Posição relativa entre planos
Teoria
Fala aí! Você está no Responde Aí! E agora vamos entender tudo sobre posição relativa entre planos.
A gente já viu como lidar com posição relativa entre retas e com a posição relativa entre reta e plano (caso não tenha visto, é só clicar nos links). Então a última parte do assunto é estudar a posição relativa entre planos.
Tipos de posição relativa entre planos
Quando tratamos de dois planos há três tipos de posições relativas possíveis:
- Paralelos distintos: os planos nunca se tocam!
- Paralelos coincidentes (iguais): Um plano está perfeitamente em cima do outro. Na prática, são equações diferentes para representar um mesmo plano.
- Transversais: Os planos estão se cruzando!
Como determinar a posição relativa entre os planos?
Vamos imaginar dois planos
Para determinar a posição relativa entre dois planos precisamos comparar os coeficientes
- Os planos são paralelos coincidentes quando os quatro coeficientes são proporcionais entre si:
- Os planos são paralelos distintos quando os coeficientes
, e são proporcionais entre si e o coeficiente não é
- Planos são transversais quando pelo menos um dos coeficiente
, e não é proporcional
Exemplo
Vamos ver um exemplo. Qual é a posição relativa entre os planos
Primeiro, vamos separar as posições do plano
Para que eles sejam paralelos deve a equação abaixo deve ser verdade:
Abrindo essa equação vamos ter:
E agora a gente analisa. Observe que os coeficientes
Planos perpendiculares.
Um caso especial é quando dois planos formam
Para analisar se a posição relativa entre planos é perpendicular devemos olhar para o vetor normal de cada plano.
Dois planos são perpendiculares se o produto interno entre os vetores normais dos planos for ZERO.
Pra não ficar perdido, da uma olhada nesse super resumo:
Resumo:
Tipos de Posição Relativa de Planos
⇒ Paralelos distintos, Paralelos coincidentes, Transversais
⇒ Dado os planos:
- Se
→ Paralelos coincidentes - Se
→ Paralelos distintos - Se
→ Transversais
E da uma olhada nesse super vídeo também!
Gostou?! Então continua que aqui em baixa tem um monte de exercícios pra você praticar 👇
Como determinar a posição relativa entre os planos?
Planos perpendiculares.
Resumo:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 185-1.
Estude a posição relativa de
-
π 1 : X = 1 , 1 , 1 + λ 0 , 1 , 1 + µ - 1 , 2 , 1 π 2 : X = 1 , 0 , 0 + λ 1 , - 1 , 0 + µ - 1 , - 1 , - 2 -
π 1 : 2 x - y + 2 z - 1 = 0 π 2 : 4 x - 2 y + 4 z = 0
Passo 1
Bora estudar a posição relativa entre planos?!! Vamos nessa, então!!
O enunciado nos dá a equação vetorial dos planos. Mas, aprendemos a ver a posição relativa entre os planos por meio dos coeficientes da equação geral. Então, primeiro teremos que achar a equação geral de cada plano, para depois compararmos os coeficientes.
Passo 2
Montando e resolvendo o produto misto para achar a equação geral de cada plano temos:
Para
Para
Agora, que temos todos os coeficientes podemos comparar os planos:
Se
Portanto, os planos são paralelos coincidentes.
Passo 3
O enunciado já nos dá a equação geral dos planos. Ufa!!! Menos contas!!
Temos que:
Bora comparar os coeficientes!!
Comparando percebemos que:
Já os coeficientes
Passo 4
Esse item é uma mistura entre os itens
Montando e resolvendo o produto misto, temos:
Já que temos todos os coeficientes, basta compararmos:
Comparando os coeficientes visualmente não conseguimos encontrar nenhuma proporcionalidade comum. Assim, os planos são transversais.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 183-35.
Determinar
sejam paralelos.
Passo 1
O problema pede para calcularmos os valores de
Dados:
Passo 2
O enunciado nos pede para que os planos sejam paralelos. Não fala nada em serem paralelos distintos ou iguais. Então, pela teoria, sabemos que para serem paralelos pelo menos os 3 primeiros coeficientes devem ser proporcionais.
Substituindo as variáveis que temos:
Igualando coordenada a coordenada, temos:
Substituindo
Para os planos serem paralelos
Resposta
Exercício Resolvido #3
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 183-36.
Determinar
sejam perpendiculares.
Passo 1
Temos como dados a equação geral de cada um dos planos. Mas, devemos determinar
Mas, quem são
Passo 2
Retirando os dados, temos:
Para que os planos sejam perpendiculares devemos forçar que:
Substituindo os valores:
Resolvendo, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 175.
Diga qual é a posição relativa entre planos:
Caso eles forem transversais, determine a equação da reta formada por eles.
Passo 1
Uhh, quando começa com esse “Caso sejam transversais...” já sabemos que tem
Para os planos serem transversais, nenhum dos coeficientes pode ser proporcional. Vamos ver se isso “ser” verdade.
Precisamos que
Montando um sisteminha maneiro, obtemos:
Como NENHUM dos
Passo 2
Pô, mas além de pedir a posição relativa o moço também pediu a equação da reta formada pelos planos!
Calma, galera! É mais fácil do que parece, haha!
Pensa comigo, se dois planos são transversais, eles se cruzam (obviamente, hehe). Quando eles se cruzam forma-se uma reta comum aos dois planos! Ou seja, essa reta contém os únicos pontos em comum entre
Se liga nessa figura!
Sacou??
Então, se a gente fizer um sistema com as equações dos planos, vamos achar os pontos em comum entre eles, ou seja, os pontos da reta!
De
De
Substituindo
Logo,
Com isso, nossa reta será formada pelos pontos que satisfazem as relações:
Para escrevermos uma equação paramétrica para a reta precisamos de um vetor diretor e de um ponto da reta. Para isso, vamos pegar dois pontos quaisquer dessa reta e calcular o vetor diretor!
Agora só falta um ponto! Vou usar
Logo, uma equação paramétrica de
FIM 😉
Resposta
Exercício Resolvido #5
Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 185-2.
Estude a posição relativa dos planos:
Passo 1
O enunciado já deu para gente todos os coeficientes, então podemos comparar os planos:
Vamos ver se:
Abrindo isso,
Como somente os três primeiros coeficientes são proporcionais,
Resposta
os planos são paralelos distintos!
Exercício Resolvido #6
Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 184-1.
Estude a posição relativa dos planos:
Passo 1
Já sabemos que vamos precisar passar a equação dos plano para forma geral, mas antes disso, vamos retirar os dados:
Montando e resolvendo o produto misto para achar a equação geral de cada plano temos:
Para
Para
Agora, que temos todos os coeficientes podemos comparar os planos:
Se
Abrindo isso,
Como nenhum dos coeficientes são proporcionais, os planos são transversais!
Resposta
os planos são transversais!
Exercício Resolvido #7
Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 185-2.
Calcule
Sejam paralelos distintos.
Passo 1
Primeiro precisamos passar a equação do primeiro plano para a forma geral. Do enunciado, temos:
Montando o produto misto,
Vamos guardar isso aí!
Passo 2
Para os planos serem paralelos distintos,
Colocando na formulinha de paralelos distintos:
Abrindo isso,
Como todos os “
Resolvendo por Báskara,
Resposta
Exercício Resolvido #8
Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 186-3.
Mostre que os planos:
São transversais, para todo
Passo 1
Primeiro precisamos passar a equação dos planos para a forma geral. Do enunciado, temos:
Para
Montando o produto misto,
Para