Distância entre Retas

Teoria Completa

Seguindo o “flow” das distâncias, vamos ver agora distância entre retas!! UHULLL!!

A distância entre retas possui três casos!!

Quando as retas forem concorrentes a distância entre elas é ZERO. O que faz sentido, pois as retas se cruzam, haha

Já se elas forem paralelas distintas ou reversas veremos como se calcula para cada caso!! ;)

Retas Paralelas:

Para calcular a distância entre duas retas paralelas o passo a passo é praticamente o mesmo ao que fizemos para calcular a distância entre um ponto e uma reta!

Por exemplo, se tivermos as retas r : X = 1 ,   1,1 + t ( 1,2 ,   3 ) e s : X = 1 ,   2 ,   4 + h ( 2 ,   4 ,   6 ) .

Primeiro, escolhemos um ponto de uma das retas! Vou escolher o ponto P = ( 1 ,   2 ,   4 ) que pertence à reta s . Agora preciso achar o ponto Q . Como Q pertence à r :

Q = ( 1 + t , 1 + 2 t ,   1 + 3 t )

Novamente, calculamos o vetor P Q → que deve ser ortogonal ao vetor diretor de uma das retas, pode ser r → ou s → , tanto faz, pois elas são paralelas, então seus vetores diretores são proporcionais:

P Q → = Q - P = 1 + t , 1 + 2 t ,   1 + 3 t - 1 ,   2 ,   4 = ( t ,   2 t - 1 ,   3 t - 3 )

Sabendo que P Q → que deve ser ortogonal ao vetor diretor de uma das retas, então escolhendo r → = ( 1 ,   2 ,   3 ) :

P Q → ∙ r → = 0

t ,   2 t - 1 ,   3 t - 3 ∙ 1 ,   2 ,   3 = 0 → t + 4 t - 2 + 9 t - 9 = 0 → t = 11 14

Sabendo o valor de t descobrimos Q :

Q = 1 + t , 1 + 2 t ,   1 + 3 t = 25 14 , 18 7 , 47 14

Agora, é só calcular a distância entre P e Q :

d P , Q =   d P , Q = 1 - 25 14 2 + 2 - 18 7   2 + ( 4 - 47 14 ) 2       = 266 14

Percebe que do segundo passo em diante os passos são os mesmos que calcular a distância entre ponto e reta?!

Bora, ver como calcula de retas reversas!!

Retas Reversas:

Para retas reversas, temos duas opções para calcular essa distância!

Primeira opção

Aqui o cálculo é praticamente o mesmo das retas paralelas!! Você vai tirar de letra! ;)

Para as retas reversas nós escreveremos os pontos P e Q genericamente conforme a equação de suas respectivas retas. Escrito os pontos, por definição o vetor P Q → deve ser ortogonal ao vetor r → e ao vetor s → , que são os vetores diretores das retas. Assim, faremos que:

P Q → ∙ r → = 0               e                 P Q → ∙ s → = 0              

Fazendo isso, acharemos os pontos P e Q , e então basta calcularmos a distância entre eles!!

Aqui a diferença entre retas paralelas e retas reversas, é que nas reversas você escreverá os dois pontos genericamente e terá que calcular dois produtos internos, ao invés, de apenas um!!

Segunda opção

Nessa opção as contas são menores, então o resultado sai mais rápido!

Imagina duas retas reversas:

  • r com vetor diretor u → e ponto P 1
  • s com vetor diretor v → e ponto P 2

Para você entender, se liga nesse paralelepípedo:

Reparem que a altura d é exatamente a distâncias entre as nossas retas!

Para acharmos essa distância, vamos pensar no volume desse paralelepípedo que pode ser escrito como

V = A r e a   d a   b a s e   × a l t u r a

Ou seja,

V = u → × v → d

Mas, também falamos lá no capítulo de Vetores que quando fazemos o produto misto em módulo entre três vetores estamos calculando o volume do paralelepípedo formado por eles!

Temos os vetores   u → e   v → , qual é o terceiro vetor??

O terceiro vetor será formado pelos nossos pontos, ou seja, o vetor  P 1 P 2 → !

Logo, nosso volume pode ser escrito como:

V = ( u → ,   v → ,   P 1 P 2 ) →

Igualando as duas expressões para volume, obtemos

( u → ,   v → ,   P 1 P 2 ) → = u → × v → d

Logo,

d = ( u → ,   v → ,   P 1 P 2 ) → u → × v →

E essa será a distância entre as nossas retas!! UHULLLL

Ufa!! Distância entre retas acabamos!!

Simbora fazer exercício!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 193-3.

Calcular a distância entre as retas r : y = - 2 x + 3 z = 2 x e s : x = - 1 - 2 t y = 1 + 4 t z = - 3 - 4 t

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Passo 1

Simbora começar!

A primeira coisa que precisamos saber é se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.

Lembra lá da definção de retas paralelas??

Duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Vamos ver se isso é verdade!

Considerando   r → = ( 1 ,   - 2 ,   2 ) e   s → = ( - 2 ,   4 ,   - 4 ) , temos:

1 ,   - 2 ,   2 = α ( - 2 ,   4 ,   - 4 )

α = - 1 2

Logo, as retas são paralelas!!

Passo 2

Agora que já sabemos que a retas são parelelas, o exercício fica igual a distância entre ponto e reta!

Vamos escolher um ponto P da reta r :

Se x = 0 ,   P = 0 ,   3 ,   0

E um ponto genérico Q da reta s é:

Q = ( - 1 - 2 t ,   1 + 4 t ,   - 3 - 4 t )

Agora calculamos   P Q →

P Q → = Q - P = - 1 - 2 t ,   1 + 4 t ,   - 3 - 4 t - 0 ,   3 ,   0 = ( - 1 - 2 t ,   - 2 + 4 t ,   - 3 - 4 t )

Passo 3

Passo 4

Da equação da reta s tiramos que s → = ( - 2 ,   4 ,   - 4 ) e já descobrimos que

  P Q → = - 1 - 2 t ,   - 2 + 4 t ,   - 3 - 4 t

Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor P Q → são ortogonais, logo:

P Q → ∙ s → = 0

Calculando:

- 1 - 2 t ,   - 2 + 4 t ,   - 3 - 4 t ∙ - 2 ,   4 ,   - 4 = 2 + 4 t - 8 + 16 t + 12 + 16 t = 0 → t = - 1 6

Agora que achamos que t = - 1 6 podemos calcular Q :

Q = - 1 - 2 t ,   1 + 4 t ,   - 3 - 4 t → Q = - 2 3 , 1 3 ,   - 7 3

Passo 5

Agora, para terminar (UFA!) vamos achar a distancia entre o ponto P e a reta s , é só calcular a distância entre os ponto P ( 0 ,   3,0 ) e Q = - 2 3 , 1 3 , - 7 3 .

Não lembra a fórmula??

A gente relembra!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 0 + 2 3 2 + 3 - 1 3 2 + 0 + 7 3 2 = 13 u . c

Resposta

d P , Q = 13 u . c

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 202-5c.

Calcular a distância entre as retas r : x = 3 y = 2 e s : x = 1 y = 4

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Passo 1

Eita, tá estranho essas retas ai, como é isso??

Galera, reparem que o que temos são pontos! Então é só calcular a distância entre eles!

Passo 2

Os pontos são P r = 3 ,   2 e P S = 1,4 .

A fórmula para distância entre pontos é:

d P , Q = x - x 0 2 + y - y 0 2 + ( z - z 0 ) 2

Como não temos coordenada z , nossa fórmula fica:

d P r , P s = 3 - 1 2 + ( 2 - 4 ) 2

d P r , P s = 8 = 2 2

Resposta

d P r , P s = 8 = 2 2   u . c

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 195-4.

Calcular a distância entre as retas r : y = 1 x + 2 = z - 4 - 2 e s : x = 3 y = 2 t - 1 z = - t + 3

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Passo 1

Primeiramente precisamos saber se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.

Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Vamos ver se isso é verdade!

