Bases Ortogonais e Ortonormais

Teoria Completa

Lembra quando vimos a definição de vetores ortogonais e ortonormais? Vimos que um conjunto de vetores ortogonais é sempre L I .

Opa, um conjunto de vetores L I ? O que isso te lembra? Uma base é claro!

Existem bases especiais chamadas de base ortogonal e ortonormal. Nesse tópico iremos estudar essas bases.

Base Ortogonal

Uma base é ortogonal se o produto interno de um vetor com cada um dos outros vetores da base for zero!

Eu sei que parece difícil, mas não é acredite! Imagina a seguinte base:

α = { ( 1,1 , 1 ) ; ( - 2,1 , 1 ) ; ( 0 , - 1,1 ) }

Vamos ver se ela é uma base ortogonal. Para isso precisamos calcular o produto interno entre todos os vetores da base.

< ( 1,1 , 1 ) ; ( - 2,1 , 1 ) >   =   1 * ( - 2 ) + 1 * 1 + 1 * 1 =   - 2 + 1 + 1 = 0

< ( 1,1 , 1 ) ; ( 0 , - 1,1 ) >   =   1 * 0 + 1 * ( - 1 ) + 1 * 1 =   0 - 1 + 1 = 0

< ( - 2,1 , 1 ) ; ( 0 , - 1,1 ) >   = ( - 2 ) * 0 + 1 * ( - 1 ) + 1 * 1 = 0 - 1 + 1 = 0

Opa! todos os produtos internos deram zero, então podemos concluir que a base é ortogonal!

Base Ortonormal

Uma base é ortonormal se atender duas coisas:

  • Ser uma base ortogonal
  • O produto interno de um vetor da base com ele mesmo deve ser 1.

Ok… Já sabemos o que é uma base ortogonal, essa parte beleza… Mas o que significa a segunda condição?

O produto interno de um vetor da base com ele mesmo deve ser 1. Significa que os vetores da base tem que ter módulo 1.

Vamos verificar se a base α é uma base ortonormal:

α = { ( 1,1 , 1 ) ; ( - 2,1 , 1 ) ; ( 0 , - 1,1 ) }

Já sabemos que é uma base ortogonal, o que atende a primeira exigência. Para ser ortonormal o produto interno de cada vetor com ele mesmo tem que ser igual a 1 :

< ( 1,1 , 1 ) ; ( 1,1 , 1 ) >   = 1 + 1 + 1 = 3

< ( - 2,1 , 1 ) ; ( - 2,1 , 1 ) >   = 4 + 1 + 1 = 6

< ( 0 , - 1,1 ) , ( 0 , - 1,1 ) >   = 0 + 1 + 1 = 2

Vishh! Nenhum dos produtos internos deu 1. Então essa base esta longe de ser uma base ortonormal.

Podemos perceber que toda base ortonormal também é ortogonal. Então, agora além do produto interno de um vetor com cada um dos outros vetores dar zero, temos que o produto interno de um vetor com ele mesmo deve valer 1 .

Ta, agora e se quisermos obter uma base ortonormal a partir de uma base ortogonal? Dá pra fazer isso? Com certeza!

Uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal. E na verdade o que temos que fazer é bem simples, basta normalizarmos cada vetor.

Para normalizar um vetor temos que dividir cada componente pela norma dele:

N O R M A L I Z A Ç Ã O     ⇒   v v = v < v , v >

Vamos por exemplo, transformar a base α em uma base ortonormal:

α = 1,1 , 1 , - 2,1 , 1 , 0 , - 1,1

Normalizando cada vetor temos:

1,1 , 1 1 + 1 + 1 = 1 3   , 1 3   , 1 3  

- 2,1 , 1 4 + 1 + 1 = - 2 6 , 1 6 , 1 6

0 , - 1,1 0 + 1 + 1 = 0 , - 1 2 , 1 2

Logo, chegamos à base ortonormal do R 3 :

α ' = 1 3   , 1 3   , 1 3   , - 2 6 , 1 6 , 1 6 , 0 , - 1 2 , 1 2

Matriz Ortogonal

Uma matriz quadrada é dita ortogonal quando sua transposta coincide com a sua inversa. Ou seja, uma matriz A é ortogonal se:

A T = A - 1

Um exemplo clássico de uma matriz ortogonal é a matriz identidade:

Outra coisa, toda matriz rotação e, portanto, toda matriz reflexão é uma matriz ortogonal. Em outras palavras, se R é uma matriz de reflexão ou uma matriz de rotação, temos que R T = R - 1 .

Mais algumas propriedades interessantes das matrizes ortogonais:

  • Uma matriz A é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.
  • Uma matriz A é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.
  • Uma matriz A é ortogonal se, e somente se, sua transposta A T também é.
  • O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
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Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 162 – Prob 5.1

Determine se os conjuntos abaixo são ortogonais:

a   - 1 4 - 3 , 5 2 1 , 3 - 4 - 7

b   3 - 2 1 3 , - 1 3 - 3 4 , 3 8 7 0

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Passo 1

Para determinarmos se são ortogonais basta vermos se o produto de cada vetor com os outros vetores do conjunto vale 0 .

a Como temos 3 vetores no conjunto, repare que teremos que testar 3 combinações. O primeiro com o segundo, o primeiro com o terceiro e o segundo com o terceiro.

- 1,4 , - 3 , 5,2 , 1 = - 5 + 8 - 3 = 0

- 1,4 , - 3 , 3 , - 4 , - 7 = - 3 - 16 + 21 = 2

Opa, os vetores - 1,4 , - 3 e 3 , - 4 , - 7 não são ortogonais. Portanto, o conjunto também não.

Passo 2

b Novamente teremos 3 combinações:

3 , - 2,1 , 3 , - 1,3 , - 3,4 = - 3 - 6 - 3 + 12 = 0

3 , - 2,1 , 3 , 3,8 , 7,0 = 9 - 16 + 7 + 0 = 0

- 1,3 , - 3,4 , 3,8 , 7,0 = - 3 + 24 - 21 + 0 = 0

Todos os vetores são ortogonais entre si. Logo, o conjunto é ortogonal.

Resposta

a Não é ortogonal

b É ortogonal

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 145. – 14

Determinar os vetores a , b , c para que o conjunto B = 1 , - 3,2 , 2,2 , 2 , a , b , c seja uma base ortogonal do R 3 em relação ao produto interno usual. Construir a partir de B uma base ortonormal.

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Passo 1

Bom, como o enunciado está pedindo os vetores a , b , c que tornam o conjunto B uma base ortogonal, então podemos supor que os dois primeiros vetores já dados são ortogonais entre si. Precisamos então que:

1 , - 3,2 , a , b , c = a - 3 b + 2 c = 0

2,2 , 2 , a , b , c = 2 a + 2 b + 2 c = 0

Montando um sistema com isso:

a - 3 b + 2 c = 0 2 a + 2 b + 2 c = 0       I I I

Fazendo I I - I :

a + 5 b = 0 ⇒ a = - 5 b

Substituindo em I :

- 5 b - 3 b + 2 c = 0

c = 4 b

Logo os vetores a , b , c são do tipo:

- 5 b , b , 4 b = b - 5,1 , 4

Passo 2

Para transformarmos esse conjunto em uma base ortonormal B ' precisamos normalizar os vetores de B . Tomando o vetor - 5,1 , 4 como o vetor a , b , c :

1 , - 3,2 1 + 9 + 4 = 1 14 , - 3 14 , 2 14

2,2 , 2 4 + 4 + 4 = 2 12 , 2 12 , 2 12 = 1 3 , 1 3 , 1 3

- 5,1 , 4 25 + 1 + 16 = - 5 42 , 1 42 , 4 42

Resposta

b - 5,1 , 4

1 14 , - 3 14 , 2 14 , 1 3 , 1 3 , 1 3 , - 5 42 , 1 42 , 4 42

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 146. – 20

O conjunto B = 2 , - 1 , k , 1 é uma base ortogonal do R 2 em relação ao produto interno

x 1 , y 1 ∙ x 2 , y 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2

Determinar o valor de k e obter, a partir de B , uma base ortonormal.

