Posição Relativa de Reta e Plano

Teoria Completa

Já sei posições relativas entre retas e entre reta e plano, quais as posições relativas possíveis??

É isso que veremos agora!!

Há 3 possibilidades entre uma reta r e um plano π .

  • r estar contida em π .
  • r e   π serem paralelos
  • r e π serem transversais
  • Para estudar a posição relativa entre reta e plano temos 2 meios: um quando tivermos a equação geral do plano e a outra quando tivermos 2 vetores paralelos ao plano.

    Quando tivermos a equação geral do plano a x + b y + c z + d = 0 e o vetor diretor da reta r :   r → = ( e , f ,   g ) , podemos estudar a posição relativa da seguinte forma:

  • Se a e + b f + c g ≠ 0 , r e π são transversais
  • Se a e + b f + c g = 0 , r e π não são transversais. Para verificar se r está contida em π ou é paralela a π , basta escolher um ponto A de r e verificar se ele pertence a π . Se pertencer é porque r está contida no plano π , se não é paralela.
  • Já se tivermos dois vetores paralelos ao plano π   ( u → ,   v → ) e o vetor r → da reta r , podemos fazer da seguinte forma:

  • Se o produto misto entre ( u → ,   v → ,   r → ) ≠ 0 então r e   π são transversais.
  • Se o produto misto entre u → ,   v → ,   r → = 0 não são transversais. Para saber se são paralelos ou contida basta verificar se m ponto da reta r pertence ao plano π .

Importante: Os vetores paralelos ao plano não podem ser paralelos entre si, ou seja, v → ≠ α u → .

Vamos dar uma olhada em uns exemplos!

Qual é a posição relativa entre o plano π : 2 x - y + 3 z + 1 = 0 e a reta r : x = 2 - t y = 1 + t z = 2 + t

Bem, da equação da reta tiramos que   r → = ( - 1 ,   1 ,   1 )   . Agora temos que substituir esse vetor na equação do plano sem o coeficiente d:

2 × - 1 - 1 × 1 + 3 × 1 = 0

Opa, deu zero! Então r e π não são transversais!

Vamos ver se um ponto da reta pertence ao plano substituindo esse ponto na equação do plano! Vou usar o ponto P = ( 2 ,   1 ,   2 ) e a equação do plano completa:

2 × 2 - 1 × 1 + 3 × 2 + 1 = 10 ≠ 0

Como o ponto P não satisfez a equação do plano, a reta r não está contida no plano! Então r só pode ser PARALELA ao plano!!!UHULLLL

Vamos fazer só mais um exemplinho para você ficar sacando tudo!

Qual é a posição relativa entre a reta r : x = 3 t y = 2 + t z = 1 - 2 t e o plano π , sabendo que   u → = ( - 1 ,   1 ,   1 ) e   v → = ( 0 ,   3 ,   1 ) são vetores paralelos a π .

Belezinha! Reparem que   u → e   v → não são paralelos entre si, então tá tudo certo!

Da equação de r , tiramos que   r → = ( 3 ,   1 ,   - 2 ) . Agora só precisamos fazer o produto misto ( u → ,   v → ,   r → ) !

- 1 1 1 0 3 1 3 1 - 2 = 1 ≠ 0

Com isso, descobrimos que r e π são TRANSVERSAIS!!! Showww de bolinhas!

Vamos só fazer uma pequena observação sobre um conceito importante que muita gente se confunde!

  1. Perpendicularidade e Ortogonalidade

Lembra quando falamos de perpendicularidade e ortogonalidade entre retas?

Duas retas são perpendiculares quando formam 90 ° entre si E são concorrentes. Já duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou reversas.

Então, para reta e plano não faz sentido falar em ortogonalidade, pois não tem como eles formarem 90 ° e não se tocarem. Assim, um plano e uma reta são perpendiculares se e somente se o vetor diretor da reta r , ou seja, r → for paralelo ao vetor normal ao plano π   ( n → ) :

r → = α n →

Por fim, um RESUMÃO!

