Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

Teoria Completa

Tendo visto bases ortogonais e bases ortonormais, nada mais natural agora do que vermos como escrever as coordenadas de um vetor em uma base ortogonal.

Você deve tá pensando: ué, mas eu já sei escrever as coordenadas de um vetor em uma base qualquer, por que tenho que estudar isso de novo?

Ah você sabe mesmo? Então resolve esse exercício aqui comigo:

Considere a base ortogonal

β = 1,1 , 1,1 , 1 , 1,0 , 0,0 , - 1 , 0,1 , 0 , - 1,0 , 1,1 , - 4,1 , 1 , 1 , - 1,0 , - 1,1

Calcule a quinta coordenada do vetor v = 0,3 , 10,5 , - 8 com relação à base β .

Bom primeiramente, igualamos o vetor a uma combinação linear dos vetores da base em questão. As coordenadas serão os coeficientes dessa combinação linear.

a 1,1 , 1,1 , 1 + b 1,0 , 0,0 , - 1 + c 0,1 , 0 , - 1,0 + d 1,1 , - 4,1 , 1 + e 1 , - 1,0 , - 1,1 = 0,3 , 10,5 , - 8

E igualamos coordenada por coordenada:

a + b + d + e = 0 a + c + d - e = 3 a - 4 d = 1 0 a - c + d - e = 5 a - b + d + e = - 8

Nossa senhora! Olha o tamanho desse sistema!! Temos que resolver isso tudo só para achar 1 coordenada??

Então gente, acontece que tem uma maneira mais fácil de resolver isso aí sem ter que fazer esse montão de conta, simplesmente pelo fato dessa base ser ortogonal. Isso porque o produto interno entre vetores ortogonais é 0 . Vamos ver um exemplo:

Vamos calcular as coordenadas do vetor 1,2 , 3 na base ortogonal

β = 1,1 , 0 , 1 , - 1,0 , 0,0 , 1

Bom, normalmente nós faríamos um sistema e resolveríamos. Mas dessa vez vamos tentar uma coisa diferente. Vamos usar as seguintes denominações:

v = 1,2 , 3

β = v 1 , v 2 , v 3

Bom, sabemos que todo vetor de um espaço pode ser escrito como uma combinação de vetores de uma base desse espaço. Portanto:

v = α v 1 + γ v 2 + φ v 3

Vamos fazer agora o produto interno 〈 v , v 1 〉 :

v , v 1 = 〈 α v 1 + γ v 2 + φ v 3 , v 1 〉

Pela linearidade do produto interno podemos separá-lo da seguinte forma:

v , v 1 = α v 1 , v 1 + γ v 2 , v 1 ⏟ 0 + φ 〈 v 3 , v 1 〉 ⏟ 0

Opa, repare que v 2 e v 1 , assim como v 3 e v 1 são ortogonais, portanto, seu produto interno vale 0 . Resolvendo os produtos internos restantes:

v , v 1 = α v 1 , v 1

1,2 , 3 , 1,1 , 0 = α 1,1 , 0 , 1,1 , 0

3 = 2 α

α = 3 2

Fazemos o mesmo para 〈 v , v 2 〉 :

v , v 2 = α v 1 , v 2 ⏟ 0 + γ 〈 v 2 , v 2 〉 + φ 〈 v 3 , v 2 〉 ⏟ 0

v , v 2 = γ 〈 v 2 , v 2 〉

1,2 , 3 , 1 , - 1,0 = γ 1 , - 1,0 , 1 , - 1,0

- 1 = 2 γ

γ = - 1 2

E, por fim, para 〈 v , v 3 〉 :

  v , v 3 = φ 〈 v 3 , v 3 〉

1,2 , 3 , 0,0 , 1 = φ 0,0 , 1 , 0,0 , 1

3 = φ

Temos então que as coordenadas de 1,2 , 3 na base β são:

v β = α , γ , φ = 3 2 , - 1 2 , 3

E, de fato,

3 2 ∙ 1,1 , 0 - 1 2 ∙ 1 , - 1,0 + 3 ∙ 0,0 , 1 = 1,2 , 3

Muito mais rápido do que resolver por sistema né?

Bom, agora vamos voltar para aquele exemplo:

β = 1,1 , 1,1 , 1 , 1,0 , 0,0 , - 1 , 0,1 , 0 , - 1,0 , 1,1 , - 4,1 , 1 , 1 , - 1,0 , - 1,1

Calcule a quinta coordenada do vetor v = 0,3 , 10,5 , - 8 com relação à base β .

