Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Teoria

Até agora aprendemos um monte de coisas sobre bases ortogonais que muitas vezes facilitam nossas vidas.

Agora e se nos depararmos com um problema com condições perfeitas pra utilizarmos o que aprendemos sobre coordenadas e projeção mas a base não for ortogonal?

Nesses casos temos 2 saídas: ou fazemos do jeito que aprendemos primeiro, para uma base qualquer, ouuu transformamos a base em base ortogonal!!

Em outras palavras, há um modo de achar uma base ortogonal para certo espaço H   a partir de uma base não ortogonal dele. Esse modo é chamado de Ortogonalização de Gram-Schmidt.

Processo de ortogonalização de Gram- Schmidt

Imagine que temos uma base v 1 , v 2 , v 3 e queremos obter uma base ortogonal w 1 , w 2 , w 3 .

Nós queremos mudar mudar a base, não o espaço gerado por ela! Ou seja a nova base ortogonal   w 1 , w 2 , w 3 terá que gerar o mesmo espaço que a antiga. Por esse motivo vamos escrever os vetores da nova base ortogonal em função dos antigos.

Vamos definir os vetores da base ortogonal da seguinte forma:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 + α w 1

w 3 = v 3 + β w 1 + γ w 2

Note que s p a n w 1 , w 2 , w 3 = s p a n v 1 , v 2 , v 3 , já que tudo o que fizemos para obter os vetores w 1 ,   w 2 ,   w 3 foi combinar os vetores v 1 , v 2 , v 3 .

Beleza até aí?? Então, o nosso objetivo é encontrar os valores de α , β   e   γ e encontrar uma base ortogonal! Para isso, o produto interno entre os vetores tem que ser zero.

Temos a exigência de que w 1 , w 2 , w 3 sejam ortogonais entre si.

Vamos forçar o produto interno de w 1   e     w 2   ser zero e isolar o valor de α :

  〈 w 2 , w 1 〉 = 0

〈 v 2 + α w 1 , w 1 〉 = 0

〈 v 2 , w 1 〉 + α 〈 w 1 , w 1 〉 = 0

α = - 〈 v 2 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉

Beleza ja temos α , vamos zerar o produto interno de w 3 , w 1 e encontrar   β :

  〈 w 3 , w 1 〉 = 0

  〈 v 3 + β w 1 + γ w 2 , w 1 〉 = 0

〈 v 3 , w 1 〉 + β 〈 w 1 , w 1 〉 + γ 〈 w 2 , w 1 〉 = 0

Sabemos que 〈 w 2 , w 1 〉 = 0 , então temos:

〈 v 3 , w 1 〉 + β 〈 w 1 , w 1 〉 = 0

β = - 〈 v 3 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉

Agora vamos calcular 〈 w 3 , w 2 〉 e encontrar γ :

  〈 w 3 , w 2 〉 = 0

  〈 v 3 + β w 1 + γ w 2 , w 2 〉 = 0

  〈 v 3 , w 2 〉 + β 〈 w 1 , w 2 〉 + γ 〈 w 2 , w 2 〉 = 0

Sabemos que 〈 w 2 , w 1 〉 = 0 , então temos:

  〈 v 3 , w 2 〉 + γ 〈 w 2 , w 2 〉 = 0

γ = - 〈 v 3 , w 2 〉 〈 w 2 , w 2 〉

Show!! temos tudo o que precisamos para nossa nova base!

Substituindo nos vetores que definimos:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - 〈 v 2 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉 w 1

w 3 = v 3 - 〈 v 3 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉 w 1 - 〈 v 3 , w 2 〉 〈 w 2 , w 2 〉 w 2

Aaaaah, quanta coisa, e se for uma base com 4 vetores, vou ter que ficar fazendo isso o tempo todo?! Com certeza que não haha. Talvez não tenha percebido mas existe um padrão aí, é meio chato de ver mesmo, se liga:

Dada uma base não ortogonal v 1 , v 2 , … , v n , definimos w 1 , w 2 , … , w n por

w 1 = v 1 w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1 w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2 ⋮ ⋮ w n = v n - v n , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v n , w 2 w 2 , w 2 w 2 - … - v n , w n - 1 w n - 1 , w n - 1 w n - 1

Eaí, conseguiu pegar o padrão? Na real, a única linha que precisa gravar é a última:

w n = v n - v n , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v n , w 2 w 2 , w 2 w 2 - … - v n , w n - 1 w n - 1 , w n - 1 w n - 1

