Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

Teoria Completa

Tendo visto bases ortogonais e bases ortonormais, nada mais natural agora do que vermos como escrever as coordenadas de um vetor em uma base ortogonal.

Você deve tá pensando: ué, mas eu já sei escrever as coordenadas de um vetor em uma base qualquer, por que tenho que estudar isso de novo?

Ah você sabe mesmo? Então resolve esse exercício aqui comigo:

Considere a base ortogonal

β = 1,1 , 1,1 , 1 , 1,0 , 0,0 , - 1 , 0,1 , 0 , - 1,0 , 1,1 , - 4,1 , 1 , 1 , - 1,0 , - 1,1

Calcule a quinta coordenada do vetor v = 0,3 , 10,5 , - 8 com relação à base β .

Bom primeiramente, igualamos o vetor a uma combinação linear dos vetores da base em questão. As coordenadas serão os coeficientes dessa combinação linear.

a 1,1 , 1,1 , 1 + b 1,0 , 0,0 , - 1 + c 0,1 , 0 , - 1,0 + d 1,1 , - 4,1 , 1 + e 1 , - 1,0 , - 1,1 = 0,3 , 10,5 , - 8

E igualamos coordenada por coordenada:

a + b + d + e = 0 a + c + d - e = 3 a - 4 d = 1 0 a - c + d - e = 5 a - b + d + e = - 8

Nossa senhora! Olha o tamanho desse sistema!! Temos que resolver isso tudo só para achar 1 coordenada??

Então gente, acontece que tem uma maneira mais fácil de resolver isso aí sem ter que fazer esse montão de conta, simplesmente pelo fato dessa base ser ortogonal. Isso porque o produto interno entre vetores ortogonais é 0 . Vamos ver um exemplo:

Vamos calcular as coordenadas do vetor 1,2 , 3 na base ortogonal

β = 1,1 , 0 , 1 , - 1,0 , 0,0 , 1

Bom, normalmente nós faríamos um sistema e resolveríamos. Mas dessa vez vamos tentar uma coisa diferente. Vamos usar as seguintes denominações:

v = 1,2 , 3

β = v 1 , v 2 , v 3

Bom, sabemos que todo vetor de um espaço pode ser escrito como uma combinação de vetores de uma base desse espaço. Portanto:

v = α v 1 + γ v 2 + φ v 3

Vamos fazer agora o produto interno 〈 v , v 1 〉 :

v , v 1 = 〈 α v 1 + γ v 2 + φ v 3 , v 1 〉

Pela linearidade do produto interno podemos separá-lo da seguinte forma:

v , v 1 = α v 1 , v 1 + γ v 2 , v 1 ⏟ 0 + φ 〈 v 3 , v 1 〉 ⏟ 0

Opa, repare que v 2 e v 1 , assim como v 3 e v 1 são ortogonais, portanto, seu produto interno vale 0 . Resolvendo os produtos internos restantes:

v , v 1 = α v 1 , v 1

1,2 , 3 , 1,1 , 0 = α 1,1 , 0 , 1,1 , 0

3 = 2 α

α = 3 2

Fazemos o mesmo para 〈 v , v 2 〉 :

v , v 2 = α v 1 , v 2 ⏟ 0 + γ 〈 v 2 , v 2 〉 + φ 〈 v 3 , v 2 〉 ⏟ 0

v , v 2 = γ 〈 v 2 , v 2 〉

1,2 , 3 , 1 , - 1,0 = γ 1 , - 1,0 , 1 , - 1,0

- 1 = 2 γ

γ = - 1 2

E, por fim, para 〈 v , v 3 〉 :

  v , v 3 = φ 〈 v 3 , v 3 〉

1,2 , 3 , 0,0 , 1 = φ 0,0 , 1 , 0,0 , 1

3 = φ

Temos então que as coordenadas de 1,2 , 3 na base β são:

v β = α , γ , φ = 3 2 , - 1 2 , 3

E, de fato,

3 2 ∙ 1,1 , 0 - 1 2 ∙ 1 , - 1,0 + 3 ∙ 0,0 , 1 = 1,2 , 3

Muito mais rápido do que resolver por sistema né?

Bom, agora vamos voltar para aquele exemplo:

β = 1,1 , 1,1 , 1 , 1,0 , 0,0 , - 1 , 0,1 , 0 , - 1,0 , 1,1 , - 4,1 , 1 , 1 , - 1,0 , - 1,1

Calcule a quinta coordenada do vetor v = 0,3 , 10,5 , - 8 com relação à base β .

E aí, vai encarar por sistema haha? Vamos ver como ficaria por produto interno:

v , v 5 = α 〈 v 5 , v 5 〉

0,3 , 10,5 , - 8 , 1 , - 1,0 , - 1,1 = α 1 , - 1,0 , - 1,1 , 1 , - 1,0 , - 1,1

0 - 3 + 0 - 5 - 8 = α 1 + 1 + 0 + 1 + 1

- 16 = 4 α

α = - 4

Logo, a quinta coordenada de v na base β é - 4 . Espero que esteja convencido depois disso haha

Lembre-se, no entanto, que isso só vale quando a base é ortogonal ;)

Resumão

Bom, chegamos a conclusão de que, para escrever um vetor v em uma base ortogonal β = { v 1 , … , v n } , basta resolvermos:

α i = v , v i v i , v i = v , v i v i 2

Para todos os vetores v i da base β .

Se tivermos uma base ortonormal, temos que v i 2 = 1 . Logo, temos que resolver simplesmente:

α i = 〈 v , v i 〉

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 165 – Ext 5.11

Dado que β = 1 0 1 , - 1 4 1 , 2 1 - 2 é base ortogonal de R 3 , expresse v β , onde v = 8 - 4 - 3

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Passo 1

Para obtermos as coordenadas de v na base β , basta resolvermos:

v , v 1 = α v 1 , v 1

v , v 2 = γ v 2 , v 2

v , v 3 = φ 〈 v 3 , v 3 〉

Onde:

β = v 1 , v 2 , v 3

v β = α , γ , φ

Passo 2

v , v 1 = α v 1 , v 1

8 + 0 - 3 = α 1 + 0 + 1

5 = 2 α

α = 5 2

Passo 3

v , v 2 = γ v 2 , v 2

- 8 - 16 - 3 = γ 1 + 16 + 1

- 27 = 18 γ

γ = - 27 18 = - 3 2

Passo 4

v , v 3 = φ 〈 v 3 , v 3 〉

16 - 4 + 6 = φ 4 + 1 + 4

18 = 9 φ

φ = 2

Passo 5

Temos que:

v β = α , γ , φ = 5 2 , - 3 2 , 2

Resposta

v β = 5 2 , - 3 2 , 2

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 147. – 22

O conjunto

B = 1 2 , 1 2 , - 1 2 , 1 2

é uma base ortonormal do R 2 com o produto interno usual. Determinar o vetor coordenada v = 2,4 em relação à base B .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Chamamos:

B = v 1 , v 2

v B = α , γ

Como temos uma base ortonormal, basta resolvermos:

v , v 1 = α

2 2 + 4 2 = α

α = 6 2 = 3 2

v , v 2 = γ

- 2 2 + 4 2 = γ

γ = 2 2 = 2

Logo,

v B = 3 2 , 2

Resposta

v B = 3 2 , 2

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P3 – 2014.1-1

À questão “Calcule as coordenadas do vetor v = ( 1,1 , 1 ) na base ortogonal

δ = v 1 = 1,0 , 0 ,   v 2 = 0,1 , 1 , v 3 = 0,1 , - 1

De R 3 .” Joãozinho respondeu: