Exercícios Resolvidos de Amostragem

Ver Teoria

Enunciado

Calcule a taxa de Nyquist para os sinais abaixo:

  1. x t = cos ⁡ ( 100 π t )
  2. x t = 2 cos ⁡ ( 100 π t )
  3. x t = co s 2 ⁡ ( 100 π t )

Passo 1

Para calcular a taxa de Nyquist, precisamos saber a frequência do sinal. Para a função cosseno, assim como para a função seno, a frequência é dada pelo argumento da função. Ou seja:

x t = c o s ⁡ ( ω t )

A frequência da função, em r a d / s e g é igual a ω .

Para a letra a) teremos então:

ω = 100 π   r a d / s e g

Passo 2

Como estamos em busca da taxa de Nyquist, essa medida é mais comumente dada em H z (amostras por segundo). Para fazer a mudança de unidade usaremos:

f = ω 2 π

Onde f é a frequência em H z e ω é a frequência em r a d / s e g .

Vamos então encontrar a frequência do nosso sinal em H z :

f = 100 π 2 π = 50 H z

Passo 3

Agora só falta encontrar a taxa de Nyquist.

A taxa de Nyquist é igual ao dobro da frequência máxima de um sinal. Como aqui só temos uma frequência, a taxa de Nyquist para a letra a) será:

f s = 2 × 50 = 100   H z

Passo 4

Para o item b), podemos perceber que se trata da mesma função, porém multiplicado por uma constante.

A função cosseno quando multiplicada por uma constante não terá sua frequência alterada, apenas a sua magnitude. Os gráficos abaixo demonstram isso:

Os gráficos mostram os sinais da letra a) e b) respectivamente. Perceba que devido à multiplicação pela constante, a amplitude do sinal (tamanho dos picos e vales) dobrou, mas a frequência (quantidade de ciclos) num mesmo intervalo se manteve a mesma.

Portanto, a frequência do sinal não mudou e portanto a taxa de Nyquist para esse sinal também não mudará:

f s = 100   H z

Passo 5

Para a letra c) teremos novamente o mesmo sinal, porém dessa vez, elevado ao quadrado.

Quando elevamos a função cosseno ao quadrado, toda a parte negativa dessa função será refletida para o eixo positivo:

Podemos perceber que quando comparamos o gráfico do sinal do item c) com o do item a) a frequência foi dobrada (dobrou a quantidade de ciclos), portantoa taxa de Nyquist também será dobrada:

f s = 2 × 100 = 200   H z

Resposta

  1. f s = 100   H z
  2. f s = 100   H z
  3. f s = 200   H z