Lista de Exercícios Resolvidos de Imagem e Sobrejetividade de uma Matriz

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Considere o sistema A x = b

  1. Se não tem solução, então b ___ ( ∈ , ∉ ) ____ ( I m A ,   N u c A )
  2. Se a solução não é única, então N u c ( A ) ____ ( = , ≠ ) _____ ( I m A , 0 )

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Considere as afirmativas abaixo sobre A x = b , um sistema linear com duas equações incompatíveis.

  1. A não é sobrejetiva
  2. A pode ser injetiva
  1. Ambas são falsas
  2. I é falsa e II é verdadeira
  3. Ambas são verdadeiras
  4. I é verdadeira e II é falsa

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Qual das matrizes abaixo possui imagem contida no plano x + y + z = 0 ?

( a ) 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 1 1

( b ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3

( c ) 1 1 - 2 - 1 1 0 1 - 1 0

( d ) 1 - 1 1 1 1 - 1 - 2 0 0

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Seja a matriz F = 1 2 1 3 1 1 2 - 1 0 .

Calcule a imagem, o posto, o núcleo e sua dimensão de F .

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Seja A uma matriz n × k e B uma matriz n × n .

Suponha que a imagem de A está contida no núcleo de B .

Então podemos dizer que:

a   B A é injetiva

b   B A é sobrejetiva

c   B A = I

d   B A = 0

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Seja A = 1 2 0 2 1 3 3 2 4 e seja H a imagem de A . Assinale a alternativa verdadeira:

( a ) 1,2 , 0 , 2,1 , 3 , 3,2 , 4 é base de H .

( b ) 1,2 , 3 , 2,1 , 2 , 0,3 , 4 é base de H .

( c ) H é gerado por 1,2 , 0 , 2,1 , 3 e 3,2 , 4 .

( d ) H é gerado por 1,2 , 3 ,   2,1 , 2 e 0,3 , 4 .

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Seja A x → = b → um sistema linear m × n qualquer. Considere as seguintes afirmações:

I   Se a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A é menor do que m então não pode haver A x → = b → sem solução.

I I Se a dimensão do núcleo de A for diferente de zero, então A x → = b → pode ter solução única.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

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Considere os sistemas equivalentes A x = b 1 e B x = b 2 , onde B b 2 é a matriz obtida de A b 1 após o escalonamento. Assinale a afirmativa FALSA:

( a ) O conjunto solução de A x = b 1 é igual ao de B x = b 2

( b ) O conjunto solução de A x = 0 é igual ao de B x = 0 .

( c ) O espaço gerado pelas linhas de A é igual ao espaço gerado pelas linhas de B .

( d ) O espaço gerado pelas colunas de A é igual ao espaço gerado pelas colunas de B .

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Considere o sistema A x = b e sejam respectivamente p e q os números de colunas linearmente independentes L I de A e da matriz aumentada A b . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) Se p = q então o sistema tem solução única

( b ) Se p = q então o sistema não tem solução

( c ) Se p < q então o sistema possui infinitas soluções

( d ) Se p < q então o sistema não tem solução

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Qual das matrizes abaixo possui imagem contida no plano x + y + z = 0 ?

( a ) 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 1 1

( b ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3

( c ) 1 1 - 2 - 1 1 0 1 - 1 0

( d ) 1 - 1 1 1 1 - 1 - 2 0 0

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Qual das matrizes abaixo possui imagem contida no plano x + y + z = 0

( a ) 1 - 2 1 2 1 - 3 1 2 - 3

( b ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3

( c ) 1 2 1 - 2 1 2 1 - 3 - 3

( d ) 1 2 1 - 2 1 2 2 - 2 - 2

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Seja A uma matriz quadrada, n × n . Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se A é injetiva, então o sistema A x → = b → sempre tem mais de uma solução.
  2. Se A é sobrejetiva, então o sistema A x → = b → sempre tem solução única.

a   Ambas são falsas

b   Ambas são verdadeiras

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é verdadeira e I I é falsa

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Seja

A = 1 2 - 1 1 1 - 1 - 1 - 2 1 2 - 1 1 1 1 - 1 0

Determine qual dos conjuntos abaixo forma uma base para a imagem de A .

