Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

Teoria Completa

Até agora aprendemos um monte de coisas sobre bases ortogonais que muitas vezes facilitam nossas vidas.

Agora e se nos depararmos com um problema com condições perfeitas pra utilizarmos o que aprendemos sobre coordenadas e projeção mas a base não for ortogonal?

Nesses casos temos 2 saídas: ou fazemos do jeito que aprendemos primeiro, para uma base qualquer, ouuu transformamos a base em base ortogonal!!

Em outras palavras, há um modo de achar uma base ortogonal para certo espaço H   a partir de uma base não ortogonal dele. Esse modo é chamado de Ortogonalização de Gram-Schmidt.

Processo de ortogonalização de Gram- Schmidt

Imagine que temos uma base v 1 , v 2 , v 3 e queremos obter uma base ortogonal w 1 , w 2 , w 3 .

Nós queremos mudar mudar a base, não o espaço gerado por ela! Ou seja a nova base ortogonal   w 1 , w 2 , w 3 terá que gerar o mesmo espaço que a antiga. Por esse motivo vamos escrever os vetores da nova base ortogonal em função dos antigos.

Vamos definir os vetores da base ortogonal da seguinte forma:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 + α w 1

w 3 = v 3 + β w 1 + γ w 2

Note que s p a n w 1 , w 2 , w 3 = s p a n v 1 , v 2 , v 3 , já que tudo o que fizemos para obter os vetores w 1 ,   w 2 ,   w 3 foi combinar os vetores v 1 , v 2 , v 3 .

Beleza até aí?? Então, o nosso objetivo é encontrar os valores de α , β   e   γ e encontrar uma base ortogonal! Para isso, o produto interno entre os vetores tem que ser zero.

Temos a exigência de que w 1 , w 2 , w 3 sejam ortogonais entre si.

Vamos forçar o produto interno de w 1   e     w 2   ser zero e isolar o valor de α :

  〈 w 2 , w 1 〉 = 0

〈 v 2 + α w 1 , w 1 〉 = 0

〈 v 2 , w 1 〉 + α 〈 w 1 , w 1 〉 = 0

α = - 〈 v 2 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉

Beleza ja temos α , vamos zerar o produto interno de w 3 , w 1 e encontrar   β :

  〈 w 3 , w 1 〉 = 0

  〈 v 3 + β w 1 + γ w 2 , w 1 〉 = 0

〈 v 3 , w 1 〉 + β 〈 w 1 , w 1 〉 + γ 〈 w 2 , w 1 〉 = 0

Sabemos que 〈 w 2 , w 1 〉 = 0 , então temos:

〈 v 3 , w 1 〉 + β 〈 w 1 , w 1 〉 = 0

β = - 〈 v 3 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉

Agora vamos calcular 〈 w 3 , w 2 〉 e encontrar γ :

  〈 w 3 , w 2 〉 = 0

  〈 v 3 + β w 1 + γ w 2 , w 2 〉 = 0

  〈 v 3 , w 2 〉 + β 〈 w 1 , w 2 〉 + γ 〈 w 2 , w 2 〉 = 0

Sabemos que 〈 w 2 , w 1 〉 = 0 , então temos:

  〈 v 3 , w 2 〉 + γ 〈 w 2 , w 2 〉 = 0

γ = - 〈 v 3 , w 2 〉 〈 w 2 , w 2 〉

Show!! temos tudo o que precisamos para nossa nova base!

Substituindo nos vetores que definimos:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - 〈 v 2 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉 w 1

w 3 = v 3 - 〈 v 3 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉 w 1 - 〈 v 3 , w 2 〉 〈 w 2 , w 2 〉 w 2

Aaaaah, quanta coisa, e se for uma base com 4 vetores, vou ter que ficar fazendo isso o tempo todo?! Com certeza que não haha. Talvez não tenha percebido mas existe um padrão aí, é meio chato de ver mesmo, se liga:

Dada uma base não ortogonal v 1 , v 2 , … , v n , definimos w 1 , w 2 , … , w n por

w 1 = v 1 w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1 w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2 ⋮ ⋮ w n = v n - v n , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v n , w 2 w 2 , w 2 w 2 - … - v n , w n - 1 w n - 1 , w n - 1 w n - 1

Eaí, conseguiu pegar o padrão? Na real, a única linha que precisa gravar é a última:

w n = v n - v n , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v n , w 2 w 2 , w 2 w 2 - … - v n , w n - 1 w n - 1 , w n - 1 w n - 1

Disso aí você consegue encontrar a fórmula para qualquer w ;)

Aplicação

Então bora fazer um exemplinho:

Ache uma base ortogonal para H = 〈 1,3 , 1 , 2,0 , 0 , ( 0,2 , 4 ) 〉

Vamos calcular os vetores da nova base ortogonal w 1 , w 2 , w 3

w 1 = v 1 ⟹ w 1 = ( 1,3 , 1 )

Esse foi fácil, agora w 2 :

