Distância entre Ponto e Reta

Teoria Completa

A distância entre pontos eu entendi, mas e a distância entre ponto e reta??

Vou te ensinar tudinho! Se liga nesse exemplo:

Se eu tiver uma reta com equação r : X = 1 ,   1 ,   1 + t ( 1 ,   2 ,   4 ) e um ponto P = ( 1 ,   2 ,   3 ) , qual a distância que esse ponto vai estar dessa reta?

Para calcular essa distância vamos considerar a figura acima! Na verdade, a distância entre ponto e reta você vai ver que no final se transformará no cálculo da distância entre pontos!! Mas, como?

Nosso objetivo é achar o ponto Q , que pertence à reta r que nos foi dada, de forma que o vetor P Q → forme 90 ° com o vetor diretor r → . Para isso, faremos alguns passos!!

Passo 1 – Encontrar o ponto genérico Q

Temos P = ( 1 ,   2 ,   3 ) , para descobrir Q vamos escrevê-lo de uma forma genérica. Como ele pertence à reta r sabemos que um ponto genérico de   r , pela sua equação vetorial, é:

Q = 1 ,   1 ,   1 + ( t ,   2 t ,   4 t )

Q = ( 1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + 4 t )

Passo 2 – Encontrar o vetor P Q →

Sabendo Q , podemos escrever o vetor P Q → :

P Q → = Q - P

P Q → = 1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + 4 t - 1 ,   2 ,   3

P Q → = ( t ,   2 t - 1 ,   4 t - 2 )

Passo 3 – Fazer o produto interno de P Q → e r → e igualar a 0

Pela equação da reta r , sabemos que seu vetor diretor é r → = ( 1 ,   2 ,   4 ) . Como queremos que o vetor P Q → forme 90 ° com o vetor r → , então o produto interno entre esses vetores deve ser ZERO:

P Q → ∙ r → = 0

t ,   2 t - 1 ,   4 t - 2 ∙ 1 ,   2 ,   4 = 0

Resolvendo,

t + 4 t - 2 + 16 t - 8 = 0 → t = 10 21

Passo 4 – Descobrir o ponto Q

Sabendo t , descobrimos o ponto Q :

Q = 1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + 4 t = 31 21 , 41 21 , 61 21

Passo 5 – Calcular a distância entre os pontos P e Q

Agora que temos Q e P , falta só calcular a distância entre esses pontos, usando a fórmula que já vimos:

d P , Q = 1 - 31 21 2 + 2 - 41 21   2 + ( 3 - 61 21 )   2         = 105 21

Prontinho!! Calculamos a distância entre o ponto P e a reta r ‼

Escrevendo de uma forma esquemática a distância entre ponto e reta, temos:

Então, vamos fazer uns exercícios para você virar mestre nisso e entender bem os passos!!

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Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 201-3a.

Calcular a distância do ponto P = ( 1 ,   2 ,   3 ) à reta

r : x = 1 - 2 t y = 2 t z = 2 - t

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Passo 1

Bora começar!

Para calcular a distância entre ponto e reta precisamos, primeiro, escrever um ponto Q genérico da reta r , que será o ponto:

Q = ( 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t )

Passo 2

Aí, a gente lembra dessa “figurosa” e pensa: “Ahhh, agora que eu calculo o vetor   P Q →

Isso aí, pequeno gafanhoto!

Sabendo o jeitão de Q podemos determinar o vetor P Q → :

P Q → = Q - P = 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t - 1 ,   2 ,   3 = ( - 2 t ,   2 t - 2 ,   - 1 - t )

Passo 3

Da equação da reta r tiramos que r → = ( - 2 ,   2 ,   - 1 ) e já descobrimos que

  P Q → = - 2 t , 2 t - 2 , - 1 - t

Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor P Q → são ortogonais, logo:

P Q → ∙ r → = 0

Calculando:

- 2 t ,   2 t - 2 ,   - 1 - t ∙ - 2 ,   2 ,   - 1 = 4 t + 4 t - 4 + 1 + t = 0 → t = 1 3

Agora que achamos que t = 1 3 podemos calcular Q :

Q = 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t → Q = 1 3 , 2 3 , 5 3

Passo 4

Agora, para terminar (UFA!) vamos achar a distancia entre o ponto P e a reta r , é só calcular a distância entre os ponto P ( 1 ,   2 ,   3 ) e Q = 1 3 , 2 3 , 5 3 .

Não lembra a fórmula??

A gente relembra!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 1 - 1 3 2 + 2 - 2 3 2 + 3 - 5 3 2 = 4 = 2 u . c

Resposta

d P , Q = 2 u . c

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 192-2.

Calcular a distância do ponto P 0 ( 2 ,   0 ,   7 ) à reta

r : x 2 = y - 2 2 = z + 3 1

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Passo 1

O exercício nos pede para calcular a distância entre um ponto e uma reta. Com a equação da reta r   fornecida conseguimos tirar as seguintes informações:

Dados:

r :   R = ( 0 ,   2 ,   - 3 ) r → = ( 2 ,   2 ,   1 )             e                 P 0 ( 2 ,   0 ,   7 )    

Vimos como calcular diferentes distâncias na teoria! Não lembra, como calcula entre ponto e reta?! Vamos relembrar!!

Passo 2

Quando queremos a distância entre ponto e reta, sempre temos que ter em mente a seguinte figura:

Nós temos o ponto P → P 0 e temos o vetor diretor da reta r . O próximo passo é determinar o ponto Q genericamente. Para isso, vamos escrever primeiro a equação vetorial da reta r :

r : X = 0 ,   2 ,   - 3 + t ( 2 ,   2 ,   1 )

Assim, Q é:

Q = ( 2 t ,   2 + 2 t ,   - 3 + t )

Sabendo o jeitão de Q podemos determinar o vetor P 0 Q → :

P 0 Q → = Q - P 0 = 2 t ,   2 + 2 t ,   - 3 + t - 2 ,   0 ,   7 = ( 2 t - 2,2 + 2 t , t - 10 )

Passo 3

Temos da equação da reta r que r → = ( 2 ,   2 ,   1 ) e descobrimos que   P 0 Q → = 2 t - 2,2 + 2 t , t - 10 Sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor P 0 Q → são ortogonais, logo:

P 0 Q → ∙ r → = 0

Calculando:

2 t - 2,2 + 2 t , t - 10 ∙ 2 ,   2 ,   1 = 4 t - 4 + 4 t + 4 + t - 10 = 0 → t = 10 9

Agora que achamos que t = 10 9 podemos calcular Q :

Q = 2 t ,   2 + 2 t ,   - 3 + t → Q = 20 9 , 38 9 ,   - 17 9

Passo 4

Estamos quase terminando!! Agora, para acharmos a distancia entre o ponto P 0   e a reta r , é só calcular a distância entre os ponto P 0 ( 2 ,   0 ,   7 ) e Q = 20 9 , 38 9 ,   - 17 9

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 2 - 20 9 2 + ( 0 - 38 9 ) 2 + ( 7 + 17 9 ) 2 = 872 3 u . c

Resposta

d P , Q = 872 3 u . c

Exercício Resolvido #3

Jacir J. Venturi, Álgebra vetorial e Geometria Analítica, 10ª ed, Curitiba, 2015. Pp. 217-2.

Achar a distância do ponto A = ( 1 ,   1 ,   3 ) à reta determinada pelos pontos P = ( 4 ,   3 ,   - 2 )