matriz B pelas linhas da matriz A , multiplicando o primeiro elemento da coluna de B pelo primeiro elemento da linha de A , o segundo da coluna de B com o segundo da linha de A e assim por diante. Depois, é só somar tudo!

Quer um passo a passo? Taí!

  • Fixe a primeira coluna da matriz B
  • Multiplique a coluna pela primeira linha de A para obter o elemento c 11
  • Multiplique a coluna pela segunda linha de A para obter o elemento c 21
  • Multiplique a coluna pela m-ésima linha de A para obter o elemento c m 1
  • Fixe a segunda coluna da matriz B
  • Multiplique a coluna pela primeira linha de A para obter o elemento c 12
  • Multiplique a coluna pela segunda linha de A para obter o elemento c 22
  • Multiplique a coluna pela m-ésima linha de A para obter o elemento c m 2
  • Ahhh você entendeu né? Agora vá fixando as colunas de B e repetindo os passos a cima.

Vou dar um exemplo para você entender melhor. Olha só essas matrizes:

A = 2 1 0 3 1 2 ,   B = 4 3 1 5 - 1 0

Dá pra multiplicar?

Vamos ver: a primeira é 2 × 3 e a segunda é 3 × 2 . Então dá sim!

A 2 × 3 B 3 × 2 = C 2 × 2

Então, o resultado da multiplicação A B será uma matriz quadrada 2 × 2 .

C 2 × 2 = c 11 c 12 c 21 c 22

Para achar c 11 , devemos multiplicar a 1ª coluna de B e a 1ª linha de A :

A multiplicação deve ser feita tal que o primeiro elemento da coluna de B multiplique o primeiro elemento da linha de A , e assim por diante, assim como mostram as setas! Então, c 11 deve ficar:

c 11 = 4.2 + 1.1 - 1.0 = 9

Para achar c 21 , devemos multiplicar a 1ª coluna de B e a 2ª linha de A :

c 21 = 4.3 + 1.1 - 1.2 = 11

Para achar c 12 , multiplicamos a 2ª coluna de B e a 1ª linha de A :

c 12 = 3.2 + 5.1 + 0.0 = 11

Para achar c 22 , deveremos multiplicar a 2ª coluna de B a 2ª linha de A :

c 22 = 3.3 + 5.1 + 0.2 = 14

Aí temos a nossa matriz C ! =D

C = A B = 9 11 11 14

Talvez você até ache complicado, mas depois de um tempo, você faz bem rápido, fica automático.

Nesse exemplo que eu dei, A B é 2 × 2 , mas B A é 3 × 3 !!!! Confira (aproveite e calcule B A se quiser treinar mais!).

Transposição de Matrizes

Isso aqui é essencial, dá só uma olhada!

Vamos formar um matriz B 3 × 4 :

B = 1 0 2 - 1 1 0         0 0 4 1 π 2

Uma matriz transposta é montada basicamente trocando as colunas com as linhas na matriz original. Assim, a matriz transposta de B é:

B T = 1 2 1 0 0 - 1 4 0 π 0 1 2

Percebeu que a ordem também inverteu? B era 3 × 4 e agora B T é 4 × 3 .

Também existem algumas operações relacionadas à transposição de matrizes que é bom saber:

1) B T T = B

2) A + B T = A T + B T

3) A B T = B T A T   (NÃO ESQUEÇA DESSA PROPRIEDADE!!!)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Miguel Jorge, Thales do Couto, Felipe da Silva, Ralph Teixeira., Matemática para o Ensino Médio – volume II , Rio de Janeiro, Editora brasil, Página 260, 2010 exemplo IV

Seja A = 1 2 3 3 1 0 e B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , calcule A B .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom esta questão da pra resolver sem fazer conta!

Primeiro de tudo, como A 2 × 3 e B 3 × 3 , podemos multiplicar e a nova matriz será 2 × 3 .

Passo 2

Você pode tentar calcular do jeito normal, mas lembre-se que essa matriz B é a identidade! E como propriedade temos que qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma logo, A B = A .

Resposta

A B = A .

