Complemento Ortogonal
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Que diabos é isso? É bem intuitivo na verdade:
Vamos pegar um conjunto qualquer. O Complemento Ortogonal de seria um outro conjunto , cujos elementos são ortogonais aos elementos de . Sempre um conjunto em relação ao outro!
Por exemplo, no : vamos pensar em sendo um plano horizontal. Qual seria o conjunto , cujos elementos são todos ortogonais a ???? Uma reta vertical! Olhe o desenho abaixo:
Agora que já entenderam vamos dar uma olhada na definição formal que seu professor vai passar pra vocês haha.
Notação: Simbolizamos o complemento ortogonal de , como (lê-se perp)
E lá vai um bizu: sempre, sempre mesmo, será um subespaço vetorial!
Calculando o Complemento Ortogonal
Tá, mas como eu acho quem é o complemento ortogonal de um outro conjunto? Vamos aprender vendo um exemplo:
Sendo , ache .
Eu sei que se eu pegar um vetor qualquer de e um vetor qualquer de e fizer o produto interno entre eles, tem que dar zero. Então, vou chamar de um vetor genérico do , fazer o produto interno dele com os vetores que eu tenho de e igualar a zero.
Agora fazendo o produto interno vemos que chegamos em um sistema linear homogêneo:
Posso representá-lo assim também:
Agora é só resolver isso aí.
Mas pera, vamos analisar o que estamos fazendo, estamos achando a solução do sistema linear homogêneo ou núcleo da matriz em que as linhas são os vetores da base de
Então sempre que quisermos achar o complemento ortogonal de um espaço , pegamos os vetores da base de , jogamos nas linhas de uma matriz, e encontramos seu núcleo.
Agora sim:
Logo, temos que:
Nosso vetor genérico de é dado por
Portanto: