Posições Relativas de Retas

Teoria Completa

Introdução

Costumamos falar a Rua X é transversal a Rua Y, ou também a Rua Z é paralela a Rua W. Se falarmos da posição entre retas, quais as posições possíveis??

Por exemplo: qual a posição relativa entre as retas r e s dadas abaixo?

r : x ,   y ,   z = 1 ,   2 ,   3 + t ( 2 ,   4 ,   5 )

s : x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   1 + t ( 2 ,   3 ,   1 )

Bateu o desespero? Relaxa Aí!!! Vamos te ensinar como faz!!

Posição Relativa

A posição entre duas retas nada mais é do que a posição que uma reta está em relação à outra.

Mas como assim??

Primeiro, temos 4 posições possíveis entre retas:

  • Reversas
  • Concorrentes
  • Paralelas Distintas
  • Paralelas Coincidentes (ou iguais)
  • Agora que já sabemos as possíveis posições entre retas, vamos estudar como identificar cada uma das posições!! Dependendo da equação das retas, elas vão estar em uma dessas 4 posições entendeu?

    Nossas retas r e s , possuem o vetor diretor r → = ( 2 ,   4 ,   5 ) e s → = ( 2 ,   3 ,   1 ) , respectivamente e o ponto A = ( 1 ,   2 ,   3 ) pertence a reta r e o ponto B = ( 1 ,   1 ,   1 ) pertencente à reta s . Podemos fazer um desenho para nos auxiliar:

    Se os vetores ( A B → ,   r → ,   s → ) forem LI, as retas r → e s → serão reversas (ou seja, nunca irão se cruzar e além disso estão em planos diferentes). Não lembra o que é LI? Calma!! Vamos relembrar!!

    LI é quando os vetores não são proporcionais entre si ou não são uma combinação linear um do outro. Mas, o que isso me ajuda?

    Bom, isso nos ajuda, pois se fizermos o produto misto dos vetores ( A B → ,   r → ,   s → ) e o determinante der DIFERENTE DE ZERO, isso significa que as retas são reversas!!

    Ok, mas e se o produto misto der ZERO?!!

    Se der ZERO então, significa que as retas são coplanares e assim sobrariam três opções: retas paralelas distintas, paralelas coincidentes ou concorrentes!! Para decidir qual das 3 é, passaremos a olhar o vetor diretor de cada uma das retas. Vamos supor que os vetores das nossas retas r e s são, respectivamente, r → e s → .

  • Se r → = α s → , ou seja, forem proporcionais, então significa que as retas são paralelas. Para verificar se são distintas ou iguais basta testar se o ponto A de r pertence à s também. Se pertencer a s e r são iguais, se não, são distintas.
  • Se r → ≠ α s → , então elas são concorrentes.

Exemplo 1

Então qual a posição relativa das nossas retas r e s que demos lá no comecinho? Bora, verificar?!

A B → = B - A = 1 ,   1 ,   1 - 1 ,   2 ,   3 = ( 0 ,   - 1 ,   - 2 )

- 4 ≠ 0   ∴ s ã o   r e v e r s a s

Nossas retas são reversas!!

Ainda não ficou muito claro?? Vamos ver outro exemplo então!

Exemplo 2

Se liga nessas duas “retosas”:

r : x + 4 y - 7 = 0

s : 3 x + y + 1 = 0

Como nossas retas estão no R 2 , elas serão concorrentes ou paralelas.

Primeiro vamos achar os vetores diretores e verificar se r → = α s → !

Vou escolher dois pontos aleatórios para reta r e s , calcular o vetor que liga eles e, assim, teremos os vetores diretores!

Para reta r , temos os pontos A = ( - 1 ,   2 ) e B = ( 3 ,   1 ) . Calculado o vetor   A B → , temos

3,1 - - 1,2 = 4 , - 1

Show de bolinhas! Já temos o nosso   r → = ( 4 ,   - 1 ) !

Vamos fazer para reta s agora. Temos os pontos C = ( 1 ,   - 4 ) e D = ( - 1 ,   2 ) . Calculando o vetor   C D → , temos

- 1 ,   2 - 1 ,   - 4 = ( - 2 ,   6 )

Belezinha, nosso vetor diretor é   s → = ( - 2 ,   6 ) !

Vamos, enfim, verificar se r → = α s →

4 ,   - 1 = α ( - 2,6 )

Se abrirmos isso, ficamos com:

4 = - 2 α → α = - 2 - 1 = 6 α → α = - 1 6

Como os valores de α não batem, nossas retas só podem ser CONCORRENTES!! UHULLL

Intersecção de retas

Mas calma, pequeno gafanhoto, eu ainda posso te perguntar em qual ponto as retas de cruzam (MUAHAHA)!

Bora calcular?! Para fazer isso basta tratar as equações das retas como um sistema e resolver, olha só:

x + 4 y = 7     I 3 x + y = - 1     I I

De ( I ) tiramos que x = 7 - 4 y   i . Substituindo em ( I I ) ,

3 7 - 4 y + y = - 1

21 - 12 y + y = - 1 → y = 2

Substituindo y = 2 em ( i ) , temos x = 7 - 4 × 2 → x = - 1

Então, o ponto de interseção é ( - 1 ,   2 ) !!! Super show de bolinhas!!

