Exercícios Resolvidos de Amostragem

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Enunciado

Dado o sinal abaixo, qual seria a frequência do sinal discreto caso o sinal seja amostrado a uma taxa de 125   H z .

x t = sen ