Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

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Enunciado

Questão 4: Calcule a integral tripla

∭ S   z   d x   d y   d z

Onde S é o solido constituído dos pontos x ,   y ,   z ∈ R 3 tais que x 2 + y 2 + z 2 - 4 z ≤ 0 e y ≥ x .

Passo 1

Então, como estamos atrás de uma integral tripla em cima de um sólido que o enunciado nomeou de S , é uma boa prática, para facilitar a visualização inclusive, desenhar esse sólido no espaço, então essa será a nossa primeira tarefa aqui, ok?

Primeiro eu quero que você perceba que estamos dentro de uma esfera. Mas não é uma esfera comum, afinal essa daqui está deslocada, veja...

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z = 0    

Completando quadrado em z lembrando que z - 2 2 = z 2 - 4 z + 4 ...

x 2 + y 2 + z - 2 2 - 4 = 0  

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4  

Viu só?! Então o sólido está dentro de uma esfera que está desloca duas unidades em z e, além disso, ela tem raio 2 ...

Passo 2

Mas calma aí que ainda não encontramos o nosso sólido S ainda não! A outra restrição que o nosso enunciado nos impôs envolve...

y ≥ x

Lembrando que a função módulo y = x gera no plano x y , a seguinte cara...

O sinal de menor o igual trata-se dos pontos que estão dentro desse V . Ah! E como essa igualdade não depende de z , podemos puxar essa tesoura pra cima, assim a gente corta um gomo da nossa esfera:

E esse gomo obedece à condição de estar dentro da esfera e ter y ≥ x , logo ele é a nossa superfície S !!! ;)

Passo 3

Beleza, agora, com sólido visto, para prosseguirmos com a resolução da integral, podemos começar a tentar descrever esse sólido. E olha que legal, não se trata de um pedaço de uma esfera? Então podemos pensar em uma mudança para coordenadas esféricas com o eixo deslocado:

x = ρ se n ⁡ φ cos ⁡ θ

y = ρ se n ⁡ φ sin ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ + 2

O Jacobiano dessa mudança, mesmo ela sendo uma mudança para coordenadas esféricas deslocada, continua sendo uma mudança para coordenadas esféricas, portanto Jacobiano não muda e continua sendo:

J = ρ 2 se n ⁡ φ

Passo 4

Agora temos que encontrar a variação das novas variáveis basicamente. Para entender como eles variam, vale a pena inseri-los no desenho:

(só tome cuidado, pois só podemos colocar esse eixo de variação das variáveis esféricas, pois fizemos uma mudança adequada pra isso, caso contrário, e não tivesse esse   2 no z ali em cima, o eixo de variação estaria na origem, saca?)

Show, com isso podemos tirar que ρ varia de 0 até o raio da esfera que é 2 ...

0 ≤ ρ ≤ 2

Quanto ao ângulo φ , observe que ele vai de 0 até lá em baixo em 180 ° ...

0 ≤ φ ≤ π

Já o ângulo θ , bem esse cara depende da abertura entre o as retas do módulo...

y = x = - x ,           x ≤ 0   x ,                 x ≥ 0

Para y = x ...

ρ se n ⁡ φ cos ⁡ θ = ρ sin ⁡ φ se n ⁡ θ  

cos ⁡ θ = se n ⁡ θ

E que caso o seno é igual ao cosseno? Justamente! Em 45 ° . No caso de y = - x , vamos obter 135 ° , onde vemos que...

π 4 ≤ θ ≤ 3 π 4

Passo 5

Podemos finalmente regressar à integral tripla onde devemos substituir tudo (inclusive não se pode esquecer-se de multiplicar pelo Jacobiano)...

∭ S   z   d x   d y   d z = ∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 π ∫ 0 2 ρ cos ⁡ φ + 2 ⋅ J   d ρ d φ d θ =

∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 π ∫ 0 2 ρ cos ⁡ φ + 2 ⋅ ρ 2 se n ⁡ φ   d ρ d φ d θ =

∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 π ∫ 0 2 ρ 3 cos ⁡ φ se n ⁡ φ + 2 ρ 2 se n ⁡ φ   d ρ d φ d θ

Integrando em relação a ρ ...

∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 π ∫ 0 2 ρ 3 cos ⁡ φ se n ⁡ φ + 2 ρ 2 se n ⁡ φ   d ρ d φ d θ =

∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 π ρ 4 4 cos ⁡ φ se n ⁡ φ + 2 ρ 3 3 se n ⁡ φ 0 2 d φ d θ =

∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 π 2 4 4 cos ⁡ φ se n ⁡ φ + 2 2 3 3 se n ⁡ φ d φ d θ =

∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 π 4 cos ⁡ φ se n ⁡ φ + 16 3 se n ⁡ φ d φ d θ

Integrando em φ agora...

∫ π 4 3 π 4 ∫ 0 π 4 cos ⁡ φ se n ⁡ φ + 16 3 se n ⁡ φ d φ d θ =

∫ π 4 3 π 4 4 sen 2 ⁡ φ 2 - 16 3 cos ⁡ φ 0 π d θ =

Cuidado para não substituir os limites em θ , heim!

∫ π 4 3 π 4 2 sen 2 ⁡ π - 16 3 cos ⁡ π - 2 sen 2 ⁡ 0 - 16 3 cos ⁡ 0 d θ =

∫ π 4 3 π 4 0 - 16 3 - 1 - 0 - 16 3 d θ =

∫ π 4 3 π 4 32 3 d θ = 32 3   ∫ π / 4 3 π / 4 d θ = 32 3 3 π 4 - π 4 = 32 3 2 π 4

= 16 π 3

Show! :D

Resposta

16 π 3