Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

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Enunciado

Calcule ∭ U   z 2 d x d y d z onde U é a região do R 3 limitada por y = x 2 + 9 z 2 e y = 2 x .

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido. Temos um paraboloide de seção elíptica com simetria no eixo y y = x 2 + 9 z 2 cortado pelo plano y = 2 x :

Nossa região é essa parte do paraboloide cortada pelo plano, essa casca que está à frente do plano. Podemos ver de outro ângulo para visualizar melhor:

Passo 2

Vamos agora escrever matematicamente essa região. Podemos fazer o seguinte: dizer que a variável y está entre o plano azul e o paraboloide e definir a projeção do sólido no plano x z , que, no caso, vai ser uma elipse. Vamos nos preocupar com essa projeção em x z mais tarde, por enquanto, dizemos que essa região é D .

Isso nos dá:

= ∬ D   ∫ x 2 + 9 z 2 2 x z 2 d y d x d z =

Passo 3

Agora vamos calcular isso aí:

= ∬ D   z 2 y x 2 + 9 z 2 2 x d x d z =

= ∬ D   z 2 ( 2 x - x 2 - 9 z 2 ) d x d z =

Ok, agora precisamos escrever essa região D . Nós sabemos que ela é a projeção no plano x z do sólido dado pela interseção do paraboloide y = x 2 + 9 z 2 com o plano y = 2 x , então, antes de mais nada, vamos fazer a interseção dessas duas equações:

2 x = x 2 + 9 z 2

Rearrumando isso aqui:

x - 1 2 + 9 z 2 = 1

Tá, que porcaria é essa? Calma, vamos por partes. Sabemos que x 2 + z 2 = 1 é uma circunferência no plano x z centrada na origem né? Se tivermos x 2 + 9 z 2 = 1 é uma elipse centrada na origem.

Agora, com esse termo - 1 , deslocamos essa elipse da origem, na direção x . Beleza, então a projeção do sólido no plano x z é uma elipse deslocada da origem.

Como é uma elipse, a boa é usar coordenadas elípticas. Como temos um coeficiente 9 = 3 2 ali no z 2 , vamos levar o coeficiente 1 / 3 para a coordenada z :

x = r cos ⁡ θ

z = 3 r s e n   θ

E vamos fazer o seguinte, vamos “levar” o centro dessas coordendas para o centro da elipse de uma vez:

x = r cos ⁡ θ + 1

z = 1 3 r s e n   θ

J = r 3

Lembrando que o coeficiente 1 / 3 vai para o Jacobiano.

Mas por que fizemos tudo isso na mudança de coordenadas? Porque substituindo essas coordenadas na equação da elipse, encontramos:

r cos ⁡ θ + 1 - 1 2 + 9 1 3 r s e n   θ 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = 1

r = 1

Olha que lindo, nessas coordenadas é como se a elipse deslocada tivesse “virado” uma circunferência de raio r = 1 centrada na origem bonitinha.

Então, para descrever ela temos 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ 1 . Fazendo a mudança de variáveis na integral, temos:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 1 3 r s e n   θ 2 2 r cos ⁡ θ + 1 - r cos ⁡ θ + 1 2 - 9 1 3 r s e n   θ 2 d r d θ =

= 1 27 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 s e n 2 θ 2 r cos ⁡ θ + 2 - r 2 cos 2 ⁡ θ - 2 r cos ⁡ θ - 1 - r 2 s e n 2 θ d r d θ =

= 1 27 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 s e n 2 θ 1 - r 2 d r d θ =

= 1 27 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 s e n 2 θ r 3 - r 5 d r d θ =

Passo 4

Agora vamos resolver essa integral dupla:

= 1 27 ∫ 0 2 π r 4 4 - r 6 6 s e n 2 θ 0 1 d θ =

= 1 27 × 1 12 ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ =

Agora precisamos usar a seguinte identidade:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ ( 2 θ ) 2

= 1 27 × 1 12 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ ( 2 θ ) 2 d θ =

= 1 27 × 1 24 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ ( 2 θ ) d θ =

= 1 27 × 1 24 θ - 1 2 s e n 2 θ 0 2 π =

= 1 27 × π 12 =

= π 324

Resposta

π 324