Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

Elaboração Própria

Seja W o sólido limitado por x = 4 y 2 + 4 z 2 e pelo plano x = 4 . Calcule

W x d V

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da nossa região, para entendermos melhor o que está sendo pedido. Vemos que x = 4 y 2 + 4 z 2 é a equação de um paraboloide, mas com simetria em x. O outro cara é um plano x = 4 . Portanto, temos a seguinte região

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a região é limitada por um paraboloide e um plano e a função a ser integrada f x , y , z = x não pede nenhuma mudança específica, vamos usar a mudança cilíndrica.

x = x

y = r cos θ

z = r sen θ

J = r

Passo 3

Precisamos escrever, matematicamente, a nossa região.

Lembre-se que as variáveis r , θ normalmente vão ser descobertas da interseção entre os caras envolvidos, ou seja, precisamos achar a interseção do plano com o paraboloide. Como fazemos isso? Igualando as expressões.

x = 4 , x = 4 y 2 + 4 z 2 4 y 2 + 4 z 2 = 4 y 2 + z 2 = 1

Portanto, r ,   θ vão variar dentro desse círculo, ou seja, 0 r 1 e 0 θ 2 π .

Precisamos agora determinar a variação de x . Veja na figura que ele varia da equação do paraboloide até a equação do plano, ou seja

x = 4 y 2 + 4 z 2 x = 4 r 2

x = 4 x = 4

Portanto, nossa região descrita matematicamente será

W = { ( r , θ , x ) | 0 r 1 ,   0 θ 2 π ,   4 r 2 x 4 }

Passo 4

Vamos agora (finalmente) fazer a substituição esférica na integral:

W x d V

= 0 2 π 0 1 4 r 2 4 x r d x d r d θ =

Passo 5

Vamos realizar a integração em x

= 1 2 0 2 π 0 1 r x 2 4 r 2 4 d r d θ =

= 1 2 0 2 π 0 1 r 16 - 16 r 4 d r d θ =

= 8 0 2 π 0 1 r 1 - r 4 d r d θ =

Passo 6

Realizando a integração em r

= 8 0 2 π r 2 2 - r 6 6   0 1 d θ =

= 8 0 2 π 1 2 - 1 6 d θ =

16 π 3

Resposta

16 π 3

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