Considerando   r → = ( 1 ,   0 ,   - 2 ) e   s → = ( 0 ,   2 ,   - 1 ) , temos:

1 ,   0 , -   2 = α ( 0 ,   2 ,   - 1 )

Abrindo isso, temos:

1 = 0 α 0 = 2 α - 2 = - 1 α

Olhando para primeira equação já vemos um problema, pois obtemos uma indeterminação α = 1 0 . Com isso nossas retas não são paralelas.

Logo, as retas são reversas!!

Passo 2

Bem, agora precisamos pegar um ponto de cada reta!!

Vou passar a equação da reta r para paramétrica para ficar mais fácil de visualizar

r : x + 2 = h y = 1 z - 4 - 2 = h

r : x = h - 2 y = 1 z = - 2 h + 4

Com isso, um ponto P da reta r é:

P = ( - 2 ,   1 ,   4 )

Para a reta s , um ponto Q é:

Q = ( 3 ,   - 1 ,   3 )

Com isso, conseguimos calcular o vetor   P Q →

P Q → = 3 ,   - 1 ,   3 - - 2 ,   1 ,   4

P Q → = ( 5 ,   - 2 ,   - 1 )

Passo 3

Agora que já possuímos os três vetores que geram o paralelepípedo, vamos relembrar a fórmula:

D r ,   s = r → ,   s → ,   P Q → r → × s →

Calculando os termos,

r → ,   s → ,   P Q → = 1 0 - 2 0 2 - 1 5 - 2 - 1 = 16

r → × s → = i → j → k → 1 0 - 2 0 2 - 1 = 4 ,   1 ,   2

r → × s → = ( 4 ,   1 ,   2 ) = 21

Logo,

D r ,   s = 16 21 u . c

UHULESSSS 😊

Resposta

D r ,   s = 16 21 u . c

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Calcular a distância entre as retas r : x = 2 + 2 t y = 3 + 4 t z = 5 + t e s : x = 2 + 2 h y = - 1 + 2 h z = - 3 + h

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Passo 1

Vamos ver se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.

Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Vamos ver se isso é verdade!

Considerando   r → = ( 2 ,   4 ,   1 ) e   s → = ( 2 ,   2 ,   1 ) , temos:

2 ,   4,1 = α ( 2 ,   2 ,   1 )

Abrindo isso, temos:

2 = 2 α →   α = 1 4 = 2 α →   α = 2 1 = 1 α →   α = 1

Como os valores de α não são todos iguais as retas são reversas!!

Passo 2

Vamos resolver esse exercício usando a primeira opção de resolução para você ver que dá certo também!

Primeiro, escrevemos um ponto genérico para cada reta:

Para reta r → P = 2 + 2 t ,   3 + 4 t ,   5 + t

Para reta s → Q = ( 2 + 2 h ,   - 1 + 2 h ,   - 3 + h )

Bem, agora podemos calcular o vetor   P Q →

P Q → = 2 + 2 h ,   - 1 + 2 h ,   - 3 + h - 2 + 2 t ,   3 + 4 t ,   5 + t

P Q → = ( 2 h - 2 t ,   - 4 + 2 h - 4 t ,   - 8 + h - t )

Passo 3

Vamos fazer os produtos internos!

P Q → ∙ r → = 0 e   P Q → ∙ s → = 0

P Q → ∙ r → = 2 h - 2 t ,   - 4 + 2 h - 4 t ,   - 8 + h - t ∙ 2 ,   4 ,   1 = 0

P Q → ∙ r → = 13 h - 21 t - 24 = 0

P Q → ∙ s → = 2 h - 2 t ,   - 4 + 2 h - 4 t ,   - 8 + h - t ∙ 2 ,   2 ,   1 = 0

P Q → ∙ s → = 9 h - 13 t - 16 = 0

Montando um sisteminha para achar t e h :

13 h - 21 t = 24     ( I ) 9 h - 13 t = 16     ( I I )

De ( I I ) tiramos que h = 16 + 13 t 9 . Substituindo em ( I ) :

13 16 + 13 t 9 - 21 t = 24

Igualando os denominadores

208 + 169 t - 189 t = 216

t = - 2 5

Logo, h = 16 + 13 t 9 = 6 5 .

