Posição entre Planos

Teoria Completa

Para fechar todos os tipos de posições relativas só falta posição relativa entre planos!!

Então bora começar que essa teoria é chuchu no mel!

Para planos também possuímos 3 possibilidades de posição relativa:

  • Paralelos distintos
  • Paralelos coincidentes (iguais)
  • Transversais
  • Podemos analisar a posição relativa de dois planos π 1 e π 2 por meio dos coeficientes da equação geral dos planos. Se tivermos:

      π 1 :   a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0               e               π 2 :   a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0              

  • Se   (   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = α ( a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 ) então os planos são paralelos coincidentes.
  • Se a 1 ,   b 1 , c 1 = α a 2 ,   b 2 , c 2 , mas d 1 ≠ α d 2 , então serão planos paralelos distintos.
  • Se qualquer um dos outros coeficientes a ,   b , c   não for proporcional, então são planos transversais.

Vamos ver um exemplo!

Considere os planos π 1 : 3 x + 2 y - z + 1 = 0 e π 2 : x + 2 3 y - 1 3 z + 2 3 = 0 . Qual é a posição relativa entre eles??

Primeiro vamos separar os coeficientes de cada plano:

π 1 : 3 ,   2 ,   - 1 ,   1

π 2 : 1 , 2 3 ,   - 1 3 , 2 3

Agora, vamos ver se eles são múltiplos entre si!

3 ,   2 ,   - 1 ,   1 =   α 1 , 2 3 ,   - 1 3 , 2 3

Abrindo, ficamos com:

Como só o α referente aos coeficientes d dos planos não bateu, ficamos com a seguinte situação: a 1 ,   b 1 , c 1 = α a 2 ,   b 2 , c 2 , mas d 1 ≠ α d 2

Logo, nossos planos são PARALELOS DISTINTOS!! UHULLL

OK, e se os planos fosse os seguintes:

π 1 : 3 x + 2 y - 1 3 z + 1 = 0 e π 2 : x + 2 3 y - 1 3 z + 2 3 = 0

A única diferença do exemplo anterior foi o coeficiente que acompanha o z no plano π 1 . Calculando o α   teremos:

3 = 1 α →   α = 3 2 = 2 3 α →   α = 3 1 3 = - 1 3 α →   α = - 1 1 = 2 3 α →   α = 3 2

Teríamos: a 1 ,   b 1 = α a 2 ,   b 2 , mas   c 1 ≠ α c 2 e d 1 ≠ α d 2 Como mais de dois coeficientes não são proporcionais então são planos transversais!

Plano Perpendiculares

Dois planos, além de transversais, também podem ser perpendiculares.

Para descobrimos isso vamos analisar os vetores normais de cada plano. Observe os vetores normais dos planos π 1 e π 2 :

Nesse caso π 1 e π 2   são planos perpendiculares, e se observarmos a imagem, seus vetores normais n 1 →   e   n 2 → também serão perpendiculares.

Lembra que se dois vetores são perpendiculares seu produto interno é nulo? Podemos aplicar isso para descobrir se dois planos são ou não perpendiculares!

Dois planos são perpendiculares se o produto interno entre os vetores normais dos planos for ZERO.

n 1 → ∙ n 2 → = 0

Por fim, um RESUMÃO

E a teoria fica por aqui! Partiu exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 185-1.

Estude a posição relativa de π 1 e π 2 nos seguintes casos:

  1. π 1 : X = 1 ,   1 ,   1 + λ 0 ,   1 ,   1 + µ - 1 ,   2 ,   1

      π 2 : X = 1 ,   0 ,   0 + λ 1 ,   - 1 ,   0 + µ - 1 ,   - 1 ,   - 2

  2. π 1 : 2 x - y + 2 z - 1 = 0

    π 2 : 4 x - 2 y + 4 z = 0

π 1 : x - y + 2 z - 2 = 0

π 2 : X = 0 ,   0 ,   1 + λ 1 ,   0 ,   3 + µ - 1 ,   1 ,   1

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Passo 1

Bora estudar a posição relativa entre planos?!! Vamos nessa, então!!

O enunciado nos dá a equação vetorial dos planos. Mas, aprendemos a ver a posição relativa entre os planos por meio dos coeficientes da equação geral. Então, primeiro teremos que achar a equação geral de cada plano, para depois compararmos os coeficientes.

