Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

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Enunciado

  1. Calcule a massa do sólido limitado superiormente por x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 , inferiormente por z = 1 3 x 2 + y 2 ,   sendo a densidade igual ao quadrado da distância de x ,   y ,   z ao plano z = 0 .

Passo 1

Cara, massa de um sólido a essa altura do campeonato para a gente não é nada mais é do que uma integral tripla

M a s s a W = ∭ W δ x ,   y ,   z d V

Onde δ x ,   y ,   z é a função de densidade do sólido.

Mas aí surge duas duvidas não é verdade?!

  1. Quem é o sólido W que estamos trabalhando?
  2. Quem é a função δ x ,   y ,   z ?

Passo 2

Vamos começar aqui respondendo a primeira pergunta!

Pow, para entender esse sólido profundamente, você deve já ter em mente que essa equação aqui x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 representa uma esfera, mas não é uma esfera qualquer, e sim uma deslocada uma unidade para cima:

Enquanto isso, z = 1 3 x 2 + y 2 representa um cone:

Bem, se você quer entender o sólido, desenhe essas superfícies delimitadoras juntas no espaço. Obtendo sorvete aqui, oh:

Passo 3

Bem, estamos trabalhando dentro de uma esfera, então... Nada mais justo utilizarmos as coordenadas esféricas, onde

x = r sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = r cos ⁡ φ                    

O jacobiano dessa mudança é

J = r 2 sin ⁡ φ              

Nunca devemos sair de uma mudança enquanto não encontramos onde essas novas variáveis estão variando. Bora?

Passo 4

Vamos primeiro ver os ângulos θ e φ como eles variam, beleza? Bem, o primeiro ângulo a gente tira de letra se lembrarmos que nosso sólido nada mais é do que um sorvetão que da uma volta completa em torno do eixo z . Sendo assim:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Agora o outro ângulo vai ser um pouco mais complicadinho de ver. Vamos tentar ver como a parte da “casquinha” do sorvetão se comporta no plano ZY? Bora lá:

z = 1 3 x 2 + y 2 x = 0

z y = 1 3 y 2 =   1 3 y 2 = 1 3 ∙ y

Graficamente, temos:

Ok, mas pra que isso? Repare que fazendo isso fica evidente quem vai ser o ângulo φ !

t g φ =   3             →               φ = π 3

Show de bola, outro ângulo foi encontrado!

0 ≤ φ ≤ π 3

Mas e o nosso querido r , quem vai ser? Se olharmos de novo pro sorvetão e pra própria definição do r vamos notar que o r sai da origem e toca no topo do sólido, isso é, na parte da própria bola de sorvete. E quem é a bola de sorvete se não a própria esfera? Vamos primeiro reescrever a equação da esfera:

x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1

x 2 + y 2 + z 2 - 2 z + 1 = 1

x 2 + y 2 + z 2 = 2 z

Beleeeza, agora o pulo do gato vai ser substituir as coordenadas polares na última equação acima pra ver o que encontramos:

r sin ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ φ sin ⁡ θ 2 + r cos ⁡ φ 2 = 2 r cos ⁡ φ

r 2 sin 2 ⁡ φ   cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ + r ² cos ² ⁡ φ = 2 r cos ⁡ φ

r 2 sin 2 ⁡ φ   cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ + cos ² ⁡ φ = 2 r cos ⁡ φ

r 2 sin 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ +   sin 2 ⁡ θ + cos ² ⁡ φ = 2 r cos ⁡ φ

E como sin 2 ⁡ θ +   cos 2 ⁡ θ = 1 , assim como sin 2 ⁡ φ 1 + cos ² ⁡ φ = 1 , vamos ter:

r 2 sin 2 ⁡ φ + cos ² ⁡ φ = 2 r cos ⁡ φ

r 2 = 2 r cos ⁡ φ

r = 2 cos ⁡ φ

Ufa, algumas linhas depois a gente achou o nosso r . Sendo assim, vamos ficar com:

0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ φ

Passo 5

Opa, perai, faltou alguém não? E a função densidade? O enunciado é meio enrolado, mas como ele disse “a densidade igual ao quadrado da distância de x ,   y ,   z ao plano z = 0 .”, vamos ter simplesmente que:

δ x ,   y ,   z = z 2

E, passando pras coordenadas polares:

δ r ,   θ ,   φ = r 2 cos 2 ⁡ φ  

Passo 6

Eu sei que você queria que tivesse acabado, mas como dizia minha avó: “calma que falta menos que faltava”. O que sobrou foi só o trabalho braçal. Vamo que vamo então:

M a s s a W = ∭ W δ x ,   y ,   z d V =   ∭ W δ x ,   y ,   z d x d y d z

Aplicando as coordenadas polares

M a s s a W = ∭ W J ∙ δ r ,   θ ,   φ   d r d θ d φ

Agora é só tacar tudo que a gente descobriu dentro do liquidificador:

M a s s a W = ∫ 0 π 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 cos ⁡ φ r 2 sin ⁡ φ   r 2 cos 2 ⁡ φ d r   d θ   d φ

Resolvendo primeiro em função de r :

M a s s a W = ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ cos 2 ⁡ φ d φ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 cos ⁡ φ r 4   d r    

M a s s a W = ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ cos 2 ⁡ φ d φ ∫ 0 2 π d θ     r 5 5 r = 0 r = 2 cos ⁡ φ

M a s s a W = ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ cos 2 ⁡ φ d φ ∫ 0 2 π d θ   32 5 cos 5 ⁡ φ

Resolvendo agora em função de θ :

M a s s a W = 32 5 ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ cos 7 ⁡ φ d φ ∫ 0 2 π d θ  

M a s s a W = 32 5 ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ cos 7 ⁡ φ d φ   θ θ = 0 θ = 2 π

M a s s a W = 32 5 ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ cos 7 ⁡ φ d φ   2 π

E por fim, em função de φ :

M a s s a W = 64 π 5 ∫ 0 π 3 sin ⁡ φ cos 7 ⁡ φ d φ  

u = cos ⁡ x → d x =   - 1 sin ⁡ x d u

M a s s a W = 64 π 5 ∫     - sin ⁡ φ sin ⁡ x u 7 d u  

M a s s a W = 64 π 5 ∫     - u 7 d u  

M a s s a W = 64 π 5   - u 8 8

Voltando para a variável x original e aplicando os limites de integração originais:

M a s s a W = 64 π 5   -   cos 8 ⁡ φ 8 φ = 0 φ = π 3

M a s s a W = 64 π 5   - cos 8 ⁡ π 3 8 + cos 8 ⁡ 1 8

M a s s a W = 64 π 5   - 1 2 8 8 + 1 8 8

M a s s a W = 64 π 5   - 1 2048 + 1 8

M a s s a W = 64 π 5   255 2048

M a s s a W = 51 π 32  

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