Posição entre Planos

Teoria Completa

Para fechar todos os tipos de posições relativas só falta posição relativa entre planos!!

Então bora começar que essa teoria é chuchu no mel!

Para planos também possuímos 3 possibilidades de posição relativa:

  • Paralelos distintos
  • Paralelos coincidentes (iguais)
  • Transversais
  • Podemos analisar a posição relativa de dois planos π 1 e π 2 por meio dos coeficientes da equação geral dos planos. Se tivermos:

      π 1 :   a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0               e               π 2 :   a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0              

  • Se   (   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = α ( a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 ) então os planos são paralelos coincidentes.
  • Se a 1 ,   b 1 , c 1 = α a 2 ,   b 2 , c 2 , mas d 1 ≠ α d 2 , então serão paralelos distintos.
  • Se nenhum dos coeficientes for proporcional, então são transversais.

Vamos ver um exemplo!

Considere os planos π 1 : 3 x + 2 y - z + 1 = 0 e π 2 : x + 2 3 y - 1 3 z + 2 3 = 0 . Qual é a posição relativa entre eles??

Primeiro vamos separar os coeficientes de cada plano:

π 1 : 3 ,   2 ,   - 1 ,   1

π 2 : 1 , 2 3 ,   - 1 3 , 2 3

Agora, vamos ver se eles são múltiplos entre si!

3 ,   2 ,   - 1 ,   1 =   α 1 , 2 3 ,   - 1 3 , 2 3

Abrindo, ficamos com:

3 = 1 α →   α = 3 2 = 2 3 α →   α = 3 - 1 = - 1 3 α →   α = 3 1 = 2 3 α →   α = 3 2

Como só o α referente aos coeficientes d dos planos não bateu, ficamos com a seguinte situação: a 1 ,   b 1 , c 1 = α a 2 ,   b 2 , c 2 , mas d 1 ≠ α d 2

Logo, nossos planos são PARALELOS DISTINTOS!! UHULLL

Observação: Dois planos, além de transversais, também podem ser perpendiculares.

Dois planos são perpendiculares se o produto interno entre os vetores normais dos planos for ZERO.

n 1 → ∙ n 2 → = 0

Por fim, um RESUMÃO

E a teoria fica por aqui! Partiu exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 185-1.

Estude a posição relativa de π 1 e π 2 nos seguintes casos:

  1. π 1 : X = 1 ,   1 ,   1 + λ 0 ,   1 ,   1 + µ - 1 ,   2 ,   1

      π 2 : X = 1 ,   0 ,   0 + λ 1 ,   - 1 ,   0 + µ - 1 ,   - 1 ,   - 2

  2. π 1 : 2 x - y + 2 z - 1 = 0

    π 2 : 4 x - 2 y + 4 z = 0

π 1 : x - y + 2 z - 2 = 0

π 2 : X = 0 ,   0 ,   1 + λ 1 ,   0 ,   3 + µ - 1 ,   1 ,   1

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Passo 1

Bora estudar a posição relativa entre planos?!! Vamos nessa, então!!

O enunciado nos dá a equação vetorial dos planos. Mas, aprendemos a ver a posição relativa entre os planos por meio dos coeficientes da equação geral. Então, primeiro teremos que achar a equação geral de cada plano, para depois compararmos os coeficientes.

Passo 2

a Antes de achar as equações gerais dos planos, vamos retirar os dados:

π 1 : A = ( 1 ,   1 ,   1 ) v → = ( 0 ,   1 ,   1 ) u → = ( - 1 ,   2 ,   1 )           e                   π 2 : B = ( 1 ,   0 ,   0 ) r → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) s → = ( - 1 ,   - 1 ,   - 2 )

Montando e resolvendo o produto misto para achar a equação geral de cada plano temos:

Para   π 1 :

- x - y + z + 1 = 0

x + y - z - 1 = 0

Para   π 2 :

2 x + 2 y - 2 z - 2 = 0

Agora, que temos todos os coeficientes podemos comparar os planos:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 2 ,   2 ,   - 2 ,   - 2 )

Se   (   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = α ( a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 ) então os planos são paralelos coincidentes. E, pelos coeficientes que temos:

1 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 = 1 2 ( 2 ,   2 ,   - 2 ,   - 2 )

Portanto, os planos são paralelos coincidentes.

Passo 3

b

π 1 : 2 x - y + 2 z - 1 = 0

π 2 : 4 x - 2 y + 4 z = 0

O enunciado já nos dá a equação geral dos planos. Ufa!!! Menos contas!!

Temos que:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 = ( 2 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 4 ,   - 2 ,   4 ,   0 )

Bora comparar os coeficientes!!

Comparando percebemos que:

a 1 ,   b 1 , c 1 = 1 2 ( a 2 ,   b 2 , c 2 )

2 ,   - 1 ,   2 = 1 2 ( 4 ,   - 2 ,   4 )

Já os coeficientes d 1 e d 2 não são proporcionais. Assim, os planos são paralelos distintos.

Passo 4

c

π 1 : x - y + 2 z - 2 = 0

π 2 : X = 0 ,   0 ,   1 + λ 1 ,   0 ,   3 + µ - 1 ,   1 ,   1

Esse item é uma mistura entre os itens a e b . Pois, do plano π 1 foi nos dada a equação geral, já do plano     π 2 temos a equação vetorial. Assim, antes de fazermos qualquer análise teremos que encontrar primeiro a equação geral do plano     π 2 .

Montando e resolvendo o produto misto, temos:

A = 0,0 , 1 ,   v → = 1 ,   0 ,   3 ,   u → = - 1 ,   1 ,   1

- 3 x - 4 y + z - 1 = 0

3 x + 4 y - z + 1 = 0

Já que temos todos os coeficientes, basta compararmos:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 = ( 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 3 ,   + 4 ,   - 1 ,   1 )

Comparando os coeficientes visualmente não conseguimos encontrar nenhuma proporcionalidade comum. Assim, os planos são transversais.

Resposta

a )   P a r a l e l o s   C o i n c i d e n t e s

b )   P a r a l e l o s   D i s t i n t o s

c )   T r a n s v e r s a i s

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 183-35.

Determinar a e b , de modo que os planos

π 1 : a x + b y + 4 z - 1 = 0     e     π 2 : 3 x - 5 y - 2 z + 5 = 0

sejam paralelos.

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Passo 1

O problema pede para calcularmos os valores de a e b para que os planos π 1 e π 2 sejam paralelos.

Dados:

π 1 :   (   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = ( a ,   b ,   4 ,   - 1 )

π 2 : a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 3 ,   - 5 ,   - 2 ,   5 )

Passo 2

O enunciado nos pede para que os planos sejam paralelos. Não fala nada em serem paralelos distintos ou iguais. Então, pela teoria, sabemos que para serem paralelos pelo menos os 3 primeiros coeficientes devem ser proporcionais.

(   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = α ( a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 )

Substituindo as variáveis que temos:

a ,   b ,   4 ,   - 1 = α 3 ,   - 5 ,   - 2 ,   5

Igualando coordenada a coordenada, temos:

x → a = 3 α       ( 1 )

y → b = - 5 α           ( 2 )

z → 4 = - 2 α → α = - 2           ( 3 )

- 1 = α 5           ( 4 )

Substituindo α = - 2 nas expressões 1 ,   2 e 4 , obteremos:

a = - 6