Distância entre Retas

Teoria Completa

Seguindo o “flow” das distâncias, vamos ver agora distância entre retas!! UHULLL!!

A distância entre retas possui três casos!!

Quando as retas forem concorrentes a distância entre elas é ZERO. O que faz sentido, pois as retas se cruzam, haha

Já se elas forem paralelas distintas ou reversas veremos como se calcula para cada caso!! ;)

Retas Paralelas:

Para calcular a distância entre duas retas paralelas o passo a passo é praticamente o mesmo ao que fizemos para calcular a distância entre um ponto e uma reta!

Por exemplo, se tivermos as retas r : X = 1 ,   1,1 + t ( 1,2 ,   3 ) e s : X = 1 ,   2 ,   4 + h ( 2 ,   4 ,   6 ) .

Primeiro, escolhemos um ponto de uma das retas! Vou escolher o ponto P = ( 1 ,   2 ,   4 ) que pertence à reta s . Agora preciso achar o ponto Q . Como Q pertence à r :

Q = ( 1 + t , 1 + 2 t ,   1 + 3 t )

Novamente, calculamos o vetor P Q → que deve ser ortogonal ao vetor diretor de uma das retas, pode ser r → ou s → , tanto faz, pois elas são paralelas, então seus vetores diretores são proporcionais:

P Q → = Q - P = 1 + t , 1 + 2 t ,   1 + 3 t - 1 ,   2 ,   4 = ( t ,   2 t - 1 ,   3 t - 3 )

Sabendo que P Q → que deve ser ortogonal ao vetor diretor de uma das retas, então escolhendo r → = ( 1 ,   2 ,   3 ) :

P Q → ∙ r → = 0

t ,   2 t - 1 ,   3 t - 3 ∙ 1 ,   2 ,   3 = 0 → t + 4 t - 2 + 9 t - 9 = 0 → t = 11 14

Sabendo o valor de t descobrimos Q :

Q = 1 + t , 1 + 2 t ,   1 + 3 t = 25 14 , 18 7 , 47 14

Agora, é só calcular a distância entre P e Q :

d P , Q =   d P , Q = 1 - 25 14 2 + 2 - 18 7   2 + ( 4 - 47 14 ) 2       = 266 14

Percebe que do segundo passo em diante os passos são os mesmos que calcular a distância entre ponto e reta?!

Bora, ver como calcula de retas reversas!!

Retas Reversas:

Para retas reversas, temos duas opções para calcular essa distância!

Primeira opção

Aqui o cálculo é praticamente o mesmo das retas paralelas!! Você vai tirar de letra! ;)

Para as retas reversas nós escreveremos os pontos P e Q genericamente conforme a equação de suas respectivas retas. Escrito os pontos, por definição o vetor P Q → deve ser ortogonal ao vetor r → e ao vetor s → , que são os vetores diretores das retas. Assim, faremos que:

P Q → ∙ r → = 0               e                 P Q → ∙ s → = 0              

Fazendo isso, acharemos os pontos P e Q , e então basta calcularmos a distância entre eles!!

Aqui a diferença entre retas paralelas e retas reversas, é que nas reversas você escreverá os dois pontos genericamente e terá que calcular dois produtos internos, ao invés, de apenas um!!

Segunda opção

Nessa opção as contas são menores, então o resultado sai mais rápido!

Imagina duas retas reversas:

  • r com vetor diretor u → e ponto P 1
  • s com vetor diretor v → e ponto P 2

Para você entender, se liga nesse paralelepípedo:

Reparem que a altura d é exatamente a distâncias entre as nossas retas!

Para acharmos essa distância, vamos pensar no volume desse paralelepípedo que pode ser escrito como

V = A r e a   d a   b a s e   × a l t u r a

Ou seja,

V = u → × v → d

Mas, também falamos lá no capítulo de Vetores que quando fazemos o produto misto em módulo entre três vetores estamos calculando o volume do paralelepípedo formado por eles!

Temos os vetores   u → e   v → , qual é o terceiro vetor??

O terceiro vetor será formado pelos nossos pontos, ou seja, o vetor  P 1 P 2 → !

Logo, nosso volume pode ser escrito como:

V = ( u → ,   v → ,   P 1 P 2 ) →

Igualando as duas expressões para volume, obtemos

( u → ,   v → ,   P 1 P 2 ) → = u → × v → d

Logo,

d = ( u → ,   v → ,   P 1 P 2 ) → u → × v →

E essa será a distância entre as nossas retas!! UHULLLL

Ufa!! Distância entre retas acabamos!!

Simbora fazer exercício!

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Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 193-3.

Calcular a distância entre as retas r : y = - 2 x + 3 z = 2 x e s : x = - 1 - 2 t y = 1 + 4 t z = - 3 - 4 t

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Passo 1

Simbora começar!

A primeira coisa que precisamos saber é se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.

Lembra lá da definção de retas paralelas??

Duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação

r → = α s →

Vamos ver se isso é verdade!

Considerando   r → = ( 1 ,   - 2 ,   2 ) e   s → = ( - 2 ,   4 ,   - 4 ) , temos:

1 ,   - 2 ,   2 = α ( - 2 ,   4 ,   - 4 )

α = - 1 2

Logo, as retas são paralelas!!

Passo 2

Agora que já sabemos que a retas são parelelas, o exercício fica igual a distância entre ponto e reta!

Vamos escolher um ponto P da reta r :

Se x = 0 ,   P = 0 ,   3 ,   0

E um ponto genérico Q da reta s é:

Q = ( - 1 - 2 t ,   1 + 4 t ,   - 3 - 4 t )

Agora calculamos   P Q →

P Q → = Q - P = - 1 - 2 t ,   1 + 4 t ,   - 3 - 4 t - 0 ,   3 ,   0 = ( - 1 - 2 t ,   - 2 + 4 t ,   - 3 - 4 t )

Passo 3

Passo 4

Da equação da reta s tiramos que s → = ( - 2 ,   4 ,   - 4 ) e já descobrimos que

  P Q → = - 1 - 2 t ,   - 2 + 4 t ,   - 3 - 4 t

Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta r e o vetor P Q → são ortogonais, logo:

P Q → ∙ s → = 0

Calculando:

- 1 - 2 t ,   - 2 + 4 t ,   - 3 - 4 t ∙ - 2 ,   4 ,   - 4 = 2 + 4 t - 8 + 16 t + 12 + 16 t = 0 → t = - 1 6

Agora que achamos que t = - 1 6 podemos calcular Q :

Q = - 1 - 2 t ,   1 + 4 t ,   - 3 - 4 t → Q = - 2 3 , 1 3 ,   - 7 3

Passo 5

Agora, para terminar (UFA!) vamos achar a distancia entre o ponto P e a reta s , é só calcular a distância entre os ponto P ( 0 ,   3,0 ) e Q = - 2 3 , 1 3 , - 7 3 .

Não lembra a fórmula??

A gente relembra!

d P , Q = x - x 0 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2

Substituindo os valores:

d P , Q = 0 + 2 3 2 + 3 - 1 3 2 + 0 + 7 3 2 = 13 u . c

Resposta

d P , Q = 13 u . c

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 202-5c.

Calcular a distância entre as retas r : x = 3 y = 2 e s : x = 1 y = 4

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Passo 1

Eita, tá estranho essas retas ai, como é isso??

Galera, reparem que o que temos são pontos! Então é só calcular a distância entre eles!

Passo 2

Os pontos são P r = 3 ,   2 e P S = 1,4 .

A fórmula para distância entre pontos é:

d P , Q = x - x 0 2 + y - y 0 2 + ( z - z 0 ) 2

Como não temos coordenada z , nossa fórmula fica:

d P r , P s = 3 - 1 2 + ( 2 - 4 ) 2

d P r , P s = 8 = 2 2

Resposta

d P r , P s = 8 = 2 2   u . c

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 195-4.

Calcular a distância entre as retas r : y = 1 x + 2 = z - 4 - 2 e s : x = 3 y = 2 t - 1 z = - t + 3