E aí, vai encarar por sistema haha? Vamos ver como ficaria por produto interno:

v , v 5 = α 〈 v 5 , v 5 〉

0,3 , 10,5 , - 8 , 1 , - 1,0 , - 1,1 = α 1 , - 1,0 , - 1,1 , 1 , - 1,0 , - 1,1

0 - 3 + 0 - 5 - 8 = α 1 + 1 + 0 + 1 + 1

- 16 = 4 α

α = - 4

Logo, a quinta coordenada de v na base β é - 4 . Espero que esteja convencido depois disso haha

Lembre-se, no entanto, que isso só vale quando a base é ortogonal ;)

Resumão

Bom, chegamos a conclusão de que, para escrever um vetor v em uma base ortogonal β = { v 1 , … , v n } , basta resolvermos:

α i = v , v i v i , v i = v , v i v i 2

Para todos os vetores v i da base β .

Se tivermos uma base ortonormal, temos que v i 2 = 1 . Logo, temos que resolver simplesmente:

α i = 〈 v , v i 〉

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Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 165 – Ext 5.11

Dado que β = 1 0 1 , - 1 4 1 , 2 1 - 2 é base ortogonal de R 3 , expresse v β , onde v = 8 - 4 - 3

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Passo 1

Para obtermos as coordenadas de v na base β , basta resolvermos:

v , v 1 = α v 1 , v 1

v , v 2 = γ v 2 , v 2

v , v 3 = φ 〈 v 3 , v 3 〉

Onde:

β = v 1 , v 2 , v 3

v β = α , γ , φ

Passo 2

v , v 1 = α v 1 , v 1

8 + 0 - 3 = α 1 + 0 + 1

5 = 2 α

α = 5 2

Passo 3

v , v 2 = γ v 2 , v 2

- 8 - 16 - 3 = γ 1 + 16 + 1

- 27 = 18 γ

γ = - 27 18 = - 3 2

Passo 4

v , v 3 = φ 〈 v 3 , v 3 〉

16 - 4 + 6 = φ 4 + 1 + 4

18 = 9 φ

φ = 2

Passo 5

Temos que:

v β = α , γ , φ = 5 2 , - 3 2 , 2

Resposta

v β = 5 2 , - 3 2 , 2

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 147. – 22

O conjunto

B = 1 2 , 1 2 , - 1 2 , 1 2

é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada v = 2,4 em relação à base B .

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Passo 1

Chamamos:

B = v 1 , v 2

v B = α , γ

Como temos uma base ortonormal, basta resolvermos:

v , v 1 = α

2 2 + 4 2 = α

α = 6 2 = 3 2

v , v 2 = γ

- 2 2 + 4 2 = γ

γ = 2 2 = 2

Logo,

v B = 3 2 , 2

Resposta

v B = 3 2 , 2

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P3 – 2014.1-1

À questão “Calcule as coordenadas do vetor v = ( 1,1 , 1 ) na base ortogonal

δ = v 1 = 1,0 , 0 ,   v 2 = 0,1 , 1 , v 3 = 0,1 , - 1

De R 3 .” Joãozinho respondeu:

Joãozinho está errado, pois v ≠ v 1 + 2 v 2 . Indique qual foi o erro que Joãozinho cometeu e explique a sua afirmação.

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Passo 1

-

Joãozinho considerou que a base era ortoNORMAL, pois se utilizou do fato de que qualquer vetor escrito como C L de uma base ortogonal pode ser escrito com os coeficientes da forma:

α i = v , v i v i 2

E assim se a base é ortoNORMAL, fica:

α i = 〈 v , v i 〉

Pois para uma base ortoNORMAL v i = 1 . Portanto, faltou ele dividir cada coeficiente pela norma de cada vetor v i .

Resposta

Exercício Resolvido #4

PUCRIO-P2-2015.1-3

Sejam T : R 3 ⟶ R uma transformação linear e { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } uma base ortonormal de R 3 .

a   O que significa um subconjunto { w 1 , … , w k } ser ortonormal?

b   Mostre que para todo u ∈ R 3 vale:

u = u , v 1 . v 1 + u , v 2 . v 2 + u , v 3 . v 3

c   Sejam a i = T v i ,   i = 1 , 2,3 e u ∈ R 3 . Mostre que

T u = 〈 u , a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 〉

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Passo 1

a   Significa que w i , w j = 0 se i ≠ j e w i , w j = 1 , para todo i = j em 1 , … , k .

Se você ficou confuso com toda essa notação, não tem problema algum escrever isso com o bom e velho português. Basta você escrever que o produto interno é zero para vetores diferentes entre si, e que todos os vetores possuem a norma igual a 1 .

