Bases Ortogonais e Ortonormais

Teoria Completa

Lembra quando vimos a definição de vetores ortogonais e ortonormais? Vimos que um conjunto de vetores ortogonais é sempre L I .

Opa, um conjunto de vetores L I ? O que isso te lembra? Uma base é claro! Temos então a definição abaixo:

Ou seja, uma base é ortogonal se o produto interno de um vetor com cada um dos outros vetores dá zero! Estendendo a definição para uma base ortonormal temos:

Toda base ortonormal também é ortogonal. Então, agora além do produto interno de um vetor com cada um dos outros vetores dar zero, temos que o produto interno de um vetor com ele mesmo deve valer 1 .

Ta, agora e se quisermos obter uma base ortonormal a partir de uma base ortogonal? Dá pra fazer isso? Com certeza!

Uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal. E na verdade o que temos que fazer é bem simples, basta normalizarmos cada vetor. Por exemplo, temos a base ortogonal do R 3 :

α = 1,1 , 1 , - 2,1 , 1 , 0 , - 1,1

Normalizando cada vetor temos:

1,1 , 1 1 + 1 + 1 = 1 3   , 1 3   , 1 3  

- 2,1 , 1 4 + 1 + 1 = - 2 6 , 1 6 , 1 6

0 , - 1,1 0 + 1 + 1 = 0 , - 1 2 , 1 2

Logo, chegamos à base ortonormal do R 3 :

α ' = 1 3   , 1 3   , 1 3   , - 2 6 , 1 6 , 1 6 , 0 , - 1 2 , 1 2

Matriz Ortogonal

Uma matriz quadrada é dita ortogonal quando sua transposta coincide com a sua inversa. Ou seja, uma matriz A é ortogonal se:

A T = A - 1

Um exemplo clássico de uma matriz ortogonal é a matriz identidade:

1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 0 0 0 ⋯ 0 1

Outra coisa, toda matriz rotação e, portanto, toda matriz reflexão é uma matriz ortogonal. Em outras palavras, se R é uma matriz de reflexão ou uma matriz de rotação, temos que R T = R - 1 .

Mais algumas propriedades interessantes das matrizes ortogonais:

  • Uma matriz A é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.
  • Uma matriz A é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.
  • Uma matriz A é ortogonal se, e somente se, sua transposta A T também é.
  • O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
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Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 162 – Prob 5.1

Determine se os conjuntos abaixo são ortogonais:

a   - 1 4 - 3 , 5 2 1 , 3 - 4 - 7

b   3 - 2 1 3 , - 1 3 - 3 4 , 3 8 7 0

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Passo 1

Para determinarmos se são ortogonais basta vermos se o produto de cada vetor com os outros vetores do conjunto vale 0 .

a Como temos 3 vetores no conjunto, repare que teremos que testar 3 combinações. O primeiro com o segundo, o primeiro com o terceiro e o segundo com o terceiro.

- 1,4 , - 3 , 5,2 , 1 = - 5 + 8 - 3 = 0

- 1,4 , - 3 , 3 , - 4 , - 7 = - 3 - 16 + 21 = 2

Opa, os vetores - 1,4 , - 3 e 3 , - 4 , - 7 não são ortogonais. Portanto, o conjunto também não.

Passo 2

b Novamente teremos 3 combinações:

3 , - 2,1 , 3 , - 1,3 , - 3,4 = - 3 - 6 - 3 + 12 = 0

3 , - 2,1 , 3 , 3,8 , 7,0 = 9 - 16 + 7 + 0 = 0

- 1,3 , - 3,4 , 3,8 , 7,0 = - 3 + 24 - 21 + 0 = 0

Todos os vetores são ortogonais entre si. Logo, o conjunto é ortogonal.

Resposta

a Não é ortogonal

b É ortogonal

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 145. – 14

Determinar os vetores a , b , c para que o conjunto B = 1 , - 3,2 , 2,2 , 2 , a , b , c seja uma base ortogonal do R 3 em relação ao produto interno usual. Construir a partir de B uma base ortonormal.

