Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

Ver Teoria

Enunciado

Calcule ∭ R   x 2 + y 2 9 d x d y d z onde

R = x , y , z ∈ R 3 : x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ,   x 2 + y 2 9 + z 2 ≤ 1 ,   z ≤ x 2 + y 2 9

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.

x 2 + y 2 9 + z 2 = 1   ( e l i p s o i d e )

z = x 2 + y 2 9   ( c o n e )

Então, nós temos um esboço parecido com a figura abaixo.

A região do problema é aquela que está dentro do elipsoide e abaixo do cone contida no primeiro octante.

Passo 2

Como a região é limitada por um elipsoide, vamos utilizar coordenadas esféricas com os coeficientes do elipsoide:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = 3 ρ 2 s e n   φ

Passo 3

Precisamos escrever matematicamente a região de integração. Vamos ver primeiro a variação de ρ :

x 2 + y 2 9 + z 2 = 1 → ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 9 + ρ cos ⁡ φ 2 = 1 ∴ ρ = 1

Assim, temos que a variação de ρ é:

0 ≤ ρ ≤ 1

Passo 4

O ângulo φ , como vemos pela figura, varia desde a superfície do cone até π / 2 (lembre-se de que a região está no primeiro octante. Então, vamos fazer a mudança esférica no cone:

ρ cos ⁡ φ = ( ρ   s e n   φ   c o s   θ ) 2 + ( 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ ) 2 9

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 s e n 2   φ

t g φ = 1

φ = π 4

Assim, a variação de φ é:

π 4 ≤ φ ≤ π 2

Passo 5

Já que temos 1 / 4 de volta em torno do eixo z , 0 ≤ θ ≤ π / 2 (lembra que nossa região se limita ao primeiro octante). Isso nos dá:

W = ρ , θ , φ 0 ≤ θ ≤ π / 2 . ; π / 4 ≤ φ ≤ π / 2 ;   0 ≤ ρ ≤ 1

Passo 6

Vamos agora fazer a substituição esférica na integral:

∭ R   x 2 + y 2 9 d x d y d z =

  ∫ 0 1 ∫ π / 4 π / 2 ∫ 0 π / 2 ( ρ   s e n   φ   c o s   θ ) 2 + ( 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ ) 2 9 3 ρ 2 s e n φ   d θ d φ d ρ

= 3 ∫ 0 1 ∫ π / 4 π / 2 ∫ 0 π / 2 ρ 2 s e n 2   φ   ρ 2 s e n φ   d θ d φ d ρ =

= 3 ∫ 0 1 ∫ π / 4 π / 2 ∫ 0 π / 2 ρ 4 s e n 3   φ   d θ d φ d ρ =

Passo 7

Agora vamos integrar em relação a θ :

=   ∫ 0 1 ∫ π / 4 π / 2 ρ 4 s e n 3   φ θ 0 π / 2 d φ d ρ =

= π 2 ∫ 0 1 ∫ π / 4 π / 2 ρ 4 s e n 3   φ d φ d ρ =

Passo 8

Agora em relação a φ :

= π 2 ∫ 0 1 ∫ π / 4 π / 2 ρ 4 s e n 2   φ   s e n   φ d φ d ρ =

= π 2 ∫ 0 1 ∫ π / 4 π / 2 ρ 4 ( 1 - cos 2 ⁡ φ )   s e n   φ d φ d ρ =

= π 2 ∫ 0 1 ∫ π / 4 π / 2 ρ 4 s e n   φ - s e n   φ cos 2 ⁡ φ d φ d ρ =

= π 2 ∫ 0 1 - cos ⁡ φ + cos 3 ⁡ φ π / 4 π / 2 d ρ =

= π 2 ∫ 0 1 0 + 0 - - 2 2 + 2 2 8 d ρ =

= π 2 8 ∫ 0 1 d ρ =

Finalmente:

= π 2 8

Resposta

π 2 8