Com isso, fechamos a nossa teoria!!

Agora é só fazer uns exercícios e ficar expert!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 178-1.

Dados o plano

π :     X = 1 ,   1 ,   3 + λ 1 ,   - 1 ,   1 + µ 0 ,   1 ,   3

e a reta

r : X = 1 ,   1 ,   1 + α 3 ,   2 ,   1

Estude a posição relativa de r   e π .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Até agora estávamos estudando a posição relativa entre retas!! Chegou a vez da posição relativa entre reta e plano! Para verificar a posição relativa entre a reta r e o plano π o enunciado nos dá a equação vetorial do plano e da reta. Com isso, conseguimos retirar os seguintes dados.

Dados:

r :   R = ( 1 ,   1 ,   1 ) r → = ( 3 ,   2 ,   1 )                       e                     π :   A = ( 1 ,   1 ,   3 ) v → = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) u → = ( 0 ,   1 ,   3 )

Passo 2

Pelos dados retirados das equações vetoriais tanto da reta como do plano, temos dois vetores paralelos ao plano. Assim, vamos utilizar a análise entre reta e plano que leva em consideração o produto misto entre o vetor diretor da reta e os vetores do plano.

Assim, primeiro vamos verificar quanto vale o produto misto entre eles. Ressaltando aqui que os vetores do plano não podem ser proporcionais entre si, mas só de olhar para v → e u → percebemos que eles não são proporcionais. Bora montar o produto misto!!

O produto misto deu diferente de ZERO, portanto a reta e o plano são TRANSVERSAIS.

Resposta

r   é   t r a n s v e r s a l   a   π

Exercício Resolvido #2

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 181-3.

Calcule m ,   n   ∈ R para que a reta r : X = n ,   2 ,   0 + λ ( 2 ,   m ,   m ) esteja contida no plano

π : x - 3 y + z = 1 .

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Passo 1

O enunciado nos fornece os seguintes dados:

r :   R = n ,   2 ,   0 r → = ( 2 ,   m ,   m )                     e                   π :   n → = ( 1 ,   - 3 ,   1 )

Com esses dados devemos determinar m e n para que a reta r esteja contida no plano   π .

Pela teoria sabemos que se uma reta está contida no plano, se   r → = ( e ,   f ,   g ) e n → = ( a ,   b ,   c ) , se:

a e + b f + c g = 0

Além disso, temos que qualquer ponto de r deve pertencer ao plano. Então, vamos usar essas duas informações para achar o valor de m e n .

Passo 2

Primeiro, temos que ter

a e + b f + c g = 0

Subtituindo r → = 2 ,   m ,   m = ( e ,   f ,   g ) e n → = 1 ,   - 3 ,   1 = ( a ,   b ,   c )

2 - 3 m + m = 0 → m = 1

Passo 3

Para achar o valor de n sabemos que como qualquer ponto de r pertence ao plano, então qualquer ponto deve satisfazer a equação geral do plano. Assim:

R = n ,   2 ,   0

x - 3 y + z = 1

Substituindo R :

n - 6 + 0 = 1 → n = 7

Chegamos nas duas respotas que queríamos, valor de m = 1 e n = 7 .

Resposta

m = 1         e           n = 7

Exercício Resolvido #3

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 181-4.

Calcule m para que a reta r : x - 1 m = y 2 = z m seja transversal ao plano π : x + m y + z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O problema pede para encontrarmos o valor de m para que a reta r seja transversal ao plano π . Para isso, o enunciado nos fornece as equações simétricas da reta e a equação geral do plano.

Dados: r :   R = ( 1 ,   0 ,   0 ) r → = m ,   2 ,   m = ( e ,   f ,   g )           e         π :   x + m y + z = 0 n → = 1 ,   m ,   1 = ( a ,   b , c )

Passo 2

Como agora temos a equação geral do plano, vamos fazer uma análise diferente de quando tínhamos dois vetores paralelos ao plano. Pois, pela teoria sabemos que se:

a e + b f + c g ≠ 0 → t r a n s v e r s a i s

Assim, substituindo teremos:

r → = m ,   2 ,   m = ( e ,   f ,   g )

n → = 1 ,   m ,   1 = ( a ,   b , c )

Substituindo os valores, teremos:

a e + b f + c g ≠ 0 → 1 . m + m . 2 + 1 . m ≠ 0 → 4 m ≠ 0

m ≠ 0

Portanto, para que r seja transversal a π , m ≠ 0

Resposta

m ≠ 0

Exercício Resolvido #4

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 201-1.

Verificar se r e π são perpendiculares, sendo

r : X = 0 ,   1 ,   0 + λ 1 ,   1 ,   3       λ ∈ R

π : X = 3 ,   4 ,   5 + λ 6 ,   7 ,   8 + µ 9 ,   10 ,   11     ( λ , µ   ∈ R )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos as equações vetoriais da reta r e do plano π .

Dados:

r :   R = ( 0 ,   1 ,   0 ) r → = ( 1 ,   1 ,   3 )               e               π : A = ( 3 ,   4 ,   5 ) v → = ( 6 ,   7 ,   8 ) u → = ( 9 ,   10 ,   11 )

Com esses dados devemos verificar se a reta e o plano são perpendiculares.

Mas, como faz isso ??? Na teoria só fala de perpendicularidade quando comparamos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano!!! Não tenho o vetor normal do plano!!

Calma!!! Para tudo tem um jeito, e vamos te ensinar como fazer!!!

Passo 2

Não temos o vetor normal ao plano, massss, nós temos dois vetores que são paralelos ao plano. Assim, se fizermos o produto vetorial desses dois vetores, encontraremos o vetor normal ao plano. Blz? Bora, fazer o produto vetorial então!!

80 i → + 66 j → + 63 k → - 60 k → - 77 i → - 72 j → = 3 i → - 6 j → + 3 k →

n → = ( 3 ,   - 6 ,   3 )

Passo 3

Agora sim, que temos o vetor normal do plano podemos usar nossa teoria para verificar se a reta e o plano são perpendiculares. Para isso devemos ver se:

r → = α n →

Vamos checar?

1 ,   1 ,   3 = α 3 ,   - 6 ,   3

x → 1 = 3 α →   α = 1 3

y → 1 = - 6 α →   α = - 1 6

z → 3 = 3 α →   α = 1

Como

1 3 ≠ - 1 6 ≠ 1

Portanto, a reta e o plano não são perpendiculares.

Resposta

N ã o   s ã o   p e r p e n c i d u l a r e s  

Exercício Resolvido #5

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 177-Modificado.

Dados o plano

π :     3 x + 5 y - 2 z - 9 = 0

e a reta

r : y = 2 x + 3 z = 3 x - 4

Estude a posição relativa de r   e π .

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Passo 1

Vamos começar passando a equação da reta para forma simétrica (fica mais fácil de achar o vetor diretor)!

Para isso, vamos isolar x nas equações:

r : y = 2 x + 3 → x = y - 3 2 z = 3 x - 4 → x = z + 4 3

Assim,

r : x = y - 3 2 = z + 4 3

E o vetor diretor da reta é   r → = ( 1 ,   2 ,   3 )

Passo 2

Agora, vamos substituir as coordenadas do vetor diretor da reta na equação do plano (sem o d ) e ver se dá zero ou não.

3.1 + 5.2 - 2.3

3 + 10 - 6 = 7 ≠ 0

Logo, r e π são transversais.

Resposta

r   é   t r a n s v e r s a l   a   π

Exercício Resolvido #6

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 174-13.

Verificar se a reta r : x - 2 3 = y + 1 - 2 = z - 1 é perpendicular ao plano π :     9 x - 6 y - 3 z + 5 = 0 .

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Passo 1

Opaa, como é que eu vejo se uma reta é perpendicular a um plano mesmo???

Se você tentasse resolver substituindo o vetor diretor da reta na equação do plano (sem o d ) e mostrando que isso não dá zero (reta e plano transversais), só estaria provando que a reta cruza o plano, mas o enunciado quer que a reta e o plano sejam perpendiculares (se cruzem e formem 90 ° entre si), e agora?

Vamos matutar. O plano tem um vetor normal que é perpendicular a ele (ao plano). Então, para reta ser perpendicular ao plano ela tem que ser paralela ao vetor normal!

É só a gente ver se o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano são paralelos!!

Passo 2

Para vermos se dois vetores são paralelos,

r → = α N →

Do enunciado tiramos que:

r → = ( 3 ,   - 2 ,   - 1 )

N → = ( 9 ,   - 6 ,   - 3 )

Substituindo na formulinha:

3 ,   - 2 ,   - 1 = α 9 ,   - 6 ,   - 3

Abrindo isso,

3 = 9 α →   α = 1 3 - 2 = - 6 α →   α = 1 3 - 1 = - 3 α →   α = 1 3

Como todos os valores de α são iguais,   r → é paralela a   N → e perpendicular ao plano!

Resposta

r → é paralela a   N → e perpendicular ao plano

Exercício Resolvido #7

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 174-14.

Determinar os valores de m e n para que a reta

r : x = 2 + t y = 1 + t z = - 3 - 2 t

Esteja contida no plano π :     m x + n y + 2 z - 1 = 0 .

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Passo 1

Bom, para uma reta estar contida em um plano, ao substituir as coordenadas do vetor diretor da reta na equação do plano (sem o d ), isso tem que dar zero.

O vetor diretor da reta é   r → = ( 1 ,   1 ,   - 2 )

Vamos equacionar isso:

m . 1 + n . 1 + 2 . - 2 = 0

m + n - 4 = 0

m + n = 4

Passo 2

Além disso, os pontos da reta precisam satisfazer a equação do plano também (já que a reta está “dentro” do plano). Um ponto de r é ( 2 ,   1 ,   - 3 ) .

Substituindo esse ponto na equação do plano,

m . 2 + n . 1 + 2 . - 3 - 1 = 0

2 m + n - 6 - 1 = 0

2 m + n = 7

Opaa, agora temos um sistema!

m + n = 4 2 m + n = 7

Passo 3

Vamos resolver esse “sistemoso” aí!

m + n = 4 2 m + n = 7

Da primeira equação tiramos que n = 4 - m

Substituindo isso na segunda (equação):

2 m + 4 - m = 7

m = 3

Logo, n = 1

Uhullll!!

Resposta

m = 3   e n = 1

Exercício Resolvido #8

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 174-14.

Determinar a equação geral do plano perpendicular a reta

r : x = 2 y - 3 z = - y + 1

E que contém o ponto A ( 1 ,   2 ,   3 ) .

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Passo 1

Vamos por partes! Vou começar passando a fórmula da reta para forma simétrica (para facilitar a visualização).

Vamos escrever as coordenadas em função de y :

r : x = 2 y - 3 → y = x + 3 2 z = - y + 1 → y = - z + 1

Assim,

r : x + 3 2 = y = z - 1 - 1

Passo 2

Beleza! Agora vamos dar uma “bizoiada” no enunciado. Lá, ele diz que a reta e o plano são perpendiculares e isso significa que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal ao plano! Ou seja, o vetor diretor da reta é o vetor normal ao plano!

Então, se pensarmos em uma equação geral genérica, seria

π : a x + b y + c z + d = 0

Como, o vetor diretor da reta é   r → = 2 ,   1 ,   - 1 = N →   . Substituindo na equação do plano,

π : 2 x + 1 y - 1 z + d = 0

E o d ????

Calma, pequeno gafanhoto! No enunciado ele também dá um ponto do plano!

Substituindo o ponto A ( 1 ,   2 ,   3 ) na equação do plano,

2.1 + 1.2 - 1.3 + d = 0

d = - 1

Assim,

π : 2 x + y - z - 1 = 0

Resposta

π : 2 x + y - z - 1 = 0

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