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Passo 1

Bom, como o enunciado está pedindo os vetores a , b , c que tornam o conjunto B uma base ortogonal, então podemos supor que os dois primeiros vetores já dados são ortogonais entre si. Precisamos então que:

1 , - 3,2 , a , b , c = a - 3 b + 2 c = 0

2,2 , 2 , a , b , c = 2 a + 2 b + 2 c = 0

Montando um sistema com isso:

a - 3 b + 2 c = 0 2 a + 2 b + 2 c = 0       I I I

Fazendo I I - I :

a + 5 b = 0 ⇒ a = - 5 b

Substituindo em I :

- 5 b - 3 b + 2 c = 0

c = 4 b

Logo os vetores a , b , c são do tipo:

- 5 b , b , 4 b = b - 5,1 , 4

Passo 2

Para transformarmos esse conjunto em uma base ortonormal B ' precisamos normalizar os vetores de B . Tomando o vetor - 5,1 , 4 como o vetor a , b , c :

1 , - 3,2 1 + 9 + 4 = 1 14 , - 3 14 , 2 14

2,2 , 2 4 + 4 + 4 = 2 12 , 2 12 , 2 12 = 1 3 , 1 3 , 1 3

- 5,1 , 4 25 + 1 + 16 = - 5 42 , 1 42 , 4 42

Resposta

b - 5,1 , 4

1 14 , - 3 14 , 2 14 , 1 3 , 1 3 , 1 3 , - 5 42 , 1 42 , 4 42

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 146. – 20

O conjunto B = 2 , - 1 , k , 1 é uma base ortogonal do R 2 em relação ao produto interno

x 1 , y 1 ∙ x 2 , y 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2

Determinar o valor de k e obter, a partir de B , uma base ortonormal.

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Passo 1

Para que dois vetores v e u sejam ortogonais, precisamos que v , u = 0 . Lembrando que foi definido um novo produto interno para usarmos!!

Logo, como a base B é ortogonal, temos:

2 , - 1 , k , 1 = 4 k + 2 - k - 1 = 3 k + 1 = 0 ⇒

⇒ k = - 1 3

Passo 2

Para obtermos uma base ortonormal a partir de B , basta normalizarmos os vetores. É importantíssimo tomar cuidado aqui.

Para normalizarmos um vetor, precisamos dividi-lo por sua norma, certo? Mas a norma de um vetor é definida por meio de um produto interno! E como temos um produto interno não usual definido, a norma do vetor também mudará!

Temos que:

x 1 , y 1 , x 1 , y 1 = 2 x 1 2 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + y 1 2 = x 1 2 + x 1 + y 1 2

Sendo assim:

x 1 , y 1 = x 1 , y 1 , x 1 , y 1 = x 1 2 + x 1 + y 1 2

Agora, normalizando os vetores:

2 , - 1 4 + 2 + - 1   2 = 2 5 , - 1 5

- 1 3 , 1 1 9 + - 1 3 + 1 2 = - 1 3 , 1 1 9 + 4 9 = - 1 3 , 1 ∙ 3 5 = - 1 5 , 3 5

Resposta

k = - 1 3

2 5 , - 1 5 , - 1 5 , 3 5

Exercício Resolvido #4

UFRJ-P4-2015.2.1

Uma matriz é chamada de permutação se em cada linha e em cada coluna há um único 1 e as demais entradas são zeros. Afirma-se:

  1. Se M é uma matriz de permutação, então M - 1 = M T .
  2. Se M - 1 = M T , então M é uma matriz de permutação.

a   I e II são verdadeiras

b   I é falsa e II é verdadeira

c   I é verdadeira e II é falsa

d   I e II são falsas

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Passo 1

Afirmativa I:

A afirmativa diz que se a matriz é de permutação então M - 1 = M T . Mas o que te lembra a inversa da matriz ser igual a transposta??

OBS: Estamos assumindo aqui que as matrizes são quadradas e invertíveis, se não o exercício não faz sentido.

As matrizes que tem essa característica são as matrizes ortogonais!!! Mas pera o que mais elas tem de especial??

Que os seus vetores coluna assim como seus vetores linha são vetores ortonormais!

E a matriz permutação, como é dito no enunciado, possui apenas um único 1 em cada linha e em cada coluna, ou seja, seus vetores são ortonormais.

Logo a inversa será sempre igual à transposta e, portanto, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 2

Afirmativa II:

Entretanto, o contrário não é tão verdade assim. Vamos pegar um contra exemplo, pois basta mostrar um caso falso para destruir a afirmação.

Podemos construir matrizes ortogonais sem usar os vetores da base canônica, olha só, vamos usar o R 2 como exemplo:

M = 1 2 1 2 1 2 - 1 2

Repare que os vetores são ortogonais já que:

1 2 , 1 2 ,   1 2 ,   - 1 2 = 1 2 - 1 2 = 0

E também são normais:

1 2 , 1 2 = 1 2 2 + 1 2 2 = 1 = 1

1 2 , - 1 2 = 1 2 2 + - 1 2 2 = 1 = 1

E mesmo assim não formam uma matriz permutação :\

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria.

Sejam u → = ( 2 ,   1 ,   0 ) e v → = ( 2 ,   - 4 ,   0 ) . Considere os vetores v 1 →