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Passo 1

Para que dois vetores v e u sejam ortogonais, precisamos que v , u = 0 . Lembrando que foi definido um novo produto interno para usarmos!!

Logo, como a base B é ortogonal, temos:

2 , - 1 , k , 1 = 4 k + 2 - k - 1 = 3 k + 1 = 0 ⇒

⇒ k = - 1 3

Passo 2

Para obtermos uma base ortonormal a partir de B , basta normalizarmos os vetores. É importantíssimo tomar cuidado aqui.

Para normalizarmos um vetor, precisamos dividi-lo por sua norma, certo? Mas a norma de um vetor é definida por meio de um produto interno! E como temos um produto interno não usual definido, a norma do vetor também mudará!

Temos que:

x 1 , y 1 , x 1 , y 1 = 2 x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + y 1 2 = x 1 2 + x 1 + y 1 2

Sendo assim:

x 1 , y 1 = x 1 , y 1 , x 1 , y 1 = x 1 2 + x 1 + y 1 2

Agora, normalizando os vetores:

2 , - 1 4 + 2 + - 1   2 = 2 5 , - 1 5

- 1 3 , 1 1 9 + - 1 3 + 1 2 = - 1 3 , 1 1 9 + 4 9 = - 1 3 , 1 ∙ 3 5 = - 1 5 , 3 5

Resposta

k = - 1 3

2 5 , - 1 5 , - 1 5 , 3 5

Exercício Resolvido #4

UFRJ-P4-2015.2.1

Uma matriz é chamada de permutação se em cada linha e em cada coluna há um único 1 e as demais entradas são zeros. Afirma-se:

  1. Se M é uma matriz de permutação, então M - 1 = M T .
  2. Se M - 1 = M T , então M é uma matriz de permutação.

a   I e II são verdadeiras

b   I é falsa e II é verdadeira

c   I é verdadeira e II é falsa

d   I e II são falsas

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Passo 1

Afirmativa I:

A afirmativa diz que se a matriz é de permutação então M - 1 = M T . Mas o que te lembra a inversa da matriz ser igual a transposta??

OBS: Estamos assumindo aqui que as matrizes são quadradas e invertíveis, se não o exercício não faz sentido.

As matrizes que tem essa característica são as matrizes ortogonais!!! Mas pera o que mais elas tem de especial??

Que os seus vetores coluna assim como seus vetores linha são vetores ortonormais!

E a matriz permutação, como é dito no enunciado, possui apenas um único 1 em cada linha e em cada coluna, ou seja, seus vetores são ortonormais.

Logo a inversa será sempre igual à transposta e, portanto, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 2

Afirmativa II:

Entretanto, o contrário não é tão verdade assim. Vamos pegar um contra exemplo, pois basta mostrar um caso falso para destruir a afirmação.

Podemos construir matrizes ortogonais sem usar os vetores da base canônica, olha só, vamos usar o R 2 como exemplo:

M = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

Repare que os vetores são ortogonais já que:

1 2 , 1 2 ,   1 2 ,   - 1 2 = 1 2 - 1 2 = 0

E também são normais:

1 2 , 1 2 = 1 2 2 + 1 2 2 = 1 = 1

1 2 , - 1 2 = 1 2 2 + - 1 2 2 = 1 = 1

E mesmo assim não formam uma matriz permutação :\

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria.

Sejam u → = ( 2 ,   1 ,   0 ) e v → = ( 2 ,   - 4 ,   0 ) . Considere os vetores v 1 → , versor de u → , v 2 → versor de v → e v 3 → = v 1 → ∧ v 2 → . Mostre que ( v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → ) é uma base ortonormal.