Passo 2

a Antes de achar as equações gerais dos planos, vamos retirar os dados:

π 1 : A = ( 1 ,   1 ,   1 ) v → = ( 0 ,   1 ,   1 ) u → = ( - 1 ,   2 ,   1 )           e                   π 2 : B = ( 1 ,   0 ,   0 ) r → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) s → = ( - 1 ,   - 1 ,   - 2 )

Montando e resolvendo o produto misto para achar a equação geral de cada plano temos:

Para   π 1 :

- x - y + z + 1 = 0

x + y - z - 1 = 0

Para   π 2 :

2 x + 2 y - 2 z - 2 = 0

Agora, que temos todos os coeficientes podemos comparar os planos:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 = ( 1 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 2 ,   2 ,   - 2 ,   - 2 )

Se   (   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = α ( a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 ) então os planos são paralelos coincidentes. E, pelos coeficientes que temos:

1 ,   1 ,   - 1 ,   - 1 = 1 2 ( 2 ,   2 ,   - 2 ,   - 2 )

Portanto, os planos são paralelos coincidentes.

Passo 3

b

π 1 : 2 x - y + 2 z - 1 = 0

π 2 : 4 x - 2 y + 4 z = 0

O enunciado já nos dá a equação geral dos planos. Ufa!!! Menos contas!!

Temos que:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 = ( 2 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 4 ,   - 2 ,   4 ,   0 )

Bora comparar os coeficientes!!

Comparando percebemos que:

a 1 ,   b 1 , c 1 = 1 2 ( a 2 ,   b 2 , c 2 )

2 ,   - 1 ,   2 = 1 2 ( 4 ,   - 2 ,   4 )

Já os coeficientes d 1 e d 2 não são proporcionais. Assim, os planos são paralelos distintos.

Passo 4

c

π 1 : x - y + 2 z - 2 = 0

π 2 : X = 0 ,   0 ,   1 + λ 1 ,   0 ,   3 + µ - 1 ,   1 ,   1

Esse item é uma mistura entre os itens a e b . Pois, do plano π 1 foi nos dada a equação geral, já do plano     π 2 temos a equação vetorial. Assim, antes de fazermos qualquer análise teremos que encontrar primeiro a equação geral do plano     π 2 .

Montando e resolvendo o produto misto, temos:

A = 0,0 , 1 ,   v → = 1 ,   0 ,   3 ,   u → = - 1 ,   1 ,   1

- 3 x - 4 y + z - 1 = 0

3 x + 4 y - z + 1 = 0

Já que temos todos os coeficientes, basta compararmos:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 = ( 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 3 ,   + 4 ,   - 1 ,   1 )

Comparando os coeficientes visualmente não conseguimos encontrar nenhuma proporcionalidade comum. Assim, os planos são transversais.

Resposta

a )   P a r a l e l o s   C o i n c i d e n t e s

b )   P a r a l e l o s   D i s t i n t o s

c )   T r a n s v e r s a i s

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 183-35.

Determinar a e b , de modo que os planos

π 1 : a x + b y + 4 z - 1 = 0     e     π 2 : 3 x - 5 y - 2 z + 5 = 0

sejam paralelos.

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Passo 1

O problema pede para calcularmos os valores de a e b para que os planos π 1 e π 2 sejam paralelos.

Dados:

π 1 :   (   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = ( a ,   b ,   4 ,   - 1 )

π 2 : a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 3 ,   - 5 ,   - 2 ,   5 )

Passo 2

O enunciado nos pede para que os planos sejam paralelos. Não fala nada em serem paralelos distintos ou iguais. Então, pela teoria, sabemos que para serem paralelos pelo menos os 3 primeiros coeficientes devem ser proporcionais.

(   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = α ( a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 )

Substituindo as variáveis que temos:

a ,   b ,   4 ,   - 1 = α 3 ,   - 5 ,   - 2 ,   5

Igualando coordenada a coordenada, temos:

x → a = 3 α       ( 1 )

y → b = - 5 α           ( 2 )

z → 4 = - 2 α → α = - 2           ( 3 )

- 1 = α 5           ( 4 )

Substituindo α = - 2 nas expressões 1 ,   2 e 4 , obteremos:

a = - 6

b = 10

- 1 ≠ - 10

Para os planos serem paralelos a = - 6 e b = 10 , mas como - 1 ≠ - 10 sabemos que eles serão paralelos distintos.  

Resposta

a = - 6             e               b = 10

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 183-36.

