Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2013.1 – 4

Calcule o valor da integral

D   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d x d y d z

Onde D = { ( x , y , z ) R 3 | x 2 + y 2 + z 2 x } .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado da expressão da superfície, temos:

x 2 - x + y 2 + z 2 = 0

x - 1 2 2 + y 2 + z 2 = 1 4

Uma esfera de raio 1 / 2 centrada em ( 1 / 2 ,   0 ,   0 ) , portanto, deslocada no eixo x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Essa região de integração parece simples, não é? Sim, mas, quando fazemos a mudança para coordenadas esféricas , como temos feito até agora, a integral se torna uma expressão não muito agradável, envolvendo sen 6   e cos 5   . Vamos, então, tentar contornar esse problema.

Uma esfera centrada na origem é escrita em coordenadas polares como ρ = ( raio ) , como já vimos. Essa esfera do problema, por estar deslocada, seria escrita como ρ = sen φ cos θ . Mas porque temos agora essa expressão bem mais complicada? Porque agora, não temos mais a simetria em relação à origem, pois a distância dos pontos da esfera ao ponto ( 0,0 , 0 ) não é mais constante.

Temos, então, duas saídas para tornar a região de integração mais simétrica em relação aos eixos coordenados.

Solução 1: Essa solução é a mais abrangente. Se você reparar, as coordenadas esféricas são definidas com uma certa simetria em relação ao eixo z . Como assim? O ângulo θ é medido em torno desse eixo e o ângulo φ , a partir desse eixo. Por isso, quando temos uma esfera deslocada em z , sua equação não fica tão complicada como quando está deslocada nos outros eixos.

Partindo dessa ideia, podemos, então, fazer uma mudança esférica diferente, atribuindo ( ρ cos φ ) não ao eixo z , mas ao eixo de simetria da região, no caso, o eixo x . Teremos, então:

y = ρ sen φ cos θ

z = ρ sen φ sen θ

x = ρ cos φ

J = ρ 2 sen φ

Dessa forma a esfera seria escrita como ρ = cos φ . Essa solução seria muito útil se tivéssemos uma região mais complexa com simetria em x .

Solução 2: Provavelmente essa forma é a mais intuitiva, mais fácil de visualizar. A esfera não está centrada na origem? Leve a origem a ela então! Como assim? A esfera está deslocada em x , não é? Em vez de definirmos x = ρ   s e n   φ   c o s   θ , vamos definir   x - 1 / 2 = ρ   s e n   φ   c o s   θ , o que nos dá:

x = ρ   sen φ cos θ + 1 / 2

y = ρ   sen φ sen θ

z = ρ cos φ

J = ρ 2 sen φ

É como se você tivesse levado a origem para o ponto ( 1 / 2 ,   0,0 ) . Veja que, substituindo esses valores na equação da esfera, temos:

x - 1 2 2 + y 2 + z 2 = 1 4     ρ   sen φ cos θ 2 + ρ   sen φ sen θ 2 + ρ cos φ 2 = 1 4

ρ = 1 / 2

Temos, agora, uma expressão muito mais simples para a esfera. Talvez você esteja se perguntando: o Jacobiano não muda? Não, porque quando adicionamos ou subtraímos uma constante na mudança de variáveis, a derivada desse termo é zero, logo, o Jacobiano não se altera!

Aqui, vamos optar por essa solução.

Passo 3

Utilizando essa substituição, a região de integração é escrita como:

D = { ( ρ , θ , φ ) | 0 θ 2 π ; 0 φ π ;   0 ρ 1 / 2 }

Exatamente como uma esfera centrada na origem.

Passo 4

Vamos agora escrever o termo x 2 + y 2 + z 2 em função das novas variáveis.

x 2 + y 2 + z 2 = ρ sen φ cos θ + 1 2 2 + ρ sen φ sen θ 2 + ρ cos φ 2 =

ρ 2 sen 2 φ cos 2 θ   + ρ sen φ cos θ + 1 4 + ρ 2 sen 2 φ sen 2 θ + ρ 2 cos 2 φ =

= ρ 2 sen 2 φ + ρ sen φ cos θ + 1 4 + ρ 2 cos 2 φ   =

= ρ 2 + ρ sen φ cos θ + 1 4  

Montando agora a integral iterada, temos:

0 π 0 2 π 0 1 2   ρ 2 + ρ sen φ cos θ + 1 4   ρ 2 sen φ d ρ   d θ   d φ =

0 π 0 2 π 0 1 2 ρ 4 sen φ + ρ 3 sen 2 φ cos θ + ρ 2 sen φ 4 d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora integraremos em relação a ρ :

= 0 π 0 2 π ρ 5 sen φ 5 + ρ 4 4 sen 2 φ cos θ + ρ 3 sen φ 12 ρ = 0 ρ = 1 / 2   d θ   d φ =

= 0 π 0 2 π sen φ 5 × 32 + sen 2 φ cos θ 16 × 4   + sen φ 12 × 8 d θ   d φ =

= 0 π 0 2 π sen φ 60 + sen 2 φ cos θ 64 d θ   d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a θ :

= 0 π θ sen φ 60 + sen 2 φ sen θ 64   θ = 0 θ = 2 π     d φ =

= 0 π π sen φ 30     d φ =

Passo 7

Finalmente, integrando em relação a φ :

= π cos φ 30 0 π =

= π ( 1 - ( - 1 ) ) 30 =

Resposta

π 15

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