Distância entre ponto e reta

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Teoria

E aí, você chegou no Responde Aí! E nossa missão é te ajudar a se dar bem na prova! Então vamos lá falar sobre distância entre ponto e reta

Relembrando a distância entre dois pontos

Pra entender direitinho como calcular a distância entre ponto e reta, primeiro você precisa lembrar que para calcular a distância entre dois pontos e nós usamos a fórmula:

Distância entre ponto e reta

Já parou para pensar que entre um ponto e uma reta existem várias distâncias? Como assim???

Olha só:

Muitas distâncias entre ponto
Muitas distâncias entre ponto

O que interessa de verdade pra gente é a menor distância entre ponto e reta. Essa menor distância acontece quando houver um ângulo de entre o ponto e reta:

Menor distância entre ponto e reta
Menor distância entre ponto e reta

Então, para calcular a distância entre o ponto e uma reta primeiro temos que achar um ponto Q que faça um ângulo de e depois calcular a distância!

Como calcular a distância entre ponto e reta?

Para calcular a distância entre dois pontos a gente segue os seguintes passo:

Para calcular a distância do ponto até uma reta

  1. Usar a equação da reta para encontrar um ponto em função de
  2. Calculamos o vetor
  3. Por definição faz º com . Então usamos para encontrar .
  4. Aplicamos o valor de no ponto
  5. Calcular a distância entre e com a fórmula da distância entre pontos

Exemplo

Calcule a distância entre o ponto e a reta

Reta
Reta

Passo 1: Primeiro precisamos encontrar um ponto que forme com o ponto . Vamos chamar esse ponto de .

Reta
Reta

Nós sabemos que pertence a reta , então usando a equação da reta, nós podemos determinar o ponto em função de :

Passo 2: Pronto, agora podemos encontrar o vetor . Pra isso, é só subtrair os pontos:

Vetor
Vetor

Passo 3: Beleza. É agora que vem o pulo do gato! A gente sabe que o vetor tem que fazer º com a reta ! Então se a gente calcular o produto interno e igualar a zero vamos encontrar os valores de que garantem que faça º com .

Logo:

Passo 4: Agora, é só aplicar o valor de para ter o valor exato de

Passo 5: E pra finalizar, é só a gente usar a fórmula da distância entre dois pontos:

Prontinho!! Calculamos a distância entre o ponto e a reta !

Que tal agora dar uma olhada numa super vídeo aula sobre o tema?!

Agora dá uma olhada aqui em baixo pra ver um monte de exercícios! 👇

Exemplo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcular a distância do ponto P = ( 1 ,   2 ,   3 ) à reta

r : x = 1 - 2 t y = 2 t z = 2 - t

Passo 1

Bora começar!

Para calcular a distância entre ponto e reta precisamos, primeiro, escrever um ponto Q genérico da reta r , que será o ponto:

Q = ( 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t )

Passo 2

Aí, a gente lembra dessa “figurosa” e pensa: “Ahhh, agora que eu calculo o vetor   P Q →

Isso aí, pequeno gafanhoto!

Sabendo o jeitão de Q podemos determinar o vetor P Q → :

P Q → = Q - P = 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t - 1 ,   2 ,   3 = ( - 2 t ,   2 t - 2 ,   - 1 - t )

Passo 3

Da equação da reta r tiramos que r → = ( - 2 ,   2 ,   - 1 ) e já descobrimos que

  P Q → = - 2 t , 2 t - 2 , - 1 - t

Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor P Q → são ortogonais, logo:

P Q → ∙ r → = 0

Calculando:

- 2 t ,   2 t - 2 ,   - 1 - t ∙ - 2 ,   2 ,   - 1 = 4 t + 4 t - 4 + 1 + t = 0 → t = 1 3

Agora que achamos que t = 1 3 podemos calcular Q :

Q = 1 - 2 t ,   2 t ,   2 - t → Q = 1 3 , 2 3 , 5 3

Passo 4

Agora, para terminar (UFA!) vamos achar a distancia entre o ponto P e a reta r , é só calcular a distância entre os ponto P ( 1 ,   2 ,   3 ) e Q = 1 3 , 2 3 , 5 3 .

Não lembra a fórmula??

