Teoria Completa
Lembra quando vimos a definição de vetores ortogonais e ortonormais? Vimos que um conjunto de vetores ortogonais é sempre .
Opa, um conjunto de vetores ? O que isso te lembra? Uma base é claro!
Existem bases especiais chamadas de base ortogonal e ortonormal. Nesse tópico iremos estudar essas bases.
Base Ortogonal
Uma base é ortogonal se o produto interno de um vetor com cada um dos outros vetores da base for zero!
Eu sei que parece difícil, mas não é acredite! Imagina a seguinte base:
Vamos ver se ela é uma base ortogonal. Para isso precisamos calcular o produto interno entre todos os vetores da base.
Opa! todos os produtos internos deram zero, então podemos concluir que a base é ortogonal!
Base Ortonormal
Uma base é ortonormal se atender duas coisas:
- Ser uma base ortogonal
- O produto interno de um vetor da base com ele mesmo deve ser 1.
Ok… Já sabemos o que é uma base ortogonal, essa parte beleza… Mas o que significa a segunda condição?
O produto interno de um vetor da base com ele mesmo deve ser 1. Significa que os vetores da base tem que ter módulo 1.
Vamos verificar se a base é uma base ortonormal:
Já sabemos que é uma base ortogonal, o que atende a primeira exigência. Para ser ortonormal o produto interno de cada vetor com ele mesmo tem que ser igual a 1 :
Vishh! Nenhum dos produtos internos deu 1. Então essa base esta longe de ser uma base ortonormal.
Podemos perceber que toda base ortonormal também é ortogonal. Então, agora além do produto interno de um vetor com cada um dos outros vetores dar zero, temos que o produto interno de um vetor com ele mesmo deve valer .
Ta, agora e se quisermos obter uma base ortonormal a partir de uma base ortogonal? Dá pra fazer isso? Com certeza!
Uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal. E na verdade o que temos que fazer é bem simples, basta normalizarmos cada vetor.
Para normalizar um vetor temos que dividir cada componente pela norma dele:
Vamos por exemplo, transformar a base em uma base ortonormal:
Normalizando cada vetor temos:
Logo, chegamos à base ortonormal do :
Matriz Ortogonal
Uma matriz quadrada é dita ortogonal quando sua transposta coincide com a sua inversa. Ou seja, uma matriz é ortogonal se:
Um exemplo clássico de uma matriz ortogonal é a matriz identidade:
Outra coisa, toda matriz rotação e, portanto, toda matriz reflexão é uma matriz ortogonal. Em outras palavras, se é uma matriz de reflexão ou uma matriz de rotação, temos que .
Mais algumas propriedades interessantes das matrizes ortogonais:
- Uma matriz é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.
- Uma matriz é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.
- Uma matriz é ortogonal se, e somente se, sua transposta também é.
- O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
Exercício Resolvido #1
Determine se os conjuntos abaixo são ortogonais:
Passo 1
Para determinarmos se são ortogonais basta vermos se o produto de cada vetor com os outros vetores do conjunto vale .
Como temos vetores no conjunto, repare que teremos que testar combinações. O primeiro com o segundo, o primeiro com o terceiro e o segundo com o terceiro.
Opa, os vetores e não são ortogonais. Portanto, o conjunto também não.
Passo 2
Novamente teremos combinações:
Todos os vetores são ortogonais entre si. Logo, o conjunto é ortogonal.
Resposta
Não é ortogonal
É ortogonal
Exercício Resolvido #2
Determinar os vetores para que o conjunto seja uma base ortogonal do em relação ao produto interno usual. Construir a partir de uma base ortonormal.
Passo 1
Bom, como o enunciado está pedindo os vetores que tornam o conjunto uma base ortogonal, então podemos supor que os dois primeiros vetores já dados são ortogonais entre si. Precisamos então que:
Montando um sistema com isso:
Fazendo :
Substituindo em :
Logo os vetores são do tipo:
Passo 2
Para transformarmos esse conjunto em uma base ortonormal precisamos normalizar os vetores de . Tomando o vetor como o vetor :
Resposta
Exercício Resolvido #3
O conjunto é uma base ortogonal do em relação ao produto interno
Determinar o valor de e obter, a partir de , uma base ortonormal.
Passo 1
Para que dois vetores e sejam ortogonais, precisamos que . Lembrando que foi definido um novo produto interno para usarmos!!
Logo, como a base é ortogonal, temos:
Passo 2
Para obtermos uma base ortonormal a partir de , basta normalizarmos os vetores. É importantíssimo tomar cuidado aqui.
Para normalizarmos um vetor, precisamos dividi-lo por sua norma, certo? Mas a norma de um vetor é definida por meio de um produto interno! E como temos um produto interno não usual definido, a norma do vetor também mudará!
Temos que:
Sendo assim:
Agora, normalizando os vetores:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Uma matriz é chamada de permutação se em cada linha e em cada coluna há um único e as demais entradas são zeros. Afirma-se:
- Se é uma matriz de permutação, então .
- Se , então é uma matriz de permutação.
I e II são verdadeiras
I é falsa e II é verdadeira
I é verdadeira e II é falsa
I e II são falsas
Passo 1
Afirmativa I:
A afirmativa diz que se a matriz é de permutação então . Mas o que te lembra a inversa da matriz ser igual a transposta??
OBS: Estamos assumindo aqui que as matrizes são quadradas e invertíveis, se não o exercício não faz sentido.
As matrizes que tem essa característica são as matrizes ortogonais!!! Mas pera o que mais elas tem de especial??
Que os seus vetores coluna assim como seus vetores linha são vetores ortonormais!
E a matriz permutação, como é dito no enunciado, possui apenas um único em cada linha e em cada coluna, ou seja, seus vetores são ortonormais.
Logo a inversa será sempre igual à transposta e, portanto, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 2
Afirmativa II:
Entretanto, o contrário não é tão verdade assim. Vamos pegar um contra exemplo, pois basta mostrar um caso falso para destruir a afirmação.
Podemos construir matrizes ortogonais sem usar os vetores da base canônica, olha só, vamos usar o como exemplo:
Repare que os vetores são ortogonais já que:
E também são normais:
E mesmo assim não formam uma matriz permutação :\
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #5
Sejam e . Considere os vetores , versor de , versor de e . Mostre que é uma base ortonormal.
(O versor de um vetor é um vetor unitário com mesma direção e sentido que ).
Passo 1
Bom, a gente viu que para termos uma base ortonormal, todos os vetores devem ter norma 1 e ser ortogonais entre si. O enunciado nos deu uma sequência de 3 vetores e nós temos que provar que essa sequência forma uma base ortonormal, vamos lá.
Passo 2
Vamos começar provando que a sequência dada é ortogonal ok?
Bom, os vetores e são versores de e , logo, possuem mesma direção e sentido que eles. Então, se provarmos que e são ortogonais, estaremos provando o mesmo para e certo?
Calculando o produto interno entre e :
Opa, o produto interno deu , isso quer dizer que e são ortogonais e consequentemente, e também são?
Epa, mas e o ?
Bom, o vetor é o produto vetorial entre e , e o que sabemos sobre produto vetorial? Isso mesmo, o resultado sempre segue a regra da mão direita, sendo ortogonal aos 2 outros vetores. Logo, os 3 vetores são ortogonais entre si :) Agora vamos provar que a norma deles é 1!!
Passo 3
Cara, o enunciado falou que e são versores. Versores são sempre vetores com norma 1 certo? Então, já sabemos que e têm norma 1.
Agora para , vamos usar a fórmula do produto vetorial:
Logo, também possui norma 1.
E está provado que os 3 vetores são ortogonais entre si e todos possuem norma 1, logo, formam uma base ortonormal :)
Resposta
Demonstração.
Exercício Resolvido #6
Em um espaço com e , o produto interno é definido como .
Nesse espaço, é dada a base
Dê os valores de e para que a base seja ortogonal.
Passo 1
Para que essa base seja ortogonal, o produto interno, dado no enunciado, entre os vetores dois a dois deve ser sempre 0.
Então, a gente vai calcular cada produto interno e igualar a 0 para acharmos os valores de e beleza?
Passo 2
Primeiro vamos calcular o produto interno entre e :
Opa, já encontramos o valor de :D
Agora vamos calcular o produto interno entre e :
Aí simmm, já encontramos também!!
E aí, acabou?
Nananinanão, vamos calcular o produto interno entre e com os valores encontrados para e e ver se de fato esses dois também são ortogonais:
Boaa, o produto interno deu como esperado!!
Então, com e temos que a base é ortogonal no espaço dado :P
Resposta
Exercício Resolvido #7
Dadas as afirmativas:
I – Dados , e , o conjunto forma uma base ortogonal.
II – A matriz é dita ortogonal.
III – Para transformar a base em ortonormal, basta dividir seus vetores, respectivamente, por , e .
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III
f) II e III
g) I, II e III
Passo 1
Analisando cada uma das afirmativas:
I – Verdadeira. Primeiro vamos calcular o produto interno entre e :
Opa, então eles são ortogonais. Ok, mas e o ??
O é o produto vetorial entre e , então, pela regra da mão direita, ele com certeza vai ser ortogonal aos dois.
Então os 3 vetores são ortogonais entre si :)
II – Falsa. Vimos que uma matriz só é ortogonal se as suas linhas e colunas formarem um conjunto ortonormal, o que não é o caso. Veja que se pegarmos a primeira coluna, temos , cuja norma é , o mesmo acontece para a última coluna e a segunda e terceira linha.
III – Verdadeira. Para normalizar uma base que já é ortogonal, basta dividirmos cada vetor por sua norma. No caso, os vetores dessa base possuem normas de , e , respectivamente.
Então a alternativa correta é a letra E :)
Resposta
e) I e III
Exercício Resolvido #8
Dada a base , ortonormal em relação a um certo produto interno, dê a fórmula desse produto interno.
DICA: Escreva como combinação linear dos vetores da base
Passo 1
Vamos usar a dica do enunciado?
A coisa é escrever um vetor como combinação linear dos vetores de , assim ó:
Isso nos dá o sistema:
Multiplicando a segunda equação por e somando as duas equações, temos:
Agora, substituindo na equação de cima:
Belezinha, escrevemos e em função de e certo?
Isso quer dizer que temos os vetores de escritos na base , vamos ver como podemos usar isso ;)
Passo 2
Como temos os vetores de escritos na base e estamos tratando de bases ortonormais, o produto interno de dois vetores ortogonais de , é igual ao produto interno usual dos vetores com coordenadas na base .
Então, sendo vetores da base , o produto interno entre eles pode ser escrito como o produto interno usual deles escritos na base :
Escrevendo os vetores na base :
Calculando o produto interno usual:
Então, o produto interno que o enunciado pede é: