Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

USP - Cálculo 3 - PSUB 2012 – 1

Calcule R   x 2 + y 2 9 d x d y d z onde

R = x , y , z R 3 : x 0 ,   y 0 ,   z 0 ,   x 2 + y 2 9 + z 2 1 ,   z x 2 + y 2 9

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido.

x 2 + y 2 9 + z 2 = 1   ( e l i p s o i d e )

z = x 2 + y 2 9   ( c o n e )

Então, nós temos um esboço parecido com a figura abaixo.

A região do problema é aquela que está dentro do elipsoide e abaixo do cone contida no primeiro octante.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a região é limitada por um elipsoide, vamos utilizar coordenadas esféricas com os coeficientes do elipsoide:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos φ

J = 3 ρ 2 s e n   φ

Passo 3

Precisamos escrever matematicamente a região de integração. Vamos ver primeiro a variação de ρ :

x 2 + y 2 9 + z 2 = 1 ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 9 + ρ cos φ 2 = 1 ρ = 1

Assim, temos que a variação de ρ é:

0 ρ 1

Passo 4

O ângulo φ , como vemos pela figura, varia desde a superfície do cone até π / 2 (lembre-se de que a região está no primeiro octante. Então, vamos fazer a mudança esférica no cone:

ρ cos φ = ( ρ   s e n   φ   c o s   θ ) 2 + ( 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ ) 2 9

ρ cos φ = ρ 2 s e n 2   φ

t g φ = 1

φ = π 4

Assim, a variação de φ é:

π 4 φ π 2

Passo 5

Já que temos 1 / 4 de volta em torno do eixo z , 0 θ π / 2 (lembra que nossa região se limita ao primeiro octante). Isso nos dá:

W = ρ , θ , φ 0 θ π / 2 . ; π / 4 φ π / 2 ;   0 ρ 1

Passo 6

Vamos agora fazer a substituição esférica na integral:

R   x 2 + y 2 9 d x d y d z =

  0 1 π / 4 π / 2 0 π / 2 ( ρ   s e n   φ   c o s   θ ) 2 + ( 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ ) 2 9 3 ρ 2 s e n φ   d θ d φ d ρ

= 3 0 1 π / 4 π / 2 0 π / 2 ρ 2 s e n 2   φ   ρ 2 s e n φ   d θ d φ d ρ =

= 3 0 1 π / 4 π / 2 0 π / 2 ρ 4 s e n 3   φ   d θ d φ d ρ =

Passo 7

Agora vamos integrar em relação a θ :

=   0 1 π / 4 π / 2 ρ 4 s e n 3   φ θ 0 π / 2 d φ d ρ =

= π 2 0 1 π / 4 π / 2 ρ 4 s e n 3   φ d φ d ρ =

Passo 8

Agora em relação a φ :

= π 2 0 1 π / 4 π / 2 ρ 4 s e n 2   φ   s e n   φ d φ d ρ =

= π 2 0 1 π / 4 π / 2 ρ 4 ( 1 - cos 2 φ )   s e n   φ d φ d ρ =

= π 2 0 1 π / 4 π / 2 ρ 4 s e n   φ - s e n   φ cos 2 φ d φ d ρ =

= π 2 0 1 - cos φ + cos 3 φ π / 4 π / 2 d ρ =

= π 2 0 1 0 + 0 - - 2 2 + 2 2 8 d ρ =

= π 2 8 0 1 d ρ =

Finalmente:

= π 2 8

Resposta

π 2 8

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