  1. Perpendicularidade e Ortogonalidade

No dia a dia utilizamos os termos perpendicular e ortogonal como sendo a mesma coisa para se referir que, por exemplo, duas retas formam 90 ° entre si. Será que é isso mesmo ou tem algum detalhe que não levamos em conta?

Há uma diferença, sim!!! Porém, essa diferença só faz sentido quando falamos de retas. Pois, duas retas são perpendiculares quando formam 90 ° entre si E são concorrentes. Já duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou reversas.

Assim, primeiro verificamos se duas retas são ortogonais fazendo o produto interno entre os vetores diretores:

S e   r → ∙ s → = 0 → s ã o   o r t o g o n a i s

S e   r → ∙ s → ≠ 0 → n ã o   s ã o   o r t o g o n a i s

Se as retas r e s são ortogonais para verificar se são perpendiculares basta verificar se as retas possuem algum ponto em comum, ou seja, se são concorrentes.

Ufaa!! A teoria acabou!! Bora praticar?!

Para saber de cor e salteado tudinho a seguir tem um RESUMÃO IRADO.

RESUMÃO:

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Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 173-2.

Estude a posição relativa das retas

r : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 0 ,   1 ,   3 ) e s : X = 1 ,   3 ,   6 + µ ( 0 ,   2 ,   6 )

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Passo 1

O enunciado nos da a equação vetorial das retas r e s . Devemos determinar a posição relativa entre as retas.

Dados: r :   r → = ( 0,1   , 3 ) R = ( 1 ,   2 ,   3 )               e                       s : s → = ( 0 ,   2 ,   6 ) S = ( 1 ,   3 ,   6 )

Bora começar a colocar os neurônios para aquecer!! haha

Passo 2

Como vimos na teoria, as retas podem ter 4 posições relativas: reversas, concorrentes, paralelas distintas ou paralelas coincidentes. Para saber se as retas são reversas ou coplanares, basta calcular o produto misto entre os vetores ( R S → ,   r → ,   s → ) . Mas, sempre que formos avaliar a posição entre duas retas devemos começar avaliando se os vetores das retas são proporcionais. Assim, se forem proporcionais significa que são paralelos. Então, se forem paralelos teremos que analisar se sõ distintos ou iguais. E, se os vetores não forem proporcionais, aí sim faremos o produto misto para decidir se as retas são reversas ou concorrentes. Vamos analisar:

r → = α s →

Temos, r → = ( 0,1   , 3 ) e s → = ( 0 ,   2 ,   6 ) , assim:

0 ,   1 ,   3 = 1 2 ( 0 ,   2 ,   6 )

Portanto, r → e s → são paralelos.

Passo 3

Como descobrir se são idênticas ou distintas?

Para saber se são idênticas ou distintas basta testar se um ponto de r , por exemplo ,   pertence a   s   também. Assim, vamos testar se o ponto R = ( 1 ,   2 ,   3 ) , pertence à s . Para isso, vamos substituir o ponto na equação vetorial da reta s :

s : X = 1 ,   3 ,   6 + µ ( 0 ,   2 ,   6 )

1 ,   2 ,   3 = 1 ,   3 ,   6 + µ ( 0 ,   2 ,   6 )

Igualando coordenada a coordenada, temos:

x →   1 = 1

y →   2 = 3 + 2 µ →   µ = - 1 2

z →   3 = 6 + 6 µ →   µ = - 1 2

Portanto, o ponto R pertence à reta s também. Assim, r e s são paralelas coincidentes (iguais)

Resposta

P a r a l e l a s   C o i n c i d e n t e s   ( I g u a i s )

Exercício Resolvido #2

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 196-1.

Verifique se as retas

r : X = 1,1 ,   1 + λ 2 ,   1 ,   - 3       ( λ ∈ R )

s : X = 0 ,   1 ,   0 + α - 1 ,   2 ,   0       ( α ∈ R )

são ortogonais. Verifique também se são perpendiculares.

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Passo 1

Temos novamente a equação vetorial de duas retas. Mas, agora queremos saber se as retas são ortogonais e se forem, se são perpendiculares também. Vamos retirar então o que temos de informação sobre cada reta:

Dados:

r :   R = 1 ,   1 ,   1 r → = ( 2 ,   1 ,   - 3 )         e           s : S = ( 0 ,   1 ,   0 ) s → = ( - 1 ,   2 ,   0 )

Passo 2

Como vimos na teoria, para verificar se duas retas são ortogonais temos que verificar se o produto interno entre elas é ZERO.

r → ∙ s → = 2 ,   1 ,   - 3 ∙ - 1 ,   2 ,   0 = 2 . - 1 + 1.2 + - 3 . 0 = 0

Como o produto interno deu ZERO, então as retas são ortogonais. Será que são perpendiculares também?! Vamos verificar!!

Passo 3

Para saber se duas retas são perpendiculares, precisamos verificar se elas são concorrentes, ou seja, possuem um ponto em comum. Assim, temos duas possibilidades: Ver se as retas são concorrentes ou verificar se possuem um ponto em comum. Vamos fazer pelos dois jeitos.

Vamos começar verificando se são concorrentes!!

Analisando os vetores diretores das retas, vemos que r → e s → não são proporcionais. Assim, as retas não são paralelas. Mas, elas podem ser concorrentes ou reversas. Assim, vamos montar o produto misto para verificar isso:

R S → = S - R = 0 ,   1 ,   0 - 1 ,   1 ,   1 = - 1 ,   0 ,   - 1