(O versor de um vetor x → é um vetor unitário com mesma direção e sentido que x → ).

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Passo 1

Bom, a gente viu que para termos uma base ortonormal, todos os vetores devem ter norma 1 e ser ortogonais entre si. O enunciado nos deu uma sequência de 3 vetores e nós temos que provar que essa sequência forma uma base ortonormal, vamos lá.

Passo 2

Vamos começar provando que a sequência dada é ortogonal ok?

Bom, os vetores v 1 → e v 2 → são versores de u → e v → , logo, possuem mesma direção e sentido que eles. Então, se provarmos que u → e v → são ortogonais, estaremos provando o mesmo para v 1 → e v 2 → certo?

Calculando o produto interno entre u → e v → :

u → . v → = 2 ,   1 ,   0 . ( 2 ,   - 4 ,   0 )

u → . v → = 4 - 4 + 0 = 0

Opa, o produto interno deu 0 , isso quer dizer que u → e v → são ortogonais e consequentemente, v 1 → e v 2 → também são?

Epa, mas e o v 3 → ?

Bom, o vetor v 3 → é o produto vetorial entre v 1 → e v 2 → , e o que sabemos sobre produto vetorial? Isso mesmo, o resultado sempre segue a regra da mão direita, sendo ortogonal aos 2 outros vetores. Logo, os 3 vetores são ortogonais entre si :) Agora vamos provar que a norma deles é 1!!

Passo 3

Cara, o enunciado falou que v 1 → e v 2 → são versores. Versores são sempre vetores com norma 1 certo? Então, já sabemos que v 1 → e v 2 → têm norma 1.

Agora para v 3 → , vamos usar a fórmula do produto vetorial:

v 3 → = v 1 → . v 2 → . s e n 90 °

v 3 → = 1.1 . 1 = 1

Logo, v 3 → também possui norma 1.

E está provado que os 3 vetores são ortogonais entre si e todos possuem norma 1, logo, formam uma base ortonormal :)

Resposta

Demonstração.

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria.

Em um espaço com u → = ( a ,   b ,   c ) e v → = ( d ,   e ,   f ) , o produto interno é definido como u → ,   v → = a . f + b . e + c . d .

Nesse espaço, é dada a base

β = { 1 ,   1 ,   1 ,   a ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   b ,   1 }

Dê os valores de a e b para que a base β seja ortogonal.

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Passo 1

Para que essa base seja ortogonal, o produto interno, dado no enunciado, entre os vetores dois a dois deve ser sempre 0.

Então, a gente vai calcular cada produto interno e igualar a 0 para acharmos os valores de a e b beleza?

Passo 2

Primeiro vamos calcular o produto interno entre 1 ,   1 ,   1 e a ,   0 ,   - 1 :

1 ,   1 ,   1 . a ,   0 ,   - 1 = 0

- 1 + 0 + a = 0

a = 1

Opa, já encontramos o valor de a :D

Agora vamos calcular o produto interno entre ( 1 ,   1 ,   1 ) e ( 1 ,   b ,   1 ) :

1 ,   1 ,   1 . 1 ,   b ,   1 = 0

1 + b + 1 = 0

b = - 2

Aí simmm, já encontramos b também!!

E aí, acabou?

Nananinanão, vamos calcular o produto interno entre a ,   0 ,   - 1 e ( 1 ,   b ,   1 ) com os valores encontrados para a e b e ver se de fato esses dois também são ortogonais:

a ,   0 ,   - 1 . 1 ,   b ,   1

1 ,   0 ,   - 1 . 1 ,   - 2 ,   1

1 + 0 - 1

0

Boaa, o produto interno deu 0 como esperado!!

Então, com a = 1 e b = - 2 temos que a base β é ortogonal no espaço dado :P

Resposta

a = 1

b = - 2

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria.

Dadas as afirmativas:

I – Dados u → = ( 4 ,   - 2 ,   1 ) , v → = ( 3 ,   5 ,   - 2 ) e w → = u → ∧ v → , o conjunto { u → ,   v → ,   w → } forma uma base ortogonal.

