Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

Teoria Completa

Até agora aprendemos um monte de coisas sobre bases ortogonais que muitas vezes facilitam nossas vidas. Agora e se nos depararmos com um problema com condições perfeitas pra utilizarmos o que aprendemos sobre coordenadas e projeção mas a base não for ortogonal?

Nesses casos temos 2 saídas: ou fazemos do jeito que aprendemos primeiro, para uma base qualquer, ouuu transformamos a base em base ortogonal!!

Em outras palavras, há um modo de achar uma base ortogonal para certo espaço H   a partir de uma base não ortogonal dele. Esse modo é chamado de Ortogonalização de Gram-Schmidt.

Imagine que temos uma base v 1 , v 2 , v 3 e queremos obter uma base ortogonal w 1 , w 2 , w 3 a partir dessa base.

Vamos definir os vetores da base ortogonal da seguinte forma:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 + α w 1

w 3 = v 3 + β w 1 + γ w 2

Note que s p a n w 1 , w 2 , w 3 = s p a n v 1 , v 2 , v 3 , já que tudo o que fizemos para obter os vetores w 1 ,   w 2 ,   w 3 foi combinar os vetores v 1 , v 2 , v 3 . Além disso, temos a exigência de que w 1 , w 2 , w 3 sejam ortogonais entre si. Disso tiramos os sistemas:

w 2 = v 2 + α w 1 w 2 , w 1 = 0 ⇒ v 2 + α w 1 , w 1 = 0 ⇒ v 2 , w 1 + α w 1 , w 1 = 0 ⇒ α = - v 2 , w 1 w 1 , w 1

w 3 = v 3 + β w 1 + γ w 2 w 3 , w 1 = 0 ⇒ v 3 , w 1 + β w 1 , w 1 + γ w 2 , w 1 ⏟ 0 = 0 ⇒ β = - v 3 , w 1 w 1 , w 1

w 3 = v 3 + β w 1 + γ w 2 w 3 , w 2 = 0 ⇒ v 3 , w 2 + β w 1 , w 2 ⏟ 0 + γ w 2 , w 2 = 0 ⇒ γ = - v 3 , w 2 w 2 , w 2

Substituindo nos vetores que definimos:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2

Aaaaah, quanta coisa, e se for uma base com 4 vetores, vou ter que ficar fazendo isso o tempo todo?! Com certeza que não haha. Talvez não tenha percebido mas existe um padrão aí, é meio chato de ver mesmo, se liga:

Dada uma base não ortogonal v 1 , v 2 , … , v n , definimos w 1 , w 2 , … , w n por

w 1 = v 1 w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1 w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2 ⋮ ⋮ w n = v n - v n , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v n , w 2 w 2 , w 2 w 2 - … - v n , w n - 1 w n - 1 , w n - 1 w n - 1

Eaí, conseguiu pegar o padrão? Na real, a única linha que precisa gravar é a última:

w n = v n - v n , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v n , w 2 w 2 , w 2 w 2 - … - v n , w n - 1 w n - 1 , w n - 1 w n - 1

Disso aí você consegue encontrar a fórmula para qualquer w ;)

Então bora fazer um exemplinho:

Ache uma base ortogonal para H = 1,3 , 1 , 2,0 , 0 , ( 0,2 , 4 )

w 1 = v 1 ⟹ w 1 = ( 1,3 , 1 )

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1 ⟹ w 2 = 2,0 , 0 - 2,0 , 0 , 1,3 , 1 1,3 , 1 , 1,3 , 1 ( 1,3 , 1 )

w 2 = 2,0 , 0 - 2 11 1,3 , 1 = 20 11 , - 6 11 , - 2 11

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2 ⟹

( 0,2 , 4 ) - 0,2 , 4 , 1,3 , 1 1,3 , 1 , 1,3 , 1 ( 1,3 , 1 ) - 0,2 , 4 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 20 11 , - 6 11 , - 2 11 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 20 11 , - 6 11 , - 2 11

w 3 = 0,2 , 4 - 10 11 1,3 , 1 - - 20 11 440 121 20 11 , - 6 11 , - 2 11

w 3 = 0,2 , 4 + - 10 11 , - 30 11 , - 10 11 + - 10 11 , 3 11 , 1 11 = - 20 11 , - 5 11 , 35 11

A nova base para esse espaço então é 1,3 , 1 , 20 11 , - 6 11 , - 2 11 , - 20 11 , - 5 11 , 35 11

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Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 146/147. – 21

Consideremos as seguintes bases do R 2 e do R 3 :

a   B = 3,4 , 1,2

b   B = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0,1 , 2

c   B = 1,0 , 1 , 1,0 , - 1 , 0,3 , 4

Ortonormalizar essas bases pelo processo de Gram-Schmidt

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Definindo a base B = v 1 , v 2 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 pelo processo de Gram-Schmidt. Fazemos então:

w 1 = v 1

w 2 = v 2 - v 2 , w 1 w 1 , w 1 w 1

Sendo assim,

w 1 = 3,4

w 2 = 1,2 - 1,2 , 3,4 3,4 , 3,4 3,4 = 1,2 - 11 25 3,4 = 1,2 - 33 25 , 44 25 = - 8 25 , 6 25

Chegamos à base:

B ' = 3,4 , - 8 25 , 6 25

Passo 2

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 :

u 1 = w 1 w 1 = 3,4 5 = 3 5 , 4 5

u 2 = w 2 w 2 = - 8 25 , 6 25 100 25 2 = - 8 25 , 6 25 25 10 = - 4 5 , 3 5

Logo, temos a base ortonormal:

B ' ' = 3 5 , 4 5 , - 4 5 , 3 5

Passo 3

b Definindo B = v 1 , v 2 , v 3 , queremos obter a base ortogonal B ' = w 1 , w 2 , w 3 pelo processo de Gram-Schmidt. Repare, no entanto, que v 2 já é ortogonal à v 1 ! Logo, podemos definir direto w 2 = v 2 . Fazemos então:

w 1 = v 1

w 2 = v 2

w 3 = v 3 - v 3 , w 1 w 1 , w 1 w 1 - v 3 , w 2 w 2 , w 2 w 2

Sendo assim,

w 1 = 1,0 , 0

w 2 = 0,1 , 1

w 3 = 0,1 , 2 - 0,1 , 2 , 1,0 , 0 ⏞ 0 1,0 , 0 , 1,0 , 0 1,0 , 0 - 0,1 , 2 , 0,1 , 1 0,1 , 1 , 0,1 , 1 ⏞ 3 2 0,1 , 1 = 0,1 , 2 - 0 , 3 2 , 3 2 ⇒

⇒ w 3 = 0 , - 1 2 , 1 2

Chegamos à base:

B ' = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0 , - 1 2 , 1 2

Passo 4

Agora precisamos normalizar os vetores da base B ' a fim de obter a base ortonormal B ' ' = u 1 , u 2 , u 3 . O vetor u 1 já está normalizado, logo:

u 2 = w 2 w 2 = 0,1 , 1 2 = 0 , 1 2 , 1 2

u 3 = w 3 w 3 = 0 , - 1 2 , 1 2 2 2 = 0 , - 1 2 , 1 2