Disso aí você consegue encontrar a fórmula para qualquer w ;)

Aplicação

Então bora fazer um exemplinho:

Ache uma base ortogonal para H = 〈 1,3 , 1 , 2,0 , 0 , ( 0,2 , 4 ) 〉

Vamos calcular os vetores da nova base ortogonal w 1 , w 2 , w 3

w 1 = v 1 ⟹ w 1 = ( 1,3 , 1 )

Esse foi fácil, agora w 2 :

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

⟹ w 2 = 2,0 , 0 - 〈 2,0 , 0 , 1,3 , 1 〉 〈 1,3 , 1 , 1,3 , 1 〉 1,3 , 1

⟹   w 2 = 2,0 , 0 - 2 11 1,3 , 1 = 20 11 , - 6 11 , - 2 11

Agora w 3 :

w 3 = v 3 - 〈 v 3 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉 w 1 - 〈 v 3 , w 2 〉 〈 w 2 , w 2 〉 w 2

Substituindo os valores,

0,2 , 4 - 〈 0,2 , 4 , 1,3 , 1 〉 〈 1,3 , 1 , 1,3 , 1 〉 1,3 , 1 - 〈 0,2 , 4 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 〉 〈 20 11 , - 6 11 , - 2 11 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 〉 20 11 , - 6 11 , - 2 11

Vamos lá, guerreiro(a)!! Vamos fazer essas contas!!!

w 3 = 0,2 , 4 - 10 11 1,3 , 1 - - 20 11 440 121 20 11 , - 6 11 , - 2 11

Tá quase lá...

w 3 = 0,2 , 4 + - 10 11 , - 30 11 , - 10 11 + - 10 11 , 3 11 , 1 11 = - 20 11 , - 5 11 , 35 11

Ufa!! A nova base para esse espaço então é

1,3 , 1 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 , - 20 11 , - 5 11 , 35 11

Agora é só praticar mais essa técnica :)

Aplicação

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Consideremos as seguintes bases do R 2 e do R 3 :

a   B = 3,4 , 1,2

b   B = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0,1 , 2

c   B = 1,0 , 1 , 1,0 , - 1 , 0,3 , 4

Ortonormalizar essas bases pelo processo de Gram-Schmidt

Passo 1

a Definindo a base B = v 1 , v 2 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 pelo processo de Gram-Schmidt. Fazemos então:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

Sendo assim,

w 1 = 3,4

w 2 = 1,2 - 1,2 , 3,4 3,4 , 3,4 3,4 = 1,2 - 11 25 3,4 = 1,2 - 33 25 , 44 25 = - 8 25 , 6 25

Chegamos à base:

B ' = 3,4 , - 8 25 , 6 25

Passo 2

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 :

u 1 = w 1 w 1 = 3,4 5 = 3 5 , 4 5

u 2 = w 2 w 2 = - 8 25 , 6 25 100 25 2 = - 8 25 , 6 25 25 10 = - 4 5 , 3 5

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 3 5 , 4 5 , - 4 5 , 3 5

Passo 3

b Definindo B = v 1 , v 2 , v 3 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 , w 3 pelo processo de Gram-Schmidt. Repare, no entanto, que v 2 já é ortogonal à v 1 ! Logo, podemos definir direto w 2 = v 2 . Fazemos então:

w 1 = v 1

w 2 = v 2

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2

Sendo assim,

w 1 = 1,0 , 0

w 2 = 0,1 , 1

w 3 = 0,1 , 2 - 0,1 , 2 , 1,0 , 0 ⏞ 0 1,0 , 0 , 1,0 , 0 1,0 , 0 - 0,1 , 2 , 0,1 , 1 0,1 , 1 , 0,1 , 1 ⏞ 3 2 0,1 , 1 = 0,1 , 2 - 0 , 3 2 , 3 2 ⇒

⇒ w 3 = 0 , - 1 2 , 1 2

Chegamos à base:

B ' = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0 , - 1 2 , 1 2

Passo 4

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 , u 3 . O vetor u 1 já está normalizado, logo:

u 2 = w 2 w 2 = 0,1 , 1 2 = 0 , 1 2 , 1 2

u 3 = w 3 w 3 = 0 , - 1 2 , 1 2 2 2 = 0 , - 1 2 , 1 2

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 1,0 , 0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 1 2

Passo 5

c Definindo a base B = v 1 , v 2 , v 3 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 , w 3 pelo processo de Gram-Schmidt. Repare que novamente v 2 já é ortogonal à v 1 ! Logo, podemos definir direto w 2 = v 2 . Fazemos então:

  w 1 = v 1

w 2 = v 2

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2

Sendo assim,

w 1 = 1,0 , 1

w 2 = 1,0 , - 1

w 3 = 0,3 , 4 - 0,3 , 4 , 1,0 , 1 1,0 , 1 , 1,0 , 1 ⏞ 2 1,0 , 1 - 0,3 , 4 , 1,0 , - 1 1,0 , - 1 , 1,0 , - 1 ⏞ - 2 1,0 , - 1 ⇒

⇒ w 3 = 0,3 , 4 - 2,0 , 2 + 2,0 , - 2 = 0,3 , 0

Chegamos à base:

B ' = 1,0 , 1 , 1,0 , - 1 , 0,3 , 0

Passo 6

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 , u 3 :

u 1 = w 1 w 1 = 1,0 , 1 2 = 1 2 , 0 , 1 2

u 2 = w 2 w 2 = 1,0 , - 1 2 = 1 2 , 0 , - 1 2

u 3 = w 3 w 3 = 0,3 , 0 3 = 0,1 , 0

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 1 2 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 0,1 , 0

Resposta

a   3 5 , 4 5 , - 4 5 , 3 5

b   1,0 , 0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 1 2

c   1 2 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 0,1 , 0

Exercício Resolvido #2

Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = 1,0 , - 1,1 ,   v 2 = 0,1 , 0,1 e v 3 = 1,1 , - 1,2 .

Passo 1

a Depois de uma rápida olhada já dá pra perceber que v 3 = v 1 + v 2 , então podemos tirar ele da parada já. Agora aplicando o processo de Ortogonalização de Gram Schmidt:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

Sendo assim,

w 1 = 1,0 , - 1,1

w 2 = 0,1 , 0,1 - 0,1 , 0,1 , 1,0 , - 1,1 1,0 , - 1,1 , 1,0 , - 1,1 ⏞ 1 3 1,0 , - 1,1 = 0,1 , 0,1 - 1 3 , 0 , - 1 3 , 1 3 ⇒

⇒ w 2 = - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3

Chegamos à base:

B ' = 1,0 , - 1,1 , - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3

Passo 2

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 :

u 1 = w 1 w 1 = 1,0 , - 1,1 3 = 1 3 , 0 ,   - 1 3 , 1 3

u 2 = w 2 w 2 = - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3 1 9 + 9 9 + 1 9 + 4 9 = - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3 3 15 = - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 1 3 , 0 ,   - 1 3 , 1 3 , - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

Resposta

1 3 , 0 ,   - 1 3 , 1 3 , - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

Exercício Resolvido #3

Seja S = x , y , z , - 2 x + 4 y + 5 z x , y , z ∈ R subespaço de R 4 com o produto interno usual. Seja A = 1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 ⊂ S

a   Ortonormalizar o conjunto A

b   Completar o conjunto A de modo a transformá-lo numa base ortogonal de S .

Passo 1

a Boas notícias galera, não precisamos nem ortogonalizar eles haha, se liga:

1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 = 2 - 2 - 2 + 2 = 0

Como eles já são ortogonais, basta normalizarmos os vetores:

1,2 , - 1,1 1,2 , - 1,1 = 1,2 , - 1,1 7 = 1 7 , 2 7 , - 1 7 , 1 7

2 , - 1,2 , 2 2 , - 1,2 , 2 = 2 , - 1,2 , 2 13 = 2 13 , - 1 13 , 2 13 , 2 13

Então o conjunto A normalizado fica:

1 7 , 2 7 , - 1 7 , 1 7 , 2 13 , - 1 13 , 2 13 , 2 13

Passo 2

b   Agora precisamos completar o conjunto A , de modo a transformá-la numa base ortogonal de S . Tá, então precisamos achar um vetor v = x , y , z , w , que obedeça o seguinte:

1,2 , - 1,1 , x , y , z , w = 0

2 , - 1,2 , 2 , x , y , z , w = 0

w = - 2 x + 4 y + 5 z

Repare que as condições são ser ortogonal aos outros dois vetores e fazer parte do conjunto S . Então:

x + 2 y - z + w = 0 2 x - y + 2 z + 2 w = 0 w = - 2 x + 4 y + 5 z       1 2 3

Passo 3

Substituindo 3 em 1 e 2 :

x + 2 y - z + - 2 x + 4 y + 5 z = 0 2 x - y + 2 z + 2 - 2 x + 4 y + 5 z = 0 ⇒

⇒ - x + 6 y + 4 z = 0 ⇒ x = 6 y + 4 z - 2 x + 7 y + 12 z = 0

Substituindo x na equação de baixo:

- 12 y - 8 z + 7 y + 12 z = 0 ⇒ - 5 y + 4 z = 0 ⇒ z = 5 y 4

x = 6 y + 4 5 y 4 ⇒ x = 11 y

Agora podemos substituir x e z na equação de w :

w = - 22 y + 4 y + 25 y 4 = - 88 y 4 + 16 y 4 + 25 y 4 ⇒ w = - 47 y 4

Nosso terceiro vetor será então:

v = 11 y , y , 5 y 4 , - 47 y 4 = y 11,1 , 5 4 , - 47 4

Então uma base possível para S seria:

1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 , 44,4 , 5 , - 47

Resposta

a   1 7 , 2 7 , - 1 7 , 1 7 , 2 13 , - 1 13 , 2 13 , 2 13

b   1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 , 44,4 , 5 , - 47

Exercício Resolvido #4

Ortonormalizar a base u 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ) , u 2 = 1 ,   - 1 ,   1 e u 3 = ( - 1 ,   0 ,   1 ) do R 3 pelo processo de Gram-Schmidt.

Passo 1

Para ortonormalizar a base, vamos usar o processo de Gram Schmidt certo?

Vamos chamar a base ortonormal de β = { w 1 ,   w 2 ,   w 3 } , sendo que:

w 1 = u 1 u 1

w 2 = u 2 - u 2 ,   w 1 . w 1 | u 2 - u 2 ,   w 1 . w 1 |

w 3 = u 3 - u 3 ,   w 1 . w 1 - u 3 ,   w 2 . w 2 u 3 - u 3 ,   w 1 . w 1 - u 3 ,   w 2 . w 2

Para w 2 e w 3 , primeiro vamos encontrar apenas os numeradores w 2 ' e w 3 ' , sem dividir pela norma ok?

Depois sim vamos dividir pela norma para encontrarmos w 2 e w 3 .

Passo 2

Vamos começar:

w 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ) 1 + 1 + 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ) 3

Para w 2 ' :

w 2 ' = 1 ,   - 1 ,   1 - 1 ,   - 1 ,   1 ,   ( 1 ,   1 ,   1 ) 3 . ( 1 ,   1 ,   1 ) 3

w 2 ' = 1 ,   - 1 ,   1 - 1 - 1 + 1 3 . ( 1 ,   1 ,   1 ) 3

w 2 ' = 1 ,   - 1 ,   1 - 1 ,   1 ,   1 3 = 1 ,   - 1 ,   1 - 1 3 , 1 3 , 1 3

w 2 ' = 2 3 ,   - 4 3 , 2 3

Agora, dividindo pela norma:

w 2 = w 2 ' w 2 ' = 2 3 ,   - 4 3 , 2 3 4 9 + 16 9 + 4 9

w 2 = 2 3 ,   - 4 3 , 2 3 24 9

w 2 = 2 3 ,   - 4 3 , 2 3 2 6 3

w 2 = 1 6 ( 1 ,   - 2 ,   1 )

Passo 3

Por fim, para w 3 ' :

w 3 ' = ( - 1 ,   0 ,   1 ) - ( - 1 ,   0 ,   1 ) ,   ( 1 ,   1 ,   1 ) 3 . ( 1 ,   1 ,   1 ) 3 - ( - 1 ,   0 ,   1 ) ,   1 6 ( 1 ,   - 2 ,   1 ) . 1 6 ( 1 ,   - 2 ,   1 )

w 3 ' = ( - 1 ,   0 ,   1 ) - 0 . ( 1 ,   1 ,   1 ) 3 - 0 . 1 6 ( 1 ,   - 2 ,   1 )

w 3 ' = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Agora, normalizando:

w 3 = ( - 1 ,   0 ,   1 ) 1 + 1 = ( - 1 ,   0 ,   1 ) 2

Então é issoo, a nossa base ortonormal β é dada por:

β = 1 ,   1 ,   1 3 ,   1 ,   - 2 ,   1 6 ,   - 1 ,   0 ,   1 2

Resposta

β = 1 ,   1 ,   1 3 ,   1 ,   - 2 ,   1 6 ,   - 1 ,   0 ,   1 2

Exercício Resolvido #5

Em P 2 ( R ) com o produto interno usual, ortonormalizar a base 1 ,   1 + t ,   2 t 2 .

Passo 1

Usando Gram-Schmidt, vamos chamar a base ortonormal de β = { w 1 ,   w 2 ,   w 3 } , onde:

w 1 = 1

w 2 = 1 + t - 1 + t ,   1 . 1 | 1 + t - 1 + t ,   1 . 1 |

w 3 = 2 t ² - 2 t ² ,   1 . 1 - 2 t ² ,   w 2 . w 2 2 t ² - 2 t ² ,   1 . 1 - 2 t ² ,   w 2 . w 2

Para w 2 e w 3 , primeiro vamos encontrar apenas os numeradores w 2 ' e w 3 ' , sem dividir pela norma, e aí depois vamos dividir pela norma para encontrarmos w 2 e w 3 certo?

Ah, lembrando que no espaço P 2 ( R ) , o produto interno usual é:

∫ 0 1 f t . d t d t

Assim como u ( t ) = ∫ 0 1 u t . u t d t

Então, é isso que vamos usar nos nossos cálculos ;)

Passo 2

Para w 2 ' :

w 2 ' = 1 + t - 1 + t ,   1 . 1

w 2 ' = 1 + t - ∫ 0 1 1 . 1 + t d t

w 2 ' = 1 + t - 3 2

w 2 ' = - 1 2 + t

Normalizando:

w 2 = w 2 ' w 2 '

w 2 = 2 3 t - 1 2

Passo 3

Por fim, para w 3 ' :

w 3 ' = 2 t 2 - 2 t 2 ,   1 . 1 - 2 t 2 ,   2 3 t - 1 2 . 2 3 t - 1 2

w 3 ' = 2 t 2 - ∫ 0 1 2 t 2 d t - ∫ 0 1 2 t 2 2 3 t - 1 2 d t . 2 3 t - 1 2

w 3 ' = 2 t 2 - 2 3 - 1 3 . 2 3 t - 1 2

w 3 ' = 2 t 2 - 2 t + 1 3

Normalizando:

w 3 = 2 t 2 - 2 t + 1 3 ∫ 0 1 2 t 2 - 2 t + 1 3 2 d t    

w 3 = 2 t 2 - 2 t + 1 3 1 3 5

w 3 = 6 5 t 2 - 6 5 t + 5

Então nossa base β vai ser

β = 1 ,   2 3 t - 1 2 ,   6 5 t 2 - 6 5 t + 5  

Resposta

β = 1 ,   2 3 t - 1 2 ,   6 5 t 2 - 6 5 t + 5

Exercício Resolvido #6

Obtenha uma base ortogonal para o espaço coluna da matriz A :

A = 12 - 51 4 6 167 - 68 - 4 24 - 41

Passo 1

O espaço coluna da matriz A são os vetores que formam suas colunas, ou seja:

v 1 = ( 12 ,   6 ,   - 4 ) v 2 = - 51 ,   167 ,   24 v 3 = ( 4 ,   - 68 ,   - 41 )

Para ortonormalizar a base, vamos usar o processo de Gram Schmidt.

Queremos uma base ortonormal β = { w 1 ,   w 2 ,   w 3 } , sendo que:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 ,   w 1 w 1 ,   w 1 . w 1

w 3 = v 3 - v 3 ,   w 1 w 1 ,   w 1 . w 1 - v 3 ,   w 2 w 2 ,   w 2 . w 2

Então bora lá fazer esses cálculos e encontrar a base ortonormal :D

Passo 2

Temos que:

w 1 = ( 12 ,   6 ,   - 4 )

w 2 :

w 2 = - 51 ,   167 ,   24 - - 51 ,   167 ,   24 , ( 12 ,   6 ,   - 4 ) 12 ,   6 ,   - 4 ,   ( 12 ,   6 ,   - 4 ) . ( 12 ,   6 ,   - 4 )

w 2 = - 51 ,   167 ,   24 - - 612 + 1002 - 96 144 + 36 + 16 . ( 12 ,   6 ,   - 4 )

w 2 = - 51 ,   167 ,   24 - 296 196 . ( 12 ,   6 ,   - 4 )

w 2 = ( - 69 ,   158 ,   30 )