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

⟹ w 2 = 2,0 , 0 - 〈 2,0 , 0 , 1,3 , 1 〉 〈 1,3 , 1 , 1,3 , 1 〉 1,3 , 1

⟹   w 2 = 2,0 , 0 - 2 11 1,3 , 1 = 20 11 , - 6 11 , - 2 11

Agora w 3 :

w 3 = v 3 - 〈 v 3 , w 1 〉 〈 w 1 , w 1 〉 w 1 - 〈 v 3 , w 2 〉 〈 w 2 , w 2 〉 w 2

Substituindo os valores,

0,2 , 4 - 〈 0,2 , 4 , 1,3 , 1 〉 〈 1,3 , 1 , 1,3 , 1 〉 1,3 , 1 - 〈 0,2 , 4 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 〉 〈 20 11 , - 6 11 , - 2 11 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 〉 20 11 , - 6 11 , - 2 11

Vamos lá, guerreiro(a)!! Vamos fazer essas contas!!!

w 3 = 0,2 , 4 - 10 11 1,3 , 1 - - 20 11 440 121 20 11 , - 6 11 , - 2 11

Tá quase lá...

w 3 = 0,2 , 4 + - 10 11 , - 30 11 , - 10 11 + - 10 11 , 3 11 , 1 11 = - 20 11 , - 5 11 , 35 11

Ufa!! A nova base para esse espaço então é

1,3 , 1 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 , - 20 11 , - 5 11 , 35 11

Agora é só praticar mais essa técnica :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 146/147. – 21

Consideremos as seguintes bases do R 2 e do R 3 :

a   B = 3,4 , 1,2

b   B = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0,1 , 2

c   B = 1,0 , 1 , 1,0 , - 1 , 0,3 , 4

Ortonormalizar essas bases pelo processo de Gram-Schmidt

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Passo 1

a Definindo a base B = v 1 , v 2 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 pelo processo de Gram-Schmidt. Fazemos então:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

Sendo assim,

w 1 = 3,4

w 2 = 1,2 - 1,2 , 3,4 3,4 , 3,4 3,4 = 1,2 - 11 25 3,4 = 1,2 - 33 25 , 44 25 = - 8 25 , 6 25

Chegamos à base:

B ' = 3,4 , - 8 25 , 6 25

Passo 2

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 :

u 1 = w 1 w 1 = 3,4 5 = 3 5 , 4 5

u 2 = w 2 w 2 = - 8 25 , 6 25 100 25 2 = - 8 25 , 6 25 25 10 = - 4 5 , 3 5

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 3 5 , 4 5 , - 4 5 , 3 5

Passo 3

b Definindo B = v 1 , v 2 , v 3 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 , w 3 pelo processo de Gram-Schmidt. Repare, no entanto, que v 2 já é ortogonal à v 1 ! Logo, podemos definir direto w 2 = v 2 . Fazemos então:

w 1 = v 1

w 2 = v 2

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2

Sendo assim,

w 1 = 1,0 , 0

w 2 = 0,1 , 1

w 3 = 0,1 , 2 - 0,1 , 2 , 1,0 , 0 ⏞ 0 1,0 , 0 , 1,0 , 0 1,0 , 0 - 0,1 , 2 , 0,1 , 1 0,1 , 1 , 0,1 , 1 ⏞ 3 2 0,1 , 1 = 0,1 , 2 - 0 , 3 2 , 3 2 ⇒

⇒ w 3 = 0 , - 1 2 , 1 2

Chegamos à base:

B ' = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0 , - 1 2 , 1 2

Passo 4

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 , u 3 . O vetor u 1 já está normalizado, logo:

u 2 = w 2 w 2 = 0,1 , 1 2 = 0 , 1 2 , 1 2

u 3 = w 3 w 3 = 0 , - 1 2 , 1 2 2 2 = 0 , - 1 2 , 1 2

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 1,0 , 0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 1 2

Passo 5

c Definindo a base B = v 1 , v 2 , v 3 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 , w 3 pelo processo de Gram-Schmidt. Repare que novamente v 2 já é ortogonal à v 1 ! Logo, podemos definir direto w 2 = v 2 . Fazemos então:

  w 1 = v 1

w 2 = v 2

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2

Sendo assim,

w 1 = 1,0 , 1

w 2 = 1,0 , - 1

w 3 = 0,3 , 4 - 0,3 , 4 , 1,0 , 1 1,0 , 1 , 1,0 , 1 ⏞ 2 1,0 , 1 - 0,3 , 4 , 1,0 , - 1 1,0 , - 1 , 1,0 , - 1 ⏞ - 2 1,0 , - 1 ⇒

⇒ w 3 = 0,3 , 4 - 2,0 , 2 + 2,0 , - 2 = 0,3 , 0

Chegamos à base:

B ' = 1,0 , 1 , 1,0 , - 1 , 0,3 , 0

Passo 6

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 , u 3 :

u 1 = w 1 w 1 = 1,0 , 1 2 = 1 2 , 0 , 1 2

u 2 = w 2 w 2 = 1,0 , - 1 2 = 1 2 , 0 , - 1 2

u 3 = w 3 w 3 = 0,3 , 0 3 = 0,1 , 0

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 1 2 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 0,1 , 0

Resposta

a   3 5 , 4 5 , - 4 5 , 3 5

b   1,0 , 0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 1 2

c   1 2 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , - 1 2 , 0,1 , 0

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 147. – 24

Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = 1,0 , - 1,1 ,   v 2 = 0,1 , 0,1 e v 3 = 1,1 , - 1,2 .

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Passo 1

a Depois de uma rápida olhada já dá pra perceber que v 3 = v 1 + v 2 , então podemos tirar ele da parada já. Agora aplicando o processo de Ortogonalização de Gram Schmidt:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

Sendo assim,

w 1 = 1,0 , - 1,1

w 2 = 0,1 , 0,1 - 0,1 , 0,1 , 1,0 , - 1,1 1,0 , - 1,1 , 1,0 , - 1,1 ⏞ 1 3 1,0 , - 1,1 = 0,1 , 0,1 - 1 3 , 0 , - 1 3 , 1 3 ⇒

⇒ w 2 = - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3

Chegamos à base:

B ' = 1,0 , - 1,1 , - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3

Passo 2

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 :

u 1 = w 1 w 1 = 1,0 , - 1,1 3 = 1 3 , 0 ,   - 1 3 , 1 3

u 2 = w 2 w 2 = - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3 1 9 + 9 9 + 1 9 + 4 9 = - 1 3 , 1 , 1 3 , 2 3 3 15 = - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 1 3 , 0 ,   - 1 3 , 1 3 , - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

Resposta

1 3 , 0 ,   - 1 3 , 1 3 , - 1 15 , 3 15 , 1 15 , 2 15

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 147. – 25

Seja S = x , y , z , - 2 x + 4 y + 5 z x , y , z ∈ R subespaço de R 4 com o produto interno usual. Seja A = 1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 ⊂ S

a   Ortonormalizar o conjunto A

b   Completar o conjunto A de modo a transformá-lo numa base ortogonal de S .

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Passo 1

a Boas notícias galera, não precisamos nem ortogonalizar eles haha, se liga:

1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 = 2 - 2 - 2 + 2 = 0

Como eles já são ortogonais, basta normalizarmos os vetores:

1,2 , - 1,1 1,2 , - 1,1 = 1,2 , - 1,1 7 = 1 7 , 2 7 , - 1 7 , 1 7

2 , - 1,2 , 2 2 , - 1,2 , 2 = 2 , - 1,2 , 2 13 = 2 13 , - 1 13 , 2 13 , 2 13

Então o conjunto A normalizado fica:

1 7 , 2 7 , - 1 7 , 1 7 , 2 13 , - 1 13 , 2 13 , 2 13

Passo 2

b   Agora precisamos completar o conjunto A , de modo a transformá-la numa base ortogonal de S . Tá, então precisamos achar um vetor v = x , y , z , w , que obedeça o seguinte:

1,2 , - 1,1 , x , y , z , w = 0

2 , - 1,2 , 2 , x , y , z , w = 0

w = - 2 x + 4 y + 5 z

Repare que as condições são ser ortogonal aos outros dois vetores e fazer parte do conjunto S . Então:

x + 2 y - z + w = 0 2 x - y + 2 z + 2 w = 0 w = - 2 x + 4 y + 5 z       1 2 3

Passo 3

Substituindo 3 em 1 e 2 :

x + 2 y - z + - 2 x + 4 y + 5 z = 0 2 x - y + 2 z + 2 - 2 x + 4 y + 5 z = 0 ⇒

⇒ - x + 6 y + 4 z = 0 ⇒ x = 6 y + 4 z - 2 x + 7 y + 12 z = 0

Substituindo x na equação de baixo:

- 12 y - 8 z + 7 y + 12 z = 0 ⇒ - 5 y + 4 z = 0 ⇒ z = 5 y 4

x = 6 y + 4 5 y 4 ⇒ x = 11 y

Agora podemos substituir x e z na equação de w :

w = - 22 y + 4 y + 25 y 4 = - 88 y 4 + 16 y 4 + 25 y 4 ⇒ w = - 47 y 4

Nosso terceiro vetor será então:

v = 11 y , y , 5 y 4 , - 47 y 4 = y 11,1 , 5 4 , - 47 4

Então uma base possível para S seria:

1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 , 44,4 , 5 , - 47

Resposta

a   1 7 , 2 7 , - 1 7 , 1 7 , 2 13 , - 1 13 , 2 13 , 2 13

b   1,2 , - 1,1 , 2 , - 1,2 , 2 , 44,4 , 5 , - 47

Exercício Resolvido #4

IME USP, Lista de Álgebra Linear, Professor Kostiatyn Iusenko

Ortonormalizar a base u 1 = ( 1 ,   1 ,   1 ) , u 2 = 1 ,   - 1 ,   1