Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

UFRJ - Cálculo 3 - PF 2014.2 – 2

Calcule o volume do sólido W limitado pela superfície de equação

x 2 4 + y 2 9 - z 2 = 1

E os planos z = - 1 e z = 2 .

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço disso aí. Temos um hiperboloide de uma folha com simetria em z (a variável que tem sinal diferente) cortado por dois planos:

O hiperboloide tem seção elíptica, porque x e y tem coeficientes diferentes.

Então, W é a região dentro do hiperboloide e entre os planos z = - 1 e z = 2 . Seu volume é dado por

V = W   d x d y d z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a região tem simetria em relação ao eixo z , vamos usar coordenadas cilíndricas com os coeficientes do hiperboloide:

x = 2 r cos θ

y = 3 r   s e n   θ

z = z

J = 6 r

Passo 3

Agora, precisamos descobrir como escrever a nossa região. Vamos começar pela variação de r .

x 2 4 + y 2 9 - z 2 = 1 2 r cos θ 2 4 + 3 r sen θ 2 9 - z 2 = 1

r 2 cos 2 θ + r 2 s e n 2 θ - z 2 = 1

r 2 - z 2 = 1

r = z 2 + 1

Como o raio vai desde r = 0 até o hiperboloide, temos 0 r z 2 + 1 .

Como o enunciado já diz, - 1 z 2 . Sabemos que 0 θ 2 π porque temos uma volta completa em torno de z .

Passo 4

Temos, então

V = W   d x d y d z = 0 2 π - 1 2 0 z 2 + 1 6 r d r d z d θ

Agora é só resolver isso aí:

= 6 0 2 π - 1 2 r 2 2 0 z 2 + 1 d z d θ =

= 3 0 2 π - 1 2 z 2 + 1 d z d θ =

= 3 0 2 π z 3 3 + z - 1 2 d θ =

= 3 0 2 π 8 3 + 2 - - 1 3 - 1 d θ =

= 18 0 2 π d θ = 36 π

Resposta

36 π

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