Distância entre Duas Retas
Produzido por Matheus dos Santos SoaresTeoria
Como calcular a distância entre duas retas?
Topa descobrir agora? Então bora lá!
Vamos separar em três casos: retas concorrentes, retas paralelas e retas reversas.
RETAS CONCORRENTES
Esse caso é o mais simples e não tem nenhum mistério. Retas concorrentes se cruzam, então a distância entre elas é ZERO!
RETAS PARALELAS
Para esse caso, temos um passo a passo a ser seguido:

Eu sei que esse passo a passo assim é bem complicado de entender, então vamos aplicá-lo em um exemplo.
Imagine as retas
Primeiro escolhemos um ponto
Agora precisamento considerar um ponto qualquer
Agora, temos que calcular o vetor

Calculando esse vetor:
Sabendo que o vetor
Sabendo
E agora, para acharmos a distância temos que fazer o módulo desse vetor:
E ACABOU!! Demorou mais foi hahaha

Mas ainda não acabou o conteúdo todo, falta só mais um caso...
Não desiste agora
RETAS REVERSAS
Esse caso aqui é bem parecido com as retas paralelas, você vai tirar de letra!
Primeiro vamos escrever os dois pontos
Depois de escrito os pontos vamos escrever um vetor

Quando resolvermos essas duas equações acharemos um valor para
Pegou a dinâmica?
Vamos praticar agora com muito exercícios?
Ahhh... quase ia me esquecendo... Você pode conferir esse conteúdo em vídeo também 😱
Dá uma olhada aqui 👇🏽
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 193-3.
Calcular a distância entre as retas e
Passo 1
Simbora começar!
A primeira coisa que precisamos saber é se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.
Lembra lá da definção de retas paralelas??
Duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação
Vamos ver se isso é verdade!
Considerando e , temos:
Logo, as retas são paralelas!!
Passo 2
Agora que já sabemos que a retas são parelelas, o exercício fica igual a distância entre ponto e reta!
Vamos escolher um ponto da reta :
Se
E um ponto genérico da reta é:
Agora calculamos
Passo 3
Da equação da reta tiramos que e já descobrimos que
Também sabemos da teoria que o vetor diretor da reta e o vetor são ortogonais, logo:
Calculando:
Agora que achamos que podemos calcular :
Passo 4
Agora, para terminar (UFA!) vamos achar a distancia entre o ponto e a reta , é só calcular a distância entre os ponto e .
Não lembra a fórmula??
A gente relembra!
Substituindo os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 202-5c.
Calcular a distância entre as retas e
Passo 1
Eita, tá estranho essas retas ai, como é isso??
Galera, reparem que o que temos são pontos! Então é só calcular a distância entre eles!
Passo 2
Os pontos são e
A fórmula para distância entre pontos é:
Como não temos coordenada , nossa fórmula fica:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 195-4.
Calcular a distância entre as retas e
Passo 1
Primeiramente precisamos saber se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.
Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação
Vamos ver se isso é verdade!
Considerando e , temos:
Abrindo isso, temos:
Olhando para primeira equação já vemos um problema, pois obtemos uma indeterminação . Com isso nossas retas não são paralelas.
Logo, as retas são reversas!!
Passo 2
Bem, agora precisamos pegar um ponto de cada reta!!
Vou passar a equação da reta para paramétrica para ficar mais fácil de visualizar
Com isso, um ponto da reta é:
Para a reta , um ponto é:
Com isso, conseguimos calcular o vetor
Passo 3
Agora que já possuímos os três vetores que geram o paralelepípedo, vamos relembrar a fórmula:
Calculando os termos,
Logo,
UHULESSSS 😊
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Calcular a distância entre as retas e
Passo 1
Vamos ver se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.
Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação
Vamos ver se isso é verdade!
Considerando e , temos:
Abrindo isso, temos:
Como os valores de não são todos iguais as retas são reversas!!
Passo 2
Vamos resolver esse exercício usando a primeira opção de resolução para você ver que dá certo também!
Primeiro, escrevemos um ponto genérico para cada reta:
Para reta
Para reta
Bem, agora podemos calcular o vetor
Passo 3
Vamos fazer os produtos internos!
e
Montando um sisteminha para achar e :
De tiramos que . Substituindo em :
Igualando os denominadores
Logo, .
Com isso podemos achar e !
Passo 4
Por fim, calculamos
Substituindo os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 201-5a.
Calcular a distância entre as retas e
Passo 1
Vamos ver se as nossas retas são paralelas distintas ou reversas.
Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação
Para achar um vetor diretor para , podemos escolher dois pontos quaisquer de e subtraí-los
Fazendo o mesmo para , obtemos
Agora vamos checar se as retas são paralelas ou não:
Abrindo isso, temos:
Olhando para segunda equação já vemos um problema, pois obtemos uma indeterminação , além disso nenhum valor de bate!
Logo, as retas são reversas!!
Passo 2
Bem, agora precisamos pegar um ponto de cada reta!!
Um ponto da reta é:
Para a reta , um ponto é:
Com isso, conseguimos calcular o vetor
Passo 3
Agora já possuímos os três vetores que geram o paralelepípedo!
Relembrando a fórmula:
Calculando os termos,
Logo,
UHULESSSS 😊
Resposta
Exercício Resolvido #6
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 202-5b.
Calcular a distância entre as retas que passa pelos pontos e e que passa pelos pontos e
Passo 1
Bem, com essas informações conseguimos achar os vetores diretores de cada reta!
Para reta
Para reta :
Com isso, vamos ver se as retas são paralelas distintas ou reversas.
Já sabemos que duas retas são paralelas se seus vetores diretores obedecem a relação
Substituindo os valores,
Abrindo isso, temos:
Mais uma vez obtemos uma indeterminação na segunda equação. Com isso nossas retas não são paralelas.
Logo, as retas são reversas!!
Passo 2
Agora precisamos pegar um ponto de cada reta! Isso o enunciado já nos deu!
Com isso, um ponto da reta é:
Para a reta , um ponto é:
Agora basta calcular o vetor
Passo 3
Agora que já possuímos os três vetores que geram o paralelepípedo, vamos relembrar a fórmula:
Calculando os termos,
Logo,
UHULESSSS 😊
Resposta
Exercício Resolvido #7
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 202-5d.
Calcular a distância entre as retas e o eixo dos .
Passo 1
Bem, um vetor diretor para o eixo pode ser
O vetor diretor de é
De cara vemos que essas retas não são paralelas, pois não é múltiplo de .
Com isso, as retas são reversas!
Passo 2
Agora precisamos pegar um ponto de cada reta!!
Um ponto da reta é:
Para o eixo , um ponto é:
Com isso, conseguimos calcular o vetor