( a ) 1,2 , - 1,1 , 1 , - 1 , - 1 , - 2 , 1 , - 1 , - 1,0

( b ) 1,1 , 1,1 , 2 , - 1,2 , 1 , 1 , - 2,1 , 0

( c ) 1,1 , 1,1 , 2 , - 1,2 , 1

( d ) 1,1 , 1,1 , 2 , - 1,2 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 , - 1 , 1 , - 2,1 , 0

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Seja A x = b um sistema linear m × n qualquer. Considere as seguintes afirmações:

I Se a dimensão do núcleo de A for diferente de zero então A x = b pode ter solução única.

I I Se a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A é menor do que m , então pode haver A x = b sem solução.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Seja A   uma matriz m × n qualquer e b → um vetor qualquer de R m . Verifique as afirmativas abaixo:

I - O núcleo de A é o conjunto-solução do sistema linear A x → = 0 →

II - A imagem de A é o conjunto-solução do sistema linear A x → = b →

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) I é falsa e II é verdadeira

(c) Ambas são falsas

(d) Ambas são verdadeiras

.

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Assinale uma base para a imagem da matriz 1 2 3 2 4 6 3 6 8

(a) { 1,0 , 0 ,   0,0 , 1 }

(b) { 1,0 , 1 ,   0,0 , 1 }

(c) { 1,2 , 3 ,   2,4 , 6 }

(d) { 2,4 , 6 ,   3,6 , 8 }

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Seja A uma matriz 3   ×   2 . Então o núcleo de A e a imagem de   A são subconjuntos, respectivamente, de:

(a) R 3 e R 2

(b) R 2   e R 3

(c) R 3 e R 3

(d) R 2   e R 2

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Assinale o conjunto que NÃO É uma base para a imagem da matriz

1 4 1 2 6 0 4 8 - 4

(a) { ( 1 ,   2 ,   4 ) ,   ( 1 ,   0 ,   - 4 ) }

(b) { ( 1 ,   0 ,   0 ) ,   ( 4 ,   2 ,   0 ) }

(c) { ( 1 ,   2 ,   4 ) ,   ( 0 ,   1 ,   4 ) }

(d) { ( 4 ,   6 ,   8 ) ,   ( 1 ,   0 ,   - 4 ) }

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Seja A   uma matriz 4   ×   3 :

I - N ( A ) pode ter dimensão maior do que I m ( A )

II -   N A ⊂   R 3 e   I m A ⊂ R 4

(a) I é falsa e II é verdadeira

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é verdadeira e II é falsa

(d) Ambas são falsas

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Considere os vetores v → = 10,11,12 ⊥ ,   w → = 452 , - 113 ⊥ e a matriz A = 1 4 2 5 3 6 . Verifique as afirmativas abaixo:

I - w → ∈ N ( A )

I I - v → ∈ I m ( A )

a )   I é falsa e I I é verdadeira

b)   Ambas são verdadeiras

c) Ambas são falsas

d)   I é verdadeira e I I é falsa

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Sejam A uma matriz quadrada e S o sistema A x → = b → .

( I ) Se quando   S tem solução, a solução é única, então S pode não ter solução para algum b → .

( I I ) Se S tem solução qualquer que seja b → , então S sempre tem solução única.

(a) A afirmativa ( I ) é verdadeira e ( I I ) é verdadeira.

(b) A afirmativa ( I ) é falsa e ( I I )   é verdadeira.

(c) A afirmativa ( I ) é falsa e ( I I ) é falsa.

(d) A afirmativa ( I ) é verdadeira e ( I I ) é falsa.

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Assinale a matriz cuja imagem é um plano e cujo núcleo é uma reta.

(a) 1 - 1 1 1 - 1 1

(b) 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1

(c) 1 1 2 1 2 3 1 1 2

(d) 1 1 1 1 2 1 1 1 3

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Dada uma matriz A, seja L uma matriz obtida reordenando-se as linhas de A e seja C uma matriz obtida reordenando-se as colunas de A.

(I) Se A x → = b → tem solução, então L x → = b → também tem solução.

(II) Se A x → = b → tem solução única, então C x → = b → também tem solução única.

(a) I é falsa e II é falsa.

(b) I é verdadeira e II é falsa.

(c) I é falsa e II é verdadeira.

(d) I é verdadeira e II é verdadeira.

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Seja A uma matriz 2 × 3 apenas com entradas 0 ou 1 . Se I m A = { x - y = 0 } e N u c A = { x + y + z = 0 } , qual a soma das entradas de A ?

a   0

b   4

c   6

d   Não há informações suficientes para se determinar

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Considere o sistema A x → = b → :

  1. Se não existe solução, então A não é sobrejetiva.
  2. Se tem várias soluções então A pode ser injetiva.

a   I é verdadeira, mas II é falsa.

b   I é falsa, mas II é verdadeira.

c   I e II são verdadeiras.

d   I e II são falsas.