Passo 2

b   Temos que provar que u = u , v 1 . v 1 + u , v 2 . v 2 + u , v 3 . v 3

Mas o que exatamente ele quis dizer?? Basta você perceber que os coeficientes são da forma:

a 1 = u , v 1 ,     a 2 = u , v 2 ,     a 3 = 〈 u , v 3 〉

Sabendo que u = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 . Generalizando, queremos saber que um vetor u , qualquer, pode ser escrito com C L de uma base ortonormal, com os coeficientes dessa base, sendo o produto interno desse vetor com o vetor de cada base. Matematicamente é isso aqui:

a j = u , v j ,     j = 1,2 , 3

Passo 3

Agora que já sabemos aonde queremos chegar, vamos começar. Vamos desenvolver o lado esquerdo e chegar no lado direito. Mas vamos desenvolver apenas o u ??? Sim. Mas como??

Lembre-se que qualquer vetor pode ser escrito como C L de uma base, então:

u = b 1 v 1 + b 2 v 2 + b 3 v 3

Aplicando o produto interno dos dois lados com um vetor v j :

u , v j = b 1 v 1 + b 2 v 2 + b 3 v 3 ,   v j ⇒

u , v j = b 1 v 1 ,   v j + b 2 v 2 ,   v j + b 3 v 3 ,   v j ,     j = 1,2 , 3

Passo 4

Entretanto, estamos esquecendo uma coisa! Esse v j é algum dos vetores da base! Então, certamente não podemos zerar todos, já que todo mundo é ortogonal 2 a 2 . E, assim, como v j é v 1 ,   v 2 ,   v 3 , existe um vetor correspondente a ele que não ira zerar o produto interno, pois o produto interno de um vetor com ele mesmo não dá zero se ele não for o vetor nulo.

Logo, podemos reescrever como:

u , v j = b j 〈 v j , v j 〉

Mas como a base é ortoNORMAL:

u , v j = b j v j , v j = b j . 1 = b j ⇒

b j = u , v j ,     j = 1,2 , 3

Substituindo na primeira equação:

u = u , v 1 v 1 + u , v 2 v 2 + u , v 3 v 3

Passo 5

c   Para fazer esse item, precisaremos usar o que provamos na letra anterior. Assim, vamos desenvolver o lado esquerdo, de novo, e chegar no lado direito:

Então temos que desenvolver T ( u ) . E usando os conhecimentos da questão anterior, podemos fazer:

u = u , v 1 v 1 + u , v 2 v 2 + u , v 3 v 3

Pela linearidade de T : (lembre-se que o produto interno é um número como qualquer outro)

T u = u , v 1 T v 1 + u , v 2 T ( v 2 ) + u , v 3 T v 3

Passo 6

Agora usando a hipótese que a i = T v i ,   i = 1 , 2,3 .

T u = u , v 1 a 1 + u , v 2 a 2 + u , v 3 a 3

Usando as propriedades do produto interno, podemos juntar todo mundo:

T u = u , a 1 v 1 + u , a 2 v 2 + u , a 3 v 3

T u = 〈 u ,   a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 〉

Resposta

( a ) Significa que w i , w j = 0 se i ≠ j e w i , w j = 1 , para todo i = j em 1 , … , k . Em outras palavras, o produto interno é zero para vetores diferentes entre si, e que todos os vetores possuem a norma igual a 1 .

Exercício Resolvido #5

PUC-RIO, Aula de Álgebra Linear, 2004/2

Dada a base β = 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   - 2 ,   1 , determine as coordenadas do vetor 123 ,   217 ,   15 na base β .

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Passo 1

O que temos sobre a base β ?

Se calcularmos o produto interno entre os vetores dois a dois, descobrimos que sempre vai dar 0, logo, essa base é ortogonal beleza?

Vimos que pra calcular as coordenadas de um vetor em uma base ortogonal, basta utilizarmos:

α i = v ,   v i ⟨ v i ,   v i ⟩

Onde α i é a i-ésima coordenada do vetor na base β .

Então bora lá usar essa fórmula :)

Passo 2

Para a primeira coordenada, temos α 1 = 123 ,   217 ,   15 ,   ( 1 ,   1 ,   1 ) ⟨ 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ⟩

α 1 = 123 + 217 + 15 1 + 1 + 1

α 1 = 355 3

Boaa, já temos a primeira coordenada, agora vamos calcular as próximas ok?

Passo 3

Para a segunda coordenada: α 2 = 123 ,   217 ,   15 ,   ( 1 ,   0 ,   - 1 ) ⟨ 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ⟩

α 2 = 123 - 15 1 + 1

α 2 = 108 2 = 54

Já para a terceira coordenada: α 3 = 123 ,   217 ,   15 ,   ( 1 ,   - 2 ,   1 ) ⟨ 1 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   - 2 ,   1 ⟩

α 3 = 123 - 434 + 15 1 + 4 + 1

α 3 = - 296 6 = - 148 3

Belezaa, achamos nossas 3 coordenadas, então, o vetor dado escrito na base β é:

355 3 ,   54 ,   - 148 3 β

Resposta

355 3 ,   54 ,   - 148 3 β

Exercício Resolvido #6

UFABC, Aula de Bases Ortonormais e Processo de Gram-Schmidt, Professora Juliana Pimentel,

Sejam v 1 = 0 ,   1 ,   0 , v 2 = - 4 5 ,   0 , 3 5 , v 3 = 3 5 ,   0 , 4 5 .

