Teoria

Que diabos é isso? É bem intuitivo na verdade:

Vamos pegar um conjunto V qualquer. O Complemento Ortogonal de V seria um outro conjunto W , cujos elementos são ortogonais aos elementos de V . Sempre um conjunto em relação ao outro!

Por exemplo, no R 3 : vamos pensar em V sendo um plano horizontal. Qual seria o conjunto W , cujos elementos são todos ortogonais a V ???? Uma reta vertical! Olhe o desenho abaixo:

Agora que já entenderam vamos dar uma olhada na definição formal que seu professor vai passar pra vocês haha.

Notação: Simbolizamos o complemento ortogonal de V , como V ⊥ (lê-se V perp)

E lá vai um bizu: V ⊥ sempre, sempre mesmo, será um subespaço vetorial!

Calculando o Complemento Ortogonal

Tá, mas como eu acho quem é o complemento ortogonal de um outro conjunto? Vamos aprender vendo um exemplo:

Sendo H = s p a n { 1,2 , 3,4 , - 1,2 , - 3,4 } , ache H ⊥ .

Eu sei que se eu pegar um vetor qualquer de H e um vetor qualquer de H ⊥ e fizer o produto interno entre eles, tem que dar zero. Então, vou chamar de v = x , y , z , w um vetor genérico do H ⊥ , fazer o produto interno dele com os vetores que eu tenho de H   e igualar a zero.

1,2 , 3,4 x , y , z , w = 0

- 1,2 , - 3,4 x , y , z , w = 0

Agora fazendo o produto interno vemos que chegamos em um sistema linear homogêneo:

x + 2 y + 3 z + 4 w = 0 - x + 2 y - 3 z + 4 w = 0

Posso representá-lo assim também:

1 - 1     2 2   3 - 3     4 4 0 0

Agora é só resolver isso aí.

Mas pera, vamos analisar o que estamos fazendo, estamos achando a solução do sistema linear homogêneo ou núcleo da matriz em que as linhas são os vetores da base de H .

Então sempre que quisermos achar o complemento ortogonal de um espaço H , pegamos os vetores da base de H , jogamos nas linhas de uma matriz, e encontramos seu núcleo.

Agora sim:

1 2 3 4 - 1 2 - 3 4 0 0 → L 2 ← L 2 + L 1 1 2 3 4 0 4 0 8 0 0

Logo, temos que:

4 y + 8 w = 0 ⇒ y = - 2 w

x + 2 y + 3 z + 4 w = 0 ⇒ x + 3 z = 0 ⇒ x = - 3 z

Nosso vetor genérico de H ⊥ é dado por

- 3 z , - 2 w , z , w = z - 3,0 , 1,0 + w 0 , - 2,0 , 1

Portanto:

H ⊥ = s p a n - 3,0 , 1,0 , 0 , - 2,0 , 1

Calculando o Complemento Ortogonal

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