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Qual conjunto abaixo pode ser uma base para a imagem de uma matriz A 3 × 5 ?

( a ) Um conjunto de 5 vetores em R 5

( b ) Um conjunto de 5 vetores em R 3

( c ) Um conjunto de 3 vetores em R 5

( d ) Um conjunto de 3 vetores em R 3

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Suponha que A = 1 0 2 2 1 1 0 4 0 1 - 2 3 . Então, a dimensão da imagem de A será igual a:

( a ) 0

( b ) 1

c 2

( d ) 3

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O conjunto v → 1 ,   v → 2 , v → 3 é linearmente dependente e o conjunto v → 2 , v → 3 , v → 4 é linearmente independente. Seja A a matriz cujas colunas são os vetores v → 1 ,   v → 2 , v → 3 . Assinale a resposta CORRETA:

( a ) O sistema A X → = v → 4 não possui solução.

( b ) O sistema A X → = v → 1 possui solução única.

( c ) O sistema A X → = v → 2 não possui solução.

( d ) O sistema A X → = v → 3 possui solução única.

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Considere um sistema linear A x = b , onde A é uma matriz quadrada. Considere as afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

  1. Se o núcleo de A é uma reta, então o sistema sempre tem solução.
  2. Se A é injetiva, então o sistema pode não ter solução.

a   Ambas são verdadeiras

b   Ambas são falsas

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   I é falsa e I I é verdadeira

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Considere o sistema linear A x = b . Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

I   Se as colunas de A são linearmente independentes e b pertence à imagem de A , então A x = b tem solução única.

I I Se as colunas de A são linearmente dependentes e b pertence à imagem de A , então A x = b tem infinitas soluções.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) Ambas são falsas.

( b ) Ambas são verdadeiras.

( c ) I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) I é falsa e I I é verdadeira.

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Assinale a matriz cujo núcleo é a reta x - 2 y = 0 e cuja imagem está contida no plano x + y + z = 0

a   A = 1 - 2 1 - 2 4 - 2

b   A = 1 - 2 - 2 4 0 0

c   A = 1 - 2 0 - 2 4 0

d   A = 1 - 2 - 2 4 1 - 2

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Sejam A , B e C matrizes tais que C = A B . Considere as afirmativas:

  1. Se A é injetiva e B não é injetiva, C pode ser injetiva.
  2. Se A é sobrejetiva e B não é sobrejetiva, C pode ser sobrejetiva.

a   A afirmativa I é falsa e a afirmativa I I é falsa

b   A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa I I é falsa

c   A afirmativa I é falsa e a afirmativa I I é verdadeira

d   A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa I I é verdadeira

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Seja A a matriz:

1 0 - 1 1 - 1 2 3 3 0 1 1 2 1 3 2 7

Qual dos vetores abaixo não está na imagem de A ?

( a ) - 3,5 , 1,0

( b ) 0,2 , 1,3

( c ) 2 , - 4 , - 1 , - 1

( d ) - 2,4 , 6,6

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Seja A uma matriz m × n e sejam B e C matrizes invertíveis n × n . Dentre as afirmações abaixo, a única falsa (isto é, que não é verdadeira para determinadas escolhas de A , B e C ) é:

a   B C - 1 T = B - 1 T C - 1 T

b I m A B ⊂ I m A (onde I m denota “imagem”)

c   N A B ⊃ N B (onde N denota “núcleo”)

d   B C = C B

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Considere o sistema linear A x = b . Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

I   Se b pertence ao espaço gerado pelas colunas de A , então A x = b tem solução única.

I I Se b não pertence ao espaço gerado pelas colunas de A , então A x = b tem infinitas soluções.

( a ) Ambas são falsas.

( b ) I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) Ambas são verdadeiras.

( d ) I I é verdadeira e I é falsa.

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Considere os sistemas S : A x → = b → e H : A x → = 0 → e assinale a alternativa INCORRETA:

a   H sempre tem solução

b   Se b ∈ I m A , então S tem solução

c   Se H tem duas soluções, então H tem infinitas soluções

d   Se H tem solução única, então S tem solução única

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Qual das matrizes abaixo possui imagem contida no plano x + y + z = 0 ?

a   1 1 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1