Projeção em Base Ortogonal

Teoria Completa

Fala galera, já demos uma olhada em base ortogonal né? Um uso bem legal dela é que facilita a nossa vida na hora de achar a projeção de um vetor sobre um espaço qualquer através de produtos internos! Isso aí!

Vou direto ao ponto, se β = v 1 , v 2 , … , v n é base ortogonal de H , então:

P H b = b , v 1 v 1 , v 1 v 1 + b , v 2 v 2 , v 2 v 2 + … + b , v n v n , v n v n = ∑ i = 1 n b , v i v i , v i v i

Exemplo: Seja H o plano no R 3 gerado pelos vetores 1,0 , 1 e - 1,4 , 1 , calcule a projeção ortogonal do vetor 1,2 , 1 sobre H .

Como podemos ver, 1,0 , 1 , - 1,4 , 1 = 0 . Logo, temos uma base ortogonal para H . Sendo assim:

P H b = 1,2 , 1 , 1,0 , 1 1,0 , 1 , 1,0 , 1 1,0 , 1 + 1,2 , 1 , - 1,4 , 1 - 1,4 , 1 , - 1,4 , 1 - 1,4 , 1 = 2 2 1,0 , 1 + 8 18 - 1,4 , 1

P H b = 1,0 , 1 + - 4 9 , 16 9 , 4 9 = 5 9 , 16 9 , 13 9 = 1 9 5,16,13

Um caso particular muito interessante é quando H é uma reta. Nesse caso, não precisamos nos preocupar com a questão da base ortogonal. Temos que a projeção de um vetor b na reta dada por v é:

P v b = b , v v , v v

Outro caso interessante é quando a base é ortonormal. Já que, pelo produto interno dos vetores com eles mesmos ser 1, a fórmula pode ser reescrita dessa forma:

P H b = ∑ i = 1 n b , v i v i

Sendo agora β = v 1 , v 2 , … , v n uma base ortonormal de H .

E só mais um exemplo pra terminar:

Seja r a reta no R 2 gerado pelo vetor 1 2 , 1 2 , calcule a projeção ortogonal do vetor ( 3,4 ) sobre r .

Oba! Temos um caso de projeção em uma reta e o vetor que gera ela é ortonormal, tranquilinho. Vamos usar essa fórmula aqui:

P r b = b , v v , v v

Opa, mas nosso denominador vai ser 1 né, então bora simplificar isso aí:

P r b = b , v v

Substituindo:

P r b = ( 3,4 ) , 1 2 , 1 2 1 2 , 1 2

P r b = 3 ∙ 1 2 + 4 ∙ 1 2 1 2 , 1 2

P r b = 7 2 1 2 , 1 2 = 7 2 , 7 2

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Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 160 – Exemplo 5.22

Determine P H v se v = 2 , 0,0 para cada H abaixo (as bases são ortogonais):

a H = s p a n   1 2 3 , 4 1 - 2

b H = s p a n 1 2 3

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Passo 1

Letra a

P H b = 2,0 , 0 , 1,2 , 3 1,2 , 3 , 1,2 , 3 1,2 , 3 + 2,0 , 0 , 4,1 , - 2 4,1 , - 2 , 4,1 , - 2 4,1 , - 2

P H b = 2 14 1,2 , 3 + 8 21 4,1 , - 2 = 5 3 , 2 3 , - 1 3 = 1 3 5,2 , - 1

Passo 2

Letra b

P H b = 2,0 , 0 , 1,2 , 3 1,2 , 3 , 1,2 , 3 1,2 , 3

P H b = 2 14 1,2 , 3 = 1 7 , 2 7 , 3 7 = 1 7 1,2 , 3

Resposta

a 1 3 5,2 , - 1

b 1 7 1,2 , 3

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine P H b se b = 1 , 0,1 ou b = 3,8 , 7,0 para cada H abaixo (as bases são ortogonais):

a H = - 1,4 , - 3 , 5,2 , 1

b H = 3 , - 4 , - 7

c H = 3 , - 2,1 , 3 , - 1,3 , - 3,4

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Passo 1

a   Jogando na fórmula:

P H b = 1,0 , 1 , - 1,4 , - 3 - 1,4 , - 3 , - 1,4 , - 3 - 1,4 , - 3 + 1 , 0 , 1 , 5,2 , 1 5,2 , 1 , 5,2 , 1 5,2 , 1

P H b = - 4 26 - 1,4 , - 3 + 6 30 5,2 , 1

P H b = 2 13 , - 8 13 , 6 13 + 1 , 2 5 , 1 5 = 15 13 , - 14 65 , 43 65

Passo 2

b Novamente:

P H b = 1,0 , 1 , 3 , - 4 , - 7 3 , - 4 , - 7 , 3 , - 4 , - 7 3 , - 4 , - 7

P H b = - 4 74 3 , - 4 , - 7 = - 6 37 , 8 37 , 14 37

Passo 3

c   Repare que aqui temos um plano no R 4 ! Então vamos ter que usar o outro vetor b com quatro coordenadas ;)

P H b = 3,8 , 7,0 , 3 , - 2,1 , 3 3 , - 2,1 , 3 , 3 , - 2,1 , 3 3 , - 2,1 , 3 + 3,8 , 7,0 , - 1,3 , - 3,4 - 1,3 , - 3,4 , - 1,3 , - 3,4 - 1,3 , - 3,4

P H b = 0 23 3 , - 2,1 , 3 + 0 35 - 1,3 , - 3,4 = 0,0 , 0,0

Eita, zerou tudo, ta certo isso? Tá sim haha, o que acontece é que o vetor 3 , 8,7 , 0 é ortogonal ao plano H , então quando o projetamos, ele foi pro zero!

Resposta

a   15 13 , - 14 65 , 43 65

b   - 6 37 , 8 37 , 14 37

c   0,0 , 0,0

Exercício Resolvido #3

Seja v → = v 1 , v 2 , v 3 o vetor da reta gerada por 3,0 , 1 que é o mais próximo do vetor 7,3 , - 1 . Então a soma de suas entradas, v 1 + v 2 + v 3 , vale:

( a ) 3

( b ) 13

( c ) 18

( d ) 8

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Passo 1

Se v → é o vetor mais próximo de 7,3 , - 1 na reta gerada por 3,0 , 1 , basta projetarmos ele nessa reta:

P 3,0 , 1 7,3 , - 1 = 7,3 , - 1 , 3,0 , 1 3,0 , 1 , 3,0 , 1 3,0 , 1 = 20 10 3,0 , 1 = 6,0 , 2

Somando as entradas:

6 + 0 + 2 = 8

Resposta

Letra ( d )

Exercício Resolvido #4

UFRGS, Aula de Projeções Ortogonais sobre Subespaços

Calcule a projeção do vetor y → = 1 1 1 sobre o plano gerado pelos vetores

w 1 → = 4 2 - 7 w 2 → = 1 5 2