Exercícios Resolvidos de Alterações na Mudança de Variável

UFRJ, Cálculo III, P1/2013.2, 3

Seja W R 3 o sólido que resulta da interseção das regiões 9 x 2 + 4 y 2 36 , 3 3 2 x y , x 0 , z 0 e z y + 1 , calcular o volume de W .

Passo 1

Vamos fazer um esboço da região W para entender melhor o que está sendo pedido:

Essa região é um pouco confusa mesmo, vamos por partes.

Temos um cilindro de base elíptica dado por 9 x 2 + 4 y 2 = 36 (em azul).

O plano vertical x = 0 está representado em cinza.

A equação 3 3 2 x = y representa no plano x y uma reta, certo? No R 3 ela independe de z , então temos essa reta ao longo de z , gerando um plano vertical. Como o coeficiente angular 3 3 2 é positivo, essa reta corta o 1 º e o 3 º quadrante. A parte que vai nos interessar é onde x , y > 0 , como na figura.

O plano z = 0 limita a região por baixo, é fácil visualizar. Falta, agora, o plano z = y + 1 , representado em verde. Podemos interpretá-lo como a reta z = y + 1 do plano y z repetida ao longo de eixo x .

Essa é a região vista de cima, para você entender melhor:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos escrever matematicamente essa região W . Como o sólido possui simetria em relação ao eixo z e é limitado lateralmente por um cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas. Faremos:

x = 2 r cos θ

y = 3 r sen θ

z = z

J = 6 r

Perceba que o cilindro possui base elíptica! Por isso adicionamos esses coeficientes 2 e 3 na substituição.

Passo 3

Vamos, agora, descobrir os intervalos de integração. Vamos começar pela variação de r .

9 x 2 + 4 y 2 = 36 9 ( 2 r cos θ ) ^ 2 + 4 ( 3 r sen θ ) 2 = 36  

36 r 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) = 36 r = 1

Assim, temos que a variação de r será 0 r 1 .

Passo 4

Pelo gráfico, vemos que os valores de θ variam desde o plano 3 3 2 x = y até o plano x = 0 , o que nos dá θ i θ π / 2 , certo? Vamos, então, fazer a substituição cilíndrica na equação desse plano pra descobrir o outro valor desse θ i :

3 3 2 2 r cos θ i = 3 r   sen θ i

3 cos θ i = sen θ i   tg θ i = 3     θ i = π / 3

Temos, então, π / 3 θ π / 2 .

Passo 5

Agora só falta o intervalo de z . Veja que o sólido está limitado embaixo pelo plano z = 0 e em cima pelo plano inclinado z = y + 1 (por isso é muito importante que você entenda a região de integração). Vamos, então, fazer a mudança de variáveis nesse plano:

z = 3 r   sen θ + 1

Temos, então 0 z 3 r sen θ + 1 . Assim, nossa região de integração será escrita como:

W = { ( r , θ , z ) | π / 3 θ π / 2 ; 0 r 1 ;   0 z 3 r   sen θ + 1   }

Passo 6

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

π / 3 π / 2 0 1 0 3 r   sen θ + 1   6 r d z d r d θ =

Passo 7

Integrando em relação a z , temos:

= π / 3 π / 2 0 1 6 r z z = 0 z = 3 r   sen θ + 1 d r d θ =

= π / 3 π / 2 0 1 6 r ( 3 r   sen θ + 1 ) d r d θ =

= π / 3 π / 2 0 1 18 r 2   sen θ + 6 r   d r d θ =

Passo 8

Agora, integramos em relação a r :

= π / 3 π / 2 18 r 3 3 sen θ + 6 r 2 2 r = 0 r = 1 d θ =

= π / 3 π / 2 6 sen θ + 3 d θ =

Passo 9

Finamente, integramos em relação a θ :

= - 6 cos θ + 3 θ π / 3 π / 2 =

= 0 + 3 π 2 - - 6 . 1 2 + 3 π 3 =

Resposta

π 2 + 3

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