Complemento Ortogonal

Teoria Completa

Que diabos é isso? É bem intuitivo na verdade:

Vamos pegar um conjunto V qualquer. O Complemento Ortogonal de V seria um outro conjunto W , cujos elementos são ortogonais aos elementos de V . Sempre um conjunto em relação ao outro!

Por exemplo, no R 3 : vamos pensar em V sendo um plano horizontal. Qual seria o conjunto W , cujos elementos são todos ortogonais a V ???? Uma reta vertical! Olhe o desenho abaixo:

Agora que já entenderam vamos dar uma olhada na definição formal que seu professor vai passar pra vocês haha.

Notação: Simbolizamos o complemento ortogonal de V , como V ⊥ (lê-se V perp)

E lá vai um bizu: V ⊥ sempre, sempre mesmo, será um subespaço vetorial!

Calculando o Complemento Ortogonal

Tá, mas como eu acho quem é o complemento ortogonal de um outro conjunto? Vamos aprender vendo um exemplo:

Sendo H = s p a n { 1,2 , 3,4 , - 1,2 , - 3,4 } , ache H ⊥ .

Eu sei que se eu pegar um vetor qualquer de H e um vetor qualquer de H ⊥ e fizer o produto interno entre eles, tem que dar zero. Então, vou chamar de v = x , y , z , w um vetor genérico do H ⊥ , fazer o produto interno dele com os vetores que eu tenho de H   e igualar a zero.

1,2 , 3,4 x , y , z , w = 0

- 1,2 , - 3,4 x , y , z , w = 0

Agora fazendo o produto interno vemos que chegamos em um sistema linear homogêneo:

x + 2 y + 3 z + 4 w = 0 - x + 2 y - 3 z + 4 w = 0

Posso representá-lo assim também:

1 - 1     2 2   3 - 3     4 4 0 0

Agora é só resolver isso aí.

Mas pera, vamos analisar o que estamos fazendo, estamos achando a solução do sistema linear homogêneo ou núcleo da matriz em que as linhas são os vetores da base de H .

Então sempre que quisermos achar o complemento ortogonal de um espaço H , pegamos os vetores da base de H , jogamos nas linhas de uma matriz, e encontramos seu núcleo.

Agora sim:

1 2 3 4 - 1 2 - 3 4 0 0 → L 2 ← L 2 + L 1 1 2 3 4 0 4 0 8 0 0

Logo, temos que:

4 y + 8 w = 0 ⇒ y = - 2 w

x + 2 y + 3 z + 4 w = 0 ⇒ x + 3 z = 0 ⇒ x = - 3 z

Nosso vetor genérico de H ⊥ é dado por

- 3 z , - 2 w , z , w = z - 3,0 , 1,0 + w 0 , - 2,0 , 1

Portanto:

H ⊥ = s p a n - 3,0 , 1,0 , 0 , - 2,0 , 1

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Sabendo que H = s p a n { 1,0 , 2,1 , 0,1 , 2,1 , 0,0 , 1 , - 3 } , represente H ⊥ como um espaço gerado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos que achar um conjunto de vetores que sejam ortogonais aos vetores de H . Vamos jogar os vetores geradores de H nas linhas de uma matriz A :

A = 1 0 2 1 0 1 2 1 0 0 1 - 3

Agora, encontramos o núcleo dela:

1 0 2 1 0 1 2 1 0 0 1 - 3 0 0 0

Que moleza, a matriz já está até escalonada haha. Temos então que:

x + 2 z + w = 0 ⇒ x + 7 w = 0 ⇒ x = - 7 w y + 2 z + w = 0 ⇒ y + 7 w = 0 ⇒ y = - 7 w z - 3 w = 0 ⇒ z = 3 w

Passo 2

Podemos ver que o nosso vetor genérico é:

x , y , z , w = - 7 w , - 7 w , 3 w , w = w ( - 7 , - 7,3 , 1 )

E assim:

H ⊥ = s p a n - 7 , - 7,3 , 1

Resposta

H ⊥ = s p a n - 7 , - 7,3 , 1

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 162 – Prob 5.3

Determine uma base de H ⊥ , onde

a   H é a reta em R 2 dada por 2 x + 3 y = 0

b   H é o plano em R 3 dado por x - y + z = 0

c   H = s p a n 1,3 , 1 , 3,1 , 2 , 2 , - 2,1 ⊂ R 3

d   H = s p a n 0 - 2 - 2 1 - 1 , 0 1 1 0 2 , 0 2 2 - 3 - 5 ⊂ R 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a   Pela equação da reta temos que 2 x = - 3 y . Logo:

x = - 3 y 2

O vetor genérico de H tem a forma:

- 3 y 2 , y = y - 3 2 , 1 = t - 3,2

Então, para acharmos uma base para H ⊥ , basta acharmos o vetor v ortogonal à - 3,2 :

- 3,2 , v = 0 ⇒ - 3 x + 2 y = 0 ⇒ x = 2 y 3

O vetor genérico de H ⊥ é dado por:

2 y 3 , y = y 2 3 , 1 = t 2,3

Portanto, H ⊥ = 2,3

Outra forma possível era termos pensado que, como estamos no R 2 , o complemento ortogonal de uma reta será sempre a reta perpendicular a ela.

Sendo assim, podemos obter o vetor gerador de H ⊥ simplesmente pegando os coeficientes da equação que nos foi dada:

H = 2 x + 3 y = 0

H ⊥ = s p a n 2,3

Passo 2

b Dessa vez vamos usar a cabeça haha. Temos um plano no R 3 . Portanto, seu complemento ortogonal será a reta perpendicular a ele concorda? Podemos obtê-la simplesmente pegando os coeficientes da equação do plano:

H = x - y + z = 0

H ⊥ = s p a n 1 , - 1,1

Passo 3

c   Agora não tem jeito, vamos jogar os geradores de H nas linhas de uma matriz e calcular seu núcleo:

1 3 1 3 1 2 2 - 2 1 0 0 0 → L 2 ← L 2 - 3 L 1 L 3 ← L 3 - 2 L 1 1 3 1 0 - 8 - 1 0 - 8 - 1 0 0 0 → L 3 ← L 3 - L 2 1 3 1 0 - 8 - 1 0 0 0 0 0 0

Temos então que:

- 8 y - z = 0 ⇒ z = - 8 y

x + 3 y + z = 0 ⇒ x + 3 y - 8 y = 0 ⇒ x = 5 y

O vetor genérico de H ⊥ é dado por:

5 y , y , - 8 y = y 5,1 , - 8

Logo:

H ⊥ = 5,1 , - 8

Passo 4

d   Novamente, jogamos os vetores geradores nas linhas de uma matriz, e calculamos seu núcleo:

0 - 2 - 2 1 - 1 0 1 1 0 2 0 2 2 - 3 - 5 0 0 0 → L 2 ← L 2 + L 1 2 L 3 ← L 3 + L 1 0 - 2 - 2 1 - 1 0 0 0 0,5 1,5 0 0 0 - 2 - 6 0 0 0 → L 3 ← L 3 + 4 L 2

→ L 3 ← L 3 + 4 L 2 0 - 2 - 2 1 - 1 0 0 0 0,5 1,5 0 0 0 0 0 0 0 0

Tomando x , y , z , w , k como vetor genérico do R 5 , temos:

0,5 w + 1,5 k = 0 ⇒ w = - 3 k

- 2 y - 2 z + w - k = 0 ⇒ - 2 y - 2 z - 4 k = 0 ⇒ y = - z - 2 k

Então, o vetor genérico de H ⊥ tem essa cara:

x , - z - 2 k , z , - 3 k , k = x 1,0 , 0,0 , 0 + z 0 , - 1,1 , 0,0 + k 0 , - 2,0 , - 3,1