Teoria Completa
Introdução
Preparados para a distância entre ponto e reta??
Antes de começar vamos relembrar a distância entre dois pontos?
Seja dois pontos . Se queremos encontrar a distância entre podemos aplicar a fórmula:
Beleza, agora que já lembramos disso, vamos passar para distância de um ponto a reta, vc vai perceber que iremos usar a distância de ponto a ponto :)
Menor distância
Já parou para pensar que entre um ponto e uma reta existem várias distâncias? Como assim???
Olha só:
Dependendo do ponto que você pegar na reta a distância será maior ou menor. Dessa forma, quando dizemos que queremos calcular a distância entre o ponto e a reta queremos dizer que calcularemos a menor distância possível entre um ponto e uma reta. Show de bola?!
Ai você me pergunta, quando teremos a menor distância possível?
Isso irá acontecer quando o ângulo entre a reta r e a linha que liga o ponto P a reta for :
Então, para calcular a distância entre o ponto e uma reta temos que achar um ponto Q que faça um ângulo , para depois calcular a distância! Fazemos isso porque o produto interno entre dois vetores pode ser calculado da seguinte forma:
Logo, se o ângulo que utilizamos é , teremos que . Assim, .
Fez sentido agora?
Passo a passo
Vou te ensinar um passo a passo pra achar a distância de um ponto a reta! Se liga nesse exemplo:
Se eu tiver uma reta com equação e um ponto , qual a distância que esse ponto vai estar dessa reta?
Nosso objetivo é achar o ponto , que pertence à reta que nos foi dada, de forma que o vetor forme com o vetor diretor . Para isso, faremos alguns passos!!
Passo 1 – Encontrar o ponto genérico Q
A reta r e composta por infinitos pontos, vamos escrever o ponto de uma forma genérica. Como ele pertence à reta sabemos que um ponto genérico de , pela sua equação vetorial, é:
Passo 2 – Encontrar o vetor
Sabendo , podemos escrever o vetor :
Passo 3 – Fazer o produto interno de e e igualar a 0
Lembra que precisamos que PQ forme um ângulo de 90° com a reta? Até agora pegamos um ponto Q genérico, que não necessariamente irá fazer esse ângulo de 90°. Quando o produto interno entre dois vetores é igual a zero significa que são vetores perpendiculares, então igualar o produto interno entre e irá satisfazer essa condição que precisamos!
Pela equação da reta , sabemos que seu vetor diretor é . Como queremos que o vetor forme com o vetor , então o produto interno entre esses vetores deve ser ZERO. Utilizaremos o produto escalar para fazer as continhas:
Resolvendo,
Passo 4 – Descobrir o ponto Q
Sabendo , descobrimos o ponto :
Passo 5 – Calcular a distância entre os pontos P e Q
Agora que temos e , falta só calcular a distância entre esses pontos, usando a fórmula que já vimos:
Prontinho!! Calculamos a distância entre o ponto e a reta
Escrevendo de uma forma esquemática a distância entre ponto e reta, temos:
Então, vamos fazer uns exercícios para você virar mestre nisso e entender bem os passos!!
Exercício Resolvido #1
Calcular a distância do ponto à reta
Passo 1
Bora começar!
Para calcular a distância entre ponto e reta precisamos, primeiro, escrever um ponto genérico da reta , que será o ponto:
Passo 2
Aí, a gente lembra dessa “figurosa” e pensa: “Ahhh, agora que eu calculo o vetor ”
Isso aí, pequeno gafanhoto!
Sabendo o jeitão de podemos determinar o vetor :
Passo 3
Da equação da reta tiramos que e já descobrimos que
Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta e o vetor são ortogonais, logo:
Calculando:
Agora que achamos que podemos calcular :
Passo 4
Agora, para terminar (UFA!) vamos achar a distancia entre o ponto e a reta , é só calcular a distância entre os ponto e .
Não lembra a fórmula??
A gente relembra!
Substituindo os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcular a distância do ponto à reta
Passo 1
O exercício nos pede para calcular a distância entre um ponto e uma reta. Com a equação da reta fornecida conseguimos tirar as seguintes informações:
Dados:
Vimos como calcular diferentes distâncias na teoria! Não lembra, como calcula entre ponto e reta?! Vamos relembrar!!
