Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

USP - Cálculo 3 - PSUB 2015 – 1

Calcule a massa da região x 2 + y 2 + z - 1 2 2 com função densidade δ x , y , z = 2 + z .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m =   δ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região W em que o sólido está contido, temos que:

M = W   δ x , y , z d V

M = W   2 + z   d x d y d z

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Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos uma esfera de raio 2 centrada em ( 0,0 , 1 ) :

A região do problema é o que está dentro da esfera, beleza?

Passo 3

Como a região é limitada por uma esfera, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos φ

J = ρ 2 s e n   φ

Na verdade, para facilitar um pouco a vida, vamos usar coordenadas esféricas deslocadas, ok?

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos φ + 1

J = ρ 2 s e n   φ

Assim, o centro das coordenadas é o centro da esfera, isso vai nos ajudar bastante.

Passo 4

Precisamos escrever matematicamente a região de integração. Como nós deslocamos as coordenadas para o centro da esfera, ela passa a ser escrita como ρ = r a i o , no caso:

ρ = 2

Você pode verificar isso fazendo a mudança esférica na sua equação!

x 2 + y 2 + z - 1 2 2

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos φ + 1

O termo - 1 da equação vai ser cancelado pelo + 1 da mudança esférica.

Bom, como se trata da esfera inteira, 0 θ 2 π ; 0 φ π , o que nos dá:

W = ρ , θ , φ 0 θ 2 π ; 0 φ π ;   0 ρ 2

Passo 5

Vamos agora fazer a substituição esférica na integral:

M = W   2 + z   d x d y d z

= 0 π 0 2 π 0 2 2 + ρ cos φ + 1 ρ 2 s e n   φ   d ρ d θ d φ =

= 0 π 0 2 π 0 2 ρ 3 s e n   φ cos φ + 3 ρ 2 s e n   φ d ρ d θ d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a ρ :

= 0 π / 0 2 π ρ 4 4 s e n   φ cos φ + ρ 3 s e n   φ 0 2 d θ d φ =

= 0 π / 0 2 π s e n   φ cos φ + 2 2 s e n   φ d θ d φ =

Passo 7

Agora em relação a θ :

= 2 π 0 π s e n   φ cos φ + 2 2 s e n   φ   d φ =

Passo 8

Agora vamos integrar em relação a φ :

= 2 π 1 2 s e n 2   φ - 2 2 cos φ   0 π =

= 2 π 0 + 2 2 - 0 - 2 2 =

= 8 π 2

Resposta

8 π 2

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