Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

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Enunciado

Calcule a integral tripla

∭ D 9 x 2 + 3 y 2   d x d y d z

Onde D é o sólido, no primeiro octante, resultado da interseção de x 2 + y 2 3 ≤ 1 , x ≤ y , e z ≤ x + y + 3 .

Passo 1

Vamos começar entendendo um pouco mais sobre quem é o nosso sólido D.

A gente já sabe que x 2 + y 2 3 = 1 nos representa no plano cartesiano uma elipse centrada na origem. Porém, no espaço tridimensional ela representa um cilindro de base elíptica e centrado no eixo z pois a função independe dessa variável

O nosso sólido também está delimitado na lateral pelo plano x = y que reparte o nosso cilindro na vertical como podemos ver representado pelo plano verde.

E por fim, mas não menos importante, o nosso sólido está localizado abaixo do nosso plano em azul, mas acima do plano X Y pois queremos apenas o primeiro octante!

Passo 2

Como estamos integrando dentro de um cilindro, é conveniente para gente utilizar a mudança para coordenadas cilíndricas:

x = r . cos ⁡ θ

y = 3 . r . sin ⁡ θ

z = z

Perceba que utilizamos y = 3 r   s i n ⁡ ( θ ) ao invés da tradicional mudança y = r   s i n ⁡ ( θ ) . Fizemos isso, pois o nosso cilindro é formado por uma elipse, logo

x 2 + y 2 3 = 1 ⇒ s u b s t i t u i n d o n o s s a s   n o v a s   v a r i á v e i s   ( r cos ⁡ θ ) 2 + ( 3 . r . sin ⁡ θ ) 2 3 = 1 → r 2 c o s 2 θ + 3 r 2 s i n 2 θ 3 = 1 →

r 2 c o s 2 θ + r 2 s i n 2 θ = 1 →     r 2 s i n 2 θ + c o s 2 θ = 1     →     r 2 = 1     →    

r = 1

A gente observa então que com essa mudança, o nosso r varia de 0 ao raio máximo que 1 , ou seja

0 ≤ r ≤ 1

Passo 3

Ainda falta encontrar os limites de θ e de z . Bora lá?!

Para a gente entender os limites de θ , vamos olhar para a projeção do nosso sólido no plano X Y

Observamos que θ está variando acima da reta y = x , e isso acontece devido a condição inicial de x ≤ y . Logo:

x ≤ y     →     r cos ⁡ θ ≤ 3 r sin ⁡ θ

Passando r   c o s ⁡ ( θ ) para o outro lado dividindo, teremos

1 ≤ 3 r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ ⇒ 1 ≤ 3 tan ⁡ θ ⇒ tan ⁡ θ ≥ 1 3 ⇒ θ ≥ π 6    

Concluímos que o θ mínimo é o arco π 6 . Como a região está limitada no primeiro octante, temos

π 6 ≤ θ ≤ π 2

Vamos encontrar o limite z agora?

Então, z está limitado inferiormente pelo plano z = 0   e superiormente pelo plano

z = y + x + 3   →     z = 3 r sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ + 3

Logo

0 ≤ z ≤ 3 r sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ + 3

Passo 4

Como as nossas mudanças de coordenas cilíndricas não são as que estamos acostumados, devemos procurar agora o nosso Jacobiano

J = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ x ∂ z ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂ x ∂ z ∂ r ∂ z ∂ θ ∂ z ∂ z = c o s ⁡ ( θ ) - r   s i n ⁡ ( θ ) 0 3 s i n ⁡ ( θ ) 3 r cos ⁡ ( θ ) 0 0 0 1 = 3 r   c o s 2 θ + 3 r   s i n 2 θ = 3 r

Passo 5

O nosso próximo passo é justamente eliminar as coordenas cartesianas da nossa função de integração

9 x 2 + 3 y 2 = 9 ( r cos ⁡ θ ) 2 + 3 ( 3 r sin ⁡ θ ) 2 = 9 r 2

Mas lembre-se de que quando fazemos uma mudança de coordenadas, não podemos esquecer de multiplicar a nossa nova função pelo nosso Jacobiano. Assim:

f r , θ , z . J = 9 r 2 . 3 r = 9 3 r 3

Passo 6

Prontinho! Basta montarmos nossa integral e correr para o abraço! :)

∭ D 9 x 2 + 3 y 2 d V = ∫ π 6 π 2 ∫ 0 1 ∫ 0 3 r sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ + 3 9 3 r 3 d z d r d θ

Resolvendo a nossa integral, começando pela integral de dentro, vamos obter

∫ π 6 π 2 ∫ 0 1 ∫ 0 3 r sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ + 3 9 3 r 3 d z d r d θ = ∫ π 6 π 2 ∫ 0 1 9 3 r 3     z 1 0 3 r sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ + 3 d r d θ →

Substituindo os limites de integração em z , obteremos

∫ π 6 π 2 ∫ 0 1 9 3 r 3 ( 3 r sin ⁡ θ + r cos ⁡ θ + 3 ) d r d θ →

∫ π 6 π 2 ∫ 0 1 27 r 4 sin ⁡ θ + 9 3 r 4 cos ⁡ θ + 27 3 r 3 d r d θ →

∫ π 6 π 2 27 sin ⁡ θ r 5 5 0 1     +   9 3 cos ⁡ θ r 5 5 0 1 + 27 3 r 4 4 0 1 d θ =

∫ π 6 π 2 27 sin ⁡ θ 5 + 9 3 cos ⁡ θ 5 + 27 3 4 d θ = - 27 5 cos ⁡ θ + 9 3 sin ⁡ θ 5 + 27 3 4 θ π / 6 π / 2

Substituindo os limites acima obteremos

∭ R 9 x 2 + 3 y 2 d V = 27 5 3 2 + 9 3 5 - 9 3 10 + 27 3 8 π - 27 3 24 π =

36 3 10 + 54 3 24 π = 18 3 5 + 9 3 4 π

Resposta

∭ R 9 x 2 + 3 y 2   d x d y d z = 18 3 5 + 9 3 4 π