Determinar m de modo que os planos

π 1 : 2 m x + 2 y - z = 0       e     π 2 : 3 x - m y + 2 z - 1 = 0

sejam perpendiculares.

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Passo 1

Temos como dados a equação geral de cada um dos planos. Mas, devemos determinar m de modo que os planos π 1 e π 2 sejam perpendiculares. Para isso, vimos na teoria que:

n 1 → ∙ n 2 → = 0

Mas, quem são n 1 → e n 2 → ? São os vetores normais aos planos. Que conseguimos retirar suas coordenadas das equações gerais dos planos.

Passo 2

Retirando os dados, temos:

n 1 → = ( 2 m ,   2 ,   - 1 )

n 2 → = ( 3 ,   - m ,   2 )

Para que os planos sejam perpendiculares devemos forçar que:

n 1 → ∙ n 2 → = 0

Substituindo os valores:

2 m ,   2 ,   - 1 ∙ 3 ,   - m ,   2 = 0

Resolvendo, temos:

6 m - 2 m - 2 = 0 → m = 1 2

Resposta

m = 1 2

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 175.

Diga qual é a posição relativa entre planos:

π 1 : 5 x - 2 y + z + 7 = 0 ��   e     π 2 : 3 x - 3 y + z + 4 = 0

Caso eles forem transversais, determine a equação da reta formada por eles.

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Passo 1

Uhh, quando começa com esse “Caso sejam transversais...” já sabemos que tem 99,99 % de chance dos planos serem transversais! Mas, como bons alunos de Geometria Analítica e Álgebra Linear, vamos provar isso!

Para os planos serem transversais, nenhum dos coeficientes pode ser proporcional. Vamos ver se isso “ser” verdade.

π 1 : 5 ,   - 2 ,   1 ,   7

π 2 : ( 3 ,   - 3 ,   1 ,   4 )

Precisamos que ( 5 ,   - 2 ,   1 ,   7 ) ≠ α ( 3 ,   - 3 ,   1 ,   4 )

Montando um sisteminha maneiro, obtemos:

5 = 3 α →   α = 5 3 - 2 = - 3 α →   α = 2 3 1 = 1 α →   α = 1 7 = 4 α →   α = 7 4

Como NENHUM dos α bate, nossos planos são de fato transversais.

Passo 2

Pô, mas além de pedir a posição relativa o moço também pediu a equação da reta formada pelos planos!

Calma, galera! É mais fácil do que parece, haha!

Pensa comigo, se dois planos são transversais, eles se cruzam (obviamente, hehe). Quando eles se cruzam forma-se uma reta comum aos dois planos! Ou seja, essa reta contém os únicos pontos em comum entre π 1 e π 2 !

Se liga nessa figura!

Sacou??

Então, se a gente fizer um sistema com as equações dos planos, vamos achar os pontos em comum entre eles, ou seja, os pontos da reta!

5 x - 2 y + z = - 7     I 3 x - 3 y + z = - 4     I I

De ( I ) tiramos que:

y = 5 x + z + 7 2     ( i )

De I I , temos:

z = - 4 - 3 x + 3 y     ( i i )

Substituindo i i em ( i ) :

2 y = 5 x - 4 - 3 x + 3 y + 7

y = - 2 x - 3

Logo,

z = - 4 - 3 x + 3 - 2 x - 3

z = - 9 x - 13

Com isso, nossa reta será formada pelos pontos que satisfazem as relações:

y = - 2 x - 3 z = - 9 x - 13

Para escrevermos uma equação paramétrica para a reta precisamos de um vetor diretor e de um ponto da reta. Para isso, vamos pegar dois pontos quaisquer dessa reta e calcular o vetor diretor!

r → = 1 ,   - 5 , -   22 - 0 ,   - 3 ,   - 13 = ( 1 ,   - 2 ,   - 9 )

Agora só falta um ponto! Vou usar A = ( 0 ,   - 3 ,   - 13 ) .

Logo, uma equação paramétrica de r é:

r : x = t y = - 3 - 2 t z = - 13 - 9 t

FIM 😉

Resposta

r : x = t y = - 3 - 2 t z = - 13 - 9 t

Exercício Resolvido #5

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 185-2.