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Miguel Jorge, Thales do Couto, Felipe da Silva, Ralph Teixeira., Matemática para o Ensino Médio – volume II , Rio de Janeiro, Editora brasil, Página 260, 2010, exemplo ii

Dadas as matrizes A = 1 2 3 2 0 1 e B = 2 - 1 0 3 1 2 , calcular A B .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeira coisa: vamos ver se dá para multiplicar as matrizes. Como A 2 × 3 e B 3 × 2 , é possível efetuar a multiplicação. Então podemos perceber que ao fazermos A B obtemos A B = C 2 × 2 .

Passo 2

Vamos efetuar a multiplicação lembre-se basta multiplicar as colunas de B pelas linhas de A :

A primeira coluna de C é:

a 11 = 1.2 + 2.0 + 3.1 = 5

a 21 = 2.2 + 0.0 + 1.1 = 5

Passo 3

A segunda coluna de C é:

a 12 = 1 . - 1 + 2.3 + 3.2 = 11

a 22 = 2 . - 1 + 0.3 + 1.2 + 0

Resposta

C = a 11 a 12 a 21 a 22 = 5 11 5 0

Exercício Resolvido #3

Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P1, 2014.2, Questão 8

Existe apenas uma forma de se fazer o produto das 3 matrizes abaixo:

A = 2 - 2 4 1 ,   B = 2 1 1   e   C = 2 - 2 4 2 - 2 4

Descubra qual a ordem dos fatores, multiplique-os e assinale o resultado correto:

( a ) 4 2 2 2 1 1 2 1 1

( b ) 4 - 4 8 2 - 4 4 - 8 - 2 8 - 8 16 4 2 - 2 4 1

( c ) 12 - 12 24 6 12 - 12 24 6

( d ) 6 6

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, sabemos que para multiplicar matrizes elas tem que se “encaixar” certinho. Temos que achar a única forma que essas três aí se encaixam. Vamos ver:

A 1 × 4 ,   B 3 × 1   e   C 2 × 3

O jeito mais fácil é procurarmos a matriz que vai ficar no meio! Ela tem que ter o número de linhas igual o número de colunas de alguma matriz. E também tem que ter o número de colunas igual ao número de linhas da outra matriz que sobrou. Analisando isso chegamos na matriz B ! Se liga:

C 2 × 3 B 3 × 1 A 1 × 4

Passo 2

Beleza, agora a gente podia seguir a sugestão do enunciado e multiplicar as matrizes, mas como não podemos ficar perdendo tempo de prova vamos ser espertos e perceber que a matriz resultante será 2 × 4 !! Para vermos isso, é só pegarmos os números que ficaram nas pontas do produto:

C 2 × 3 B 3 × 1 A 1 × 4

A única resposta com matriz 2 × 4 é a da letra c então matamos a questão aí.

Resposta

Letra ( c )

Exercício Resolvido #4

Enunciado

José Luiz Boldrini, Sueli I. Rodrigues Costa, Vera Lúcia Figueiredo e Henry G. Wetzler, Álgebra Linear, 3 a ed. Rio de Janeiro, HARBRA, 1980, pp. 13 – 2.

Seja A = 2 x 2 2 x - 1 0 . Se A T = A , então x = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, o primeiro passo é achar a matriz transposta, ou seja, trocar as linhas e colunas de lugar.

A T = 2 2 x - 1 x 2 0

Passo 2

Agora vamos igualar as matrizes. Para elas serem iguais é preciso que todos os seus respectivos elementos sejam iguais.

A T = A

2 x 2 2 x - 1 0 = 2 2 x - 1 x 2 0

Vamos igualar elemento por elemento:

2 = 2

2 x - 1 = x 2

x 2 = 2 x - 1

0 = 0

A primeira e a última equação são bem obvias hahaha, então vamos dar uma olhada nas duas do meio. Opa, elas são iguais, facilitou muita coisa!!

Passo 3

Vamos resolver a equação para acharmos o x :

2 x - 1 = x 2     x 2 - 2 x + 1 = 0

x = 2 ± 4 - 4 2 = 1

Resposta

x = 1

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