II – A matriz 0 1 0 1 0 1 1 0 - 1 é dita ortogonal.

III – Para transformar a base β = 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   - 2 ,   1 em ortonormal, basta dividir seus vetores, respectivamente, por 3 , 2 e 6 .

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I

b) II

c) III

d) I e II

e) I e III

f) II e III

g) I, II e III

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Passo 1

Analisando cada uma das afirmativas:

I – Verdadeira. Primeiro vamos calcular o produto interno entre u → e v → :

u → . v → = 12 - 10 - 2

u → . v → = 0

Opa, então eles são ortogonais. Ok, mas e o w → ??

O w → é o produto vetorial entre u → e v → , então, pela regra da mão direita, ele com certeza vai ser ortogonal aos dois.

Então os 3 vetores são ortogonais entre si :)

II – Falsa. Vimos que uma matriz só é ortogonal se as suas linhas e colunas formarem um conjunto ortonormal, o que não é o caso. Veja que se pegarmos a primeira coluna, temos ( 0 ,   1 ,   1 ) , cuja norma é 2 , o mesmo acontece para a última coluna e a segunda e terceira linha.

III – Verdadeira. Para normalizar uma base que já é ortogonal, basta dividirmos cada vetor por sua norma. No caso, os vetores dessa base possuem normas de 3 , 2 e 6 , respectivamente.

Então a alternativa correta é a letra E :)

Resposta

e) I e III

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria.

Dada a base β = 3,4 , 2,2 , ortonormal em relação a um certo produto interno, dê a fórmula desse produto interno.

DICA: Escreva ( x , y ) como combinação linear dos vetores da base β

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Passo 1

Vamos usar a dica do enunciado?

A coisa é escrever um vetor x ,   y γ como combinação linear dos vetores de β , assim ó:

x , y = a 3,4 + b 2,2

Isso nos dá o sistema:

x = 3 a + 2 b y = 4 a + 2 b   ( I )

Multiplicando a segunda equação por ( - 1 ) e somando as duas equações, temos:

x - y = 3 a - 4 a + 2 b - 2 b

x - y = - a

a = - x + y   ( I I )

Agora, substituindo ( I I ) na equação de cima:

x = - 3 x + 3 y + 2 b

2 b = 4 x - 3 y

b = 2 x - 3 2 y   ( I I I )

Belezinha, escrevemos a e b em função de x e y certo?

Isso quer dizer que temos os vetores de β escritos na base γ , vamos ver como podemos usar isso ;)

Passo 2

Como temos os vetores de β escritos na base γ e estamos tratando de bases ortonormais, o produto interno de dois vetores ortogonais de β , é igual ao produto interno usual dos vetores com coordenadas na base γ .

Então, sendo x 1 , y 1 , x 2 , y 2 vetores da base β , o produto interno entre eles pode ser escrito como o produto interno usual deles escritos na base γ :

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 , y 1 γ , x 2 , y 2 γ u s u a l

Escrevendo os vetores na base γ :

  x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = - x 1 + y 1 , 2 x 1 - 3 2 y 1 , - x 2 + y 2 , 2 x 2 - 3 2 y 2 u s u a l

Calculando o produto interno usual:

                                                                          x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = ( - x 1 + y 1 ) ( - x 2 + y 2 ) + 2 x 1 - 3 2 y 1 2 x 2 - 3 2 y 2

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + y 1 y 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 1 y 2 - 3 x 2 y 1 + 9 4 y 1 y 2

Então, o produto interno que o enunciado pede é:

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = 5 x 1 x 2 - 4 x 1 y 2 - 4 x 2 y 1 + 13 4 y 1 y 2

Resposta

x 1 , y 1 , x 2 , y 2 = 5 x 1 x 2 - 4 x 1 y 2 - 4 x 2 y 1 + 13 4 y 1 y 2

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