Com isso podemos achar P e Q !

P = 2 + 2 t ,   3 + 4 t ,   5 + t = 6 5 , 7 5 , 23 5

Q = 2 + 2 h ,   - 1 + 2 h ,   - 3 + h = 22 5 , 7 5 ,   - 9 5

Passo 4

Por fim, calculamos d ( P , Q )

d P , Q = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 6 5 - 22 5 2 + 7 5 - 7 5 2 + 23 5 - - 9 5 2 = 16 5 u . c

Resposta

16 5 u . c

Exercício Resolvido #5

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 201-5a.

Calcular a distância entre as retas r : x = 0 y = z e s : y = 3 z = 2 x

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Passo 1

Vamos ver se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.

Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Para achar um vetor diretor para r , podemos escolher dois pontos quaisquer de r e subtraí-los

r → = 0,2 , 2 - 0,1 , 1 = ( 0,1 , 1 )

Fazendo o mesmo para s , obtemos

s → = ( 1,0 , 2 )

Agora vamos checar se as retas são paralelas ou não:

0,1 ,   1 = α ( 1 ,   0 ,   2 )

Abrindo isso, temos:

0 = 1 α →   α = 0 1 = 0 α → α = 1 0 1 = 2 α →   α = 1 2

Olhando para segunda equação já vemos um problema, pois obtemos uma indeterminação α = 1 0 , além disso nenhum valor de α bate!

Logo, as retas são reversas!!

Passo 2

Bem, agora precisamos pegar um ponto de cada reta!!

Um ponto P da reta r é:

P = ( 0,3 ,   3 )

Para a reta s , um ponto Q é:

Q = ( 3,3 ,   6 )

Com isso, conseguimos calcular o vetor   P Q →

P Q → = 3 ,   3 ,   6 - 0 ,   3 ,   3

P Q → = ( 3 ,   0   3 )

Passo 3

Agora já possuímos os três vetores que geram o paralelepípedo!

Relembrando a fórmula:

D r ,   s = r → ,   s → ,   P Q → r → × s →

Calculando os termos,

r → ,   s → ,   P Q → = 0 1 1 1 0 2 3 0 3 = 3

r → × s → = i → j → k → 0 1 1 1 0 2 = 2 ,   1 ,   - 1

r → × s → = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) = 6

Logo,

D r ,   s = 3 6 u . c

UHULESSSS 😊

Resposta

D r ,   s = 3 6 u . c

Exercício Resolvido #6

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 202-5b.

Calcular a distância entre as retas r que passa pelos pontos A ( 1,0 , 1 ) e B = ( - 1 ,   - 1,0 ) e s que passa pelos pontos C ( 0 ,   1 ,   - 2 ) e D 1 ,   1 ,   1 .

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Passo 1

Bem, com essas informações conseguimos achar os vetores diretores de cada reta!

Para reta r :

r → = - 1 ,   - 1 ,   0 - 1 ,   0 ,   1 = ( - 2 ,   - 1 ,   - 1 )

Para reta s :

s → = 1,1 , 1 - 0 ,   1 ,   - 2 = ( 1 ,   0 ,   3 )

Com isso, vamos ver se as retas são paralelas distintas ou reversas.

Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Substituindo os valores,

( - 2 ,   - 1 ,   - 1 ) = α ( 1 ,   0 ,   3 )

Abrindo isso, temos:

- 2 = 1 α - 1 = 0 α - 1 = 3 α

Mais uma vez obtemos uma indeterminação α = - 1 0 na segunda equação. Com isso nossas retas não são paralelas.

Logo, as retas são reversas!!

Passo 2

Agora precisamos pegar um ponto de cada reta! Isso o enunciado já nos deu!

Com isso, um ponto P da reta r é:

P = ( 1 ,   0 ,   1 )

Para a reta s , um ponto Q é:

Q = ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Agora basta calcular o vetor   P Q →

P Q → = 0 ,   1 ,   - 2 - 1 ,   0 ,   1

P Q → = ( - 1 ,   1 ,   - 3 )