A gente relembra!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 1 - 1 3 2 + 2 - 2 3 2 + 3 - 5 3 2 = 4 = 2 u . c

Resposta

d P , Q = 2 u . c

Exercício Resolvido #2

Calcular a distância do ponto P 0 ( 2 ,   0 ,   7 ) à reta

r : x 2 = y - 2 2 = z + 3 1

Passo 1

O exercício nos pede para calcular a distância entre um ponto e uma reta. Com a equação da reta r   fornecida conseguimos tirar as seguintes informações:

Dados:

r :   R = ( 0 ,   2 ,   - 3 ) r → = ( 2 ,   2 ,   1 )             e                 P 0 ( 2 ,   0 ,   7 )    

Vimos como calcular diferentes distâncias na teoria! Não lembra, como calcula entre ponto e reta?! Vamos relembrar!!

Passo 2

Quando queremos a distância entre ponto e reta, sempre temos que ter em mente a seguinte figura:

Nós temos o ponto P → P 0 e temos o vetor diretor da reta r . O próximo passo é determinar o ponto Q genericamente. Para isso, vamos escrever primeiro a equação vetorial da reta r :

r : X = 0 ,   2 ,   - 3 + t ( 2 ,   2 ,   1 )

Assim, Q é:

Q = ( 2 t ,   2 + 2 t ,   - 3 + t )

Sabendo o jeitão de Q podemos determinar o vetor P 0 Q → :

P 0 Q → = Q - P 0 = 2 t ,   2 + 2 t ,   - 3 + t - 2 ,   0 ,   7 = ( 2 t - 2,2 + 2 t , t - 10 )

Passo 3

Temos da equação da reta r que r → = ( 2 ,   2 ,   1 ) e descobrimos que   P 0 Q → = 2 t - 2,2 + 2 t , t - 10 Sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor P 0 Q → são ortogonais, logo:

P 0 Q → ∙ r → = 0

Calculando:

2 t - 2,2 + 2 t , t - 10 ∙ 2 ,   2 ,   1 = 4 t - 4 + 4 t + 4 + t - 10 = 0 → t = 10 9

Agora que achamos que t = 10 9 podemos calcular Q :

Q = 2 t ,   2 + 2 t ,   - 3 + t → Q = 20 9 , 38 9 ,   - 17 9

Passo 4

Estamos quase terminando!! Agora, para acharmos a distancia entre o ponto P 0   e a reta r , é só calcular a distância entre os ponto P 0 ( 2 ,   0 ,   7 ) e Q = 20 9 , 38 9 ,   - 17 9

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 2 - 20 9 2 + ( 0 - 38 9 ) 2 + ( 7 + 17 9 ) 2 = 872 3 u . c

Resposta

d P , Q = 872 3 u . c

Exercício Resolvido #3

Achar a distância do ponto A = ( 1 ,   1 ,   3 ) à reta determinada pelos pontos P = ( 4 ,   3 ,   - 2 ) e Q = 2 ,   2 ,   0 .

Passo 1

Vamos começar encontrando a equação dessa reta na forma vetorial! Para isso, precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor!

O ponto da reta pode ser qualquer um dos que foram dados no enunciado! Para o vetor diretor, basta fazermos P - Q

P - Q = 4 - 2 ,   3 - 2 ,   - 2 - 0 = 2 ,   1 ,   - 2 = r →

Com essas informações conseguimos escrever a equação vetorial da reta!

r : x ,   y ,   z = 4 ,   3 ,   - 2 + t ( 2 ,   1 ,   - 2 )

Passo 2

Agora vamos calcular o ponto R , genérico da reta. Para isso, vamos escrever primeiro a equação vetorial da reta r :

r : x ,   y ,   z = 4 ,   3 ,   - 2 + t ( 2 ,   1 ,   - 2 )

Assim, R é:

R = ( 4 + 2 t ,   3 + 1 t ,   - 2 - 2 t )

Sabendo o jeitão de R podemos determinar o vetor A R → :

A R → = R - A = 4 + 2 t ,   3 + 1 t ,   - 2 - 2 t - 1 ,   1 ,   3 = 3 + 2 t ,   2 + t ,   - 5 - 2 t

Passo 3

Temos da equação da reta r que r → = ( 2 ,   1 ,   - 2 ) e descobrimos que   A R → = 3 + 2 t ,   2 + t ,   - 5 - 2 t .Sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor A R → são ortogonais, logo:

A R → ∙ r → = 0

Calculando:

3 + 2 t ,   2 + t ,   - 5 - 2 t ∙ 2 ,   1 ,   - 2 = 6 + 4 t + 2 + t + 10 + 4 t = 0 → t = - 2

Agora que achamos que t = - 2 podemos calcular R :

R = 4 + 2 t ,   3 + 1 t ,   - 2 - 2 t → R = 0 ,   1 ,   2

Passo 4

Estamos quase terminando!! Agora, para acharmos a distancia entre o ponto A   e a reta r , é só calcular a distância entre os ponto A ( 1 ,   1 ,   3 ) e R = 0 ,   1 ,   2

d A , R = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d A , R = 1 - 0 2 + ( 1 - 1 ) 2 + ( 3 + ( - 2 ) ) 2 = 2   u . c

Resposta

d A , R = 2   u . c

Exercício Resolvido #4

Calcular a distância do ponto P = ( 1 ,   2 ,   3 ) a cada um dos eixos coordenados.

Passo 1

Esse exercício é tranquilinho, só precisamos entender o que esse enunciado significa!

Vamos pensar para o eixo x primeiro. Se pensarmos na reta do eixo x , sabemos que nela y = 0 e z = 0 .

Beleza, agora vamos olhar para o ponto P . A coordenada x desse ponto já pertence ao eixo x , ou seja, já corresponde a x = 1 (no eixo x ). Então, quando colocássemos esse valor na fórmula da distância entre pontos daria zero, visto que teríamos 1 - 1 = 0 . O que faz sentido, já que a distância entre um ponto, no eixo x , e o eixo x tem que ser zero!

Logo, para calcular a distância de P ao eixo x (com y = 0 e z = 0 , já que estamos no eixo x ), seria o equivalente a calcular a distância de P ao ponto ( 1 ,   0 ,   0 ) !

Então vamos calcular!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 1 - 1 2 + ( 2 - 0 ) 2 + ( 3 - 0 ) 2 = 13 u . c

Passo 2

O mesmo vai valer para o eixo y ! Só que agora calcularemos a distância de P ao ponto 0 ,   2 ,   0 , visto que a nossa coordenada no eixo y é y = 2 .

d P , Q = 1 - 0 2 + ( 2 - 2 ) 2 + ( 3 - 0 ) 2 = 10 u . c

Passo 3

Para o eixo z , faremos a distância de P ao ponto ( 0 ,   0 ,   3 ) !

d P , Q = 1 - 0 2 + ( 2 - 0 ) 2 + ( 3 - 3 ) 2 = 5 u . c

Resposta

13 ,   10 ,   5

Exercício Resolvido #5

Ache os pontos de r :   x + y = 2 x = y + z que distam 3 do ponto A = ( 0 ,   2 ,   1 )

Passo 1

O problema nos pede para encontrarmos os pontos que pertencem à reta r e que distam 3 do ponto A . Então, para isso devemos encontrar o ponto genérico de r para então calcularmos a distância entre dois pontos que sabemos que vale 3 .

Passo 2

Temos do enunciado os seguinte sistema para r :

r :   x + y = 2 x = y + z

Vamos fazer algumas manipulações! Podemos escrever o sistema da seguinte maneira:

  x = 2 - y x = y + z

Substraindo a segunda equação da primeira, temos:

0 = 2 - 2 y - z → z = 2 - 2 y

E pela primeira equação sabemos que x = 2 - y , então podemos escrever o nosso ponto pertence à r da seguinte forma:

R = ( 2 - y ,   y ,   2 - 2 y )

Passo 3

Agora que temos nosso ponto R podemos calcular que a distância entre R = ( 2 - y ,   y ,   2 - 2 y ) e A = ( 0 ,   2 ,   1 ) vale 3 . Pela fórmula de distância entre dois pontos:

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

3 = 2 - y - 0 2 + y - 2 2 + ( ( 2 - 2 y ) - 1 ) 2

Resolvendo:

3 = 6 y 2 - 12 y + 9

Elevando os dois lados ao quadrado:

9 = 6 y 2 - 12 y + 9

6 y 2 - 12 y = 0 → 6 y y - 2 = 0

y = 0         o u           y = 2

Sabemos agora que y = 0 ou y = 2 podemos então substituir em R = ( 2 - y ,   y ,   2 - 2 y )   :

S e   y = 0 → R = 2 ,   0 ,   2

S e   y = 2 → R = ( 0 ,   2 ,   - 2 )

Pronto!! Os pontos de r que distam 3 de A , são:

2 ,   0 ,   2     e       ( 0 ,   2 ,   - 2 )

Resposta

2 ,   0 ,   2     e       ( 0 ,   2 ,   - 2 )

Exercício Resolvido #6

Dada a reta r : X = 1 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   1 ,   1 ) e os pontos A = 1,1 ,   1 ,   B = 0 ,   0 ,   1 , ache o ponto de r equidistante de A e B .

Passo 1

O problema nos dá a equação da reta r e pede para determinarmos o ponto de r que seja equidistante, ou seja, tenha a mesma distância dos pontos A e B . Assim, sendo R um ponto de r que queremos determinar, teríamos:

d A , R = d ( B , R )

Passo 2

Como vamos achar R ?

Relaxa! Vamos te explicar!!

Sabemos que R pertence à reta r , certo? Então, se temos a equação vetorial de r conseguiremos excrever R :

R = ( 1 + λ ,   λ ,   λ )

Passo 3

Já sabemos que R = ( 1 + λ ,   λ ,   λ ) e sabemos que A = ( 1 ,   1 ,   1 ) e B = ( 0 ,   0 ,   1 ) , então agora é fazer:

d A , R = d ( B , R )

Subsituindo na formuleta de distância entre pontos, temos:

d A , R = 1 - ( 1 + λ ) 2 + ( 1 - λ ) 2 + ( 1 - λ ) 2 = λ 2 + 2 ( 1 - λ ) 2

d A , R = 3 λ 2 + 2 - 4 λ  

d B , R = 0 - ( 1 + λ ) 2 + ( 0 - λ ) 2 + ( 1 - λ ) 2 = 3 λ 2 + 2

d B ,   R = 3 λ 2 + 2

Igualando d A , R = d ( B , R ) :

3 λ 2 + 2 - 4 λ   = 3 λ 2 + 2

Elevando ao quadrado os dois lados:

3 λ 2 + 2 - 4 λ = 3 λ 2 + 2

4 λ = 0 →   λ = 0

Se λ = 0 , substituindo esse valor em   R = ( 1 + λ ,   λ ,   λ ) :

  λ = 0 → R = 1 ,   0 ,   0

Então, o ponto de r equiditantes à A e B é:

1 ,   0 ,   0  

Resposta

1 ,   0 ,   0    

Exercício Resolvido #7

Seja o triângulo A B C de vértices A = - 3 ,   1 ,   4 ,   B = - 4 ,   - 1 ,   0   e C = - 4 ,   3 ,   5 .

Calcular a medida da altura relativa ao lado B C .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um desenho para gente entender direitinho o que esse cara quer:

Uhh, então é esse h que o moço quer. Mas como calcula ele mesmo??

Haha, vou explicar! Reparem que o valor de h é exatamente igual ao valor da distância do ponto A à reta que passa por B e C !

Vamos começar achando a equação dessa reta!

Passo 2

Sabemos que, para achar a equação de uma reta, precisamos de um vetor diretor e de um ponto pertencente a reta. Com os pontos B e C , conseguimos calcular   B C → (que é o vetor diretor da reta)

B C → = - 4 ,   3 ,   5 - - 4 ,   - 1 ,   0

B C → = 0 ,   4 ,   5

Agora só precisamos de um ponto da reta! Vou pegar o ponto C , você poderia ter usado o B também. Com isso, a equação da nossa reta fica:

x = - 4 y = 3 + 4 t z = 5 + 5 t

Passo 3

Agora ficou um problema normal de distância entre ponto e reta!

Vamos achar o ponto genérico Q da reta:

Q = - 4 ,   3 + 4 t ,   5 + 5 t

Agora o vetor   A Q →

A Q → = - 4 ,   3 + 4 t ,   5 + 5 t - - 3 ,   1 ,   4 = ( - 1 ,   2 + 4 t ,   1 + 5 t )

Vamos achar t entonces:

A Q → ∙ B C → = 0

Calculando:

- 1 ,   2 + 4 t ,   1 + 5 t ∙ 0 ,   4 ,   5 = 8 + 16 t + 5 + 25 t = 0 → t = - 13 41

Agora que achamos que t = - 13 41 podemos calcular Q :

Q = - 4 ,   3 + 4 t ,   5 + 5 t → Q = - 4 , 71 41 ,   1 40 41