Obtenha as coordenadas de u = 1 ,   1 ,   1 em relação à base ortonormal S = v 1 ,   v 2 ,   v 3 .

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Passo 1

Já vimos que pra calcular as coordenadas de um vetor em uma base ortogonal, usamos:

α i = v ,   v i ⟨ v i ,   v i ⟩

Mas opa, a base do exercício é ortonormal!!

O que isso vai mudar na nossa vida?

Simples, o produto interno ⟨ v i ,   v i ⟩ sempre vai ser 1, afinal, todos os vetores de S têm norma 1 não é?

Então a fórmula que vamos usar vai ser apenas:

α i = v ,   v i

Vamo lá!

Passo 2

Para a primeira coordenada: α 1 = u ,   v 1

α 1 = 1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0

α 1 = 1

Para a segunda coordenada:

α 2 = 1 ,   1 ,   1 ,   - 4 5 ,   0 , 3 5

α 2 = - 4 5 + 3 5 = - 1 5

Por fim, para a terceira coordenada:

α 3 = 1 ,   1 ,   1 ,   3 5 ,   0 , 4 5

α 3 = 3 5 + 4 5 = 7 5

Aeee, então as coordenadas do vetor 1 ,   1 ,   1 na base S são:

1 ,   - 1 5 , 7 5 S

Resposta

1 ,   - 1 5 , 7 5 S

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria.

Dada a base α = 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   - 2 .

a) Mostre que α é uma base ortogonal.

b) Escreva o vetor ( 2 ,   1 ,   3 ) na base α .

c) Transforme α em uma base β ortonormal.

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Passo 1

a) Para que α seja uma base ortogonal, o produto interno entre seus vetores calculados dois a dois devem sempre ser 0 certo? Então vamos calcular os produtos internos:

1 ,   0 ,   1 . 0 ,   1 ,   0 = 0 + 0 + 0 = 0

1 ,   0 ,   1 . 2 ,   0 ,   - 2 = 2 + 0 - 2 = 0

0 ,   1 ,   0 . 2 ,   0 ,   - 2 = 0 + 0 + 0 = 0

Todos os produtos internos resultaram em 0, logo, realmente a base α é ortogonal :D

Passo 2

b) Como α é uma base ortogonal, podemos calcular as coordenadas de ( 2 ,   1 ,   3 ) utilizando:

α i = v ,   v i ⟨ v i ,   v i ⟩

Para a primeira coordenada:

α 1 = ( 2 ,   1 ,   3 ) ,   ( 1 ,   0 ,   1 ) ⟨ 1 ,   0 ,   1 ,   ( 1 ,   0 ,   1 ) ⟩

α 1 = 2 + 3 1 + 1 = 5 2

Para a segunda coordenada:

α 2 = ( 2 ,   1 ,   3 ) ,   ( 0 ,   1 ,   0 ) ⟨ ( 0 ,   1 ,   0 ) ,   ( 0 ,   1 ,   0 ) ⟩

α 2 = 1 1 = 1

Para a terceira coordenada:

α 3 = ( 2 ,   1 ,   3 ) ,   ( 2 ,   0 ,   - 2 ) ⟨ ( 2 ,   0 ,   - 2 ) ,   ( 2 ,   0 ,   - 2 ) ⟩

α 3 = 4 - 6 4 + 4 = - 2 8 = - 1 4

Encontramos as 3 coordenadass, então, o vetor ( 2 ,   1 ,   3 ) escrito na base α é:

5 2 ,   1 ,   - 1 4 α

Passo 3

c) α já é uma base ortogonal, agora, para que seja ortonormal, basta dividirmos seus vetores por suas respectivas normas.

Vamos calcular as normas de cada um dos seus vetores:

( 1 ,   0 ,   1 ) = 1 + 1 = 2

( 0 ,   1 ,   0 ) = 1 = 1

( 2 ,   0 ,   - 2 ) = 4 + 4 = 8

Então, a base ortonormal β vai ser

β = 1 2 ,   0 , 1 2 ,   0 ,   1 ,   0 ,   2 8 ,   0 ,   - 2 8

Resposta

a) Demonstração.

b) 5 2 ,   1 ,   - 1 4 α

c) β = 1 2 ,   0 , 1 2 ,   0 ,   1 ,   0 ,   2 8 ,   0 ,   - 2 8

Exercício Resolvido #8

PUC-RIO, Aula de Bases Ortonormais e Matrizes Ortogonais

Encontre uma base ortonormal β