Passo 3

Por fim, para w 3 :

w 3 = ( 4 ,   - 68 ,   - 41 ) - ( 4 ,   - 68 ,   - 41 ) , ( 12 ,   6 ,   - 4 ) 12 ,   6 ,   - 4 ,   ( 12 ,   6 ,   - 4 ) . ( 12 ,   6 ,   - 4 ) - ( 4 ,   - 68 ,   - 41 ) ,   ( - 69 ,   158 ,   30 ) - 69 ,   158 ,   30 ,   ( - 69 ,   158 ,   30 ) . ( - 69 ,   158 ,   30 )

w 3 = - 58 5 , 6 5 ,   - 33

Então, a nossa base ortogonal para o espaço coluna é:

12 ,   6 ,   - 4 ,   - 69 ,   158 ,   30 ,   - 58 5 , 6 5 ,   - 33

Resposta

12 ,   6 ,   - 4 ,   - 69 ,   158 ,   30 ,   - 58 5 , 6 5 ,   - 33

Exercício Resolvido #7

Seja W = 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 , determine a projeção ortogonal do vetor ( 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ) ∈ R 4 sobre W .

Passo 1

Antes de encontrarmos essa projeção, vamos ortogonalizar a base de W usando Gram-Schmidt, e assim, vamos encontrar uma base ortogonal { w 1 ,   w 2 } na qual vamos calcular a projeção.

Por Gram-Schmidt, temos:

w 1 = 1 ,   0 ,   1 , 1 2

w 2 = 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 - 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 ,   w 1 w 1 ,   w 1 . w 1

Bora fazer esses cálculos então! ;D

Passo 2

w 2 vai ser dado por:

w 2 = 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 - 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 . 1 ,   0 ,   1 , 1 2

w 2 = 0 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 2 - - 5 4 9 4 . 1 ,   0 ,   1 , 1 2

Somando os vetores:

w 2 = 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9

Então, a nossa base ortogonal é 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 . Agora é só fazermos a projeção :D

Passo 3

A projeção vai ser:

P b H = ( 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ) ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 1 ,   0 ,   1 , 1 2 ,   1 ,   0 ,   1 , 1 2 1 ,   0 ,   1 , 1 2 + ( 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ) ,   5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 ,   5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9

P b H = - 1 2 9 4 1 ,   0 ,   1 , 1 2 + 16 9 14 9 5 9 ,   1 ,   - 4 9 , - 2 9

Logo:

P b H = 26 63 , 8 7 ,   - 46 63 ,   - 23 63

Resposta

P b H = 26 63 , 8 7 ,   - 46 63 ,   - 23 63

Exercício Resolvido #8

Seja V = P 2 ( R ) um espaço vetorial munido com o seguinte produto interno:

p x , q ( x ) = ∫ - 1 1 p x q x d x

A partir do conjunto { 1 ,   x + 1 ,   x 2 } , dê uma base ortogonal para V .

Passo 1

Para ortogonalizar o conjunto { 1 ,   x + 1 ,   x 2 } , vamos usar o processo de Gram-Schmidt certo?

Com isso, vamos encontrar uma base β = { u 1 ,   u 2 ,   u 3 } com seus elementos ortogonais dois a dois, vamo lá!

Passo 2

Por Gram-Schmidt, nossa base será formada pelos vetores:

u 1 = 1

u 2 = x + 1 - x + 1 , 1 1 ,   1 1

u 3 = x 2 - x 2 , u 2 u 2 , u 2 u 2 - x 2 , 1 1 , 1 1

Fazendo os cálculos para u 2 :

u 2 = x + 1 - 2 2 1 = x

Já para u 3 :

u 3 = x 2 - x 2 , x x , x x - x 2 , 1 1,1 1

u 3 = x 2 - 0 2 3 x - 2 3 2 1 = x 2 - 2 6

Então, a nossa base ortogonal é β = 1 ,   x ,   x 2 - 2 6

Resposta

β = 1 ,   x ,   x 2 - 2 6

Exercícios de Livros Relacionados

26. Suponha que o R 3 tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de R 3 gerado pelos vetores u → 1 = 4 5 , 0 , - 3 5 e u → 2 = 0,1 , 0 é um plano passando pela origem. Expresse w → = 1,2 , 3 na f
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a