Passo 2
Quando queremos a distância entre ponto e reta, sempre temos que ter em mente a seguinte figura:
Nós temos o ponto e temos o vetor diretor da reta . O próximo passo é determinar o ponto genericamente. Para isso, vamos escrever primeiro a equação vetorial da reta :
Assim, é:
Sabendo o jeitão de podemos determinar o vetor :
Passo 3
Temos da equação da reta que e descobrimos que Sabemos da teoria que o vetor diretor da reta e o vetor são ortogonais, logo:
Calculando:
Agora que achamos que podemos calcular :
Passo 4
Estamos quase terminando!! Agora, para acharmos a distancia entre o ponto e a reta , é só calcular a distância entre os ponto e
Substituindo os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Achar a distância do ponto à reta determinada pelos pontos e
Passo 1
Vamos começar encontrando a equação dessa reta na forma vetorial! Para isso, precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor!
O ponto da reta pode ser qualquer um dos que foram dados no enunciado! Para o vetor diretor, basta fazermos
Com essas informações conseguimos escrever a equação vetorial da reta!
Passo 2
Agora vamos calcular o ponto , genérico da reta. Para isso, vamos escrever primeiro a equação vetorial da reta :
Assim, é:
Sabendo o jeitão de podemos determinar o vetor :
Passo 3
Temos da equação da reta que e descobrimos que .Sabemos da teoria que o vetor diretor da reta e o vetor são ortogonais, logo:
Calculando:
Agora que achamos que podemos calcular :
Passo 4
Estamos quase terminando!! Agora, para acharmos a distancia entre o ponto e a reta , é só calcular a distância entre os ponto e
Substituindo os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Calcular a distância do ponto a cada um dos eixos coordenados.
Passo 1
Esse exercício é tranquilinho, só precisamos entender o que esse enunciado significa!
Vamos pensar para o eixo primeiro. Se pensarmos na reta do eixo , sabemos que nela e .
Beleza, agora vamos olhar para o ponto . A coordenada desse ponto já pertence ao eixo , ou seja, já corresponde a (no eixo ). Então, quando colocássemos esse valor na fórmula da distância entre pontos daria zero, visto que teríamos . O que faz sentido, já que a distância entre um ponto, no eixo , e o eixo tem que ser zero!
Logo, para calcular a distância de ao eixo (com e , já que estamos no eixo ), seria o equivalente a calcular a distância de ao ponto !
Então vamos calcular!
Substituindo os valores:
Passo 2
O mesmo vai valer para o eixo ! Só que agora calcularemos a distância de ao ponto , visto que a nossa coordenada no eixo é .
Passo 3
Passo 4
Para o eixo , faremos a distância de ao ponto !
Resposta
Exercício Resolvido #5
Ache os pontos de que distam do ponto
Passo 1
O problema nos pede para encontrarmos os pontos que pertencem à reta e que distam do ponto . Então, para isso devemos encontrar o ponto genérico de para então calcularmos a distância entre dois pontos que sabemos que vale .
Passo 2
Temos do enunciado os seguinte sistema para
Vamos fazer algumas manipulações! Podemos escrever o sistema da seguinte maneira:
Substraindo a segunda equação da primeira, temos:
E pela primeira equação sabemos que , então podemos escrever o nosso ponto pertence à da seguinte forma:
Passo 3
Agora que temos nosso ponto podemos calcular que a distância entre e vale . Pela fórmula de distância entre dois pontos:
Resolvendo:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Sabemos agora que ou podemos então substituir em :
Pronto!! Os pontos de que distam de , são:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Dada a reta e os pontos ache o ponto de equidistante de e .
Passo 1
O problema nos dá a equação da reta e pede para determinarmos o ponto de que seja equidistante, ou seja, tenha a mesma distância dos pontos e . Assim, sendo um ponto de que queremos determinar, teríamos:
Passo 2
Como vamos achar ?
Relaxa! Vamos te explicar!!
Sabemos que pertence à reta , certo? Então, se temos a equação vetorial de conseguiremos excrever :
Passo 3
Já sabemos que e sabemos que e , então agora é fazer:
Subsituindo na formuleta de distância entre pontos, temos:
Igualando :
Elevando ao quadrado os dois lados:
Se , substituindo esse valor em:
Então, o ponto de equiditantes à e é:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Seja o triângulo de vértices e
Calcular a medida da altura relativa ao lado