Estude a posição relativa dos planos:

π 1 : 2 x - y + z - 1 = 0

  π 2 : x - 1 2 y + 1 2 z - 9 = 0

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Passo 1

O enunciado já deu para gente todos os coeficientes, então podemos comparar os planos:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 = ( 2 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = 1 , - 1 2 , 1 2 ,   - 9

Vamos ver se:

2 ,   - 1 ,   1 ,   - 1 = α 1 ,   - 1 2 , 1 2 ,   - 9

Abrindo isso,

2 = 1 α →   α = 2 - 1 = - 1 2 α →   α = 2 1 = 1 2 α →   α = 2 - 1 = - 9 α →   α = 1 9

Como somente os três primeiros coeficientes são proporcionais,   a 1 ,   b 1 , c 1 = α a 2 ,   b 2 , c 2 , os planos são paralelos distintos!

Resposta

os planos são paralelos distintos!

Exercício Resolvido #6

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 184-1.

Estude a posição relativa dos planos:

π 1 : X = 1 ,   0 ,   1 + λ 1 ,   1 ,   1 + µ 0 ,   1 ,   0

  π 2 : X = 0 ,   0 ,   0 + λ 1 ,   0 ,   1 + µ - 1 ,   0 ,   3

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Passo 1

Já sabemos que vamos precisar passar a equação dos plano para forma geral, mas antes disso, vamos retirar os dados:

π 1 : A = ( 1 ,   0 ,   1 ) v → = ( 1 ,   1 ,   1 ) u → = ( 0 ,   1 ,   0 )           e                   π 2 : B = ( 0 ,   0 ,   0 ) r → = ( 1 ,   0 ,   1 ) s → = ( - 1 ,   0 ,   3 )

Montando e resolvendo o produto misto para achar a equação geral de cada plano temos:

Para   π 1 :

A P → ,   v → ,   u → = x - 1 y z - 1 1 1 1 0 1 0 = z - 1 - x - 1 = 0

π 1 : - x + z = 0

Para   π 2 :

B P → ,   r → ,   s → = x y z 1 0 1 - 1 0 3 = - y - 3 y = 0

π 2 :   y = 0

Agora, que temos todos os coeficientes podemos comparar os planos:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 = ( - 1 ,   0 ,   1 ,   0 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 0 ,   1 ,   0 ,   0 )

Se   (   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = α ( a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 ) então os planos são paralelos coincidentes. Pelos coeficientes que temos:

- 1 ,   0 ,   1 ,   0 = α ( 0 ,   1 ,   0 ,   0 )

Abrindo isso,

- 1 = 0 α 0 = 1 α 1 = 0 α 0 = 0 α

Como nenhum dos coeficientes são proporcionais, os planos são transversais!

Resposta

os planos são transversais!

Exercício Resolvido #7

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 185-2.

Calcule m para que os planos:

π 1 : X = 1 ,   1 ,   0 + λ m ,   1 ,   1 + μ ( 1 ,   1 ,   m )

  π 2 : 2 x + 3 y + 2 z + 1 = 0

Sejam paralelos distintos.

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Passo 1

Primeiro precisamos passar a equação do primeiro plano para a forma geral. Do enunciado, temos:

A = 1 ,   1 ,   0

u → = m ,   1 ,   1

v → = ( 1 ,   1 ,   m )

Montando o produto misto,

A P → ,   u → ,   v → = x - 1 y - 1 z m 1 1 1 1 m

m x - m + z m + y - 1 - y m 2 - m 2 + x - 1 + z = 0

x m - 1 + y 1 - m 2 + z m - 1 + m 2 - m = 0

Vamos guardar isso aí!

Passo 2

Para os planos serem paralelos distintos,   a 1 ,   b 1 , c 1 = α a 2 ,   b 2 , c 2 . Do enunciado e do passo 1, tiramos:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 = ( m - 1 ,   1 - m 2 ,   m - 1 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 = 2 ,   3 ,   2

Colocando na formulinha de paralelos distintos:

( m - 1 ,   1 - m 2 ,   m - 1 ) = α 2 ,   3 ,   2

Abrindo isso,

m - 1 = 2 α →   α = m - 1 2 1 - m 2 = 3 α →   α = 1 - m 2 3 m - 1 = 2 α →   α = m - 1 2

Como todos os “ α ' s ” precisam ser iguais, podemos igualar as equações!

m - 1 2 = 1 - m 2 3

3 m - 3 = 2 - 2 m 2

2 m 2 + 3 m - 5 = 0

Resolvendo por Báskara,

m = - 3 ± 3 2 - 4.2 . - 5 2.2

m = - 3 ± 7 4

m = 1   o u   m = - 5 2

Resposta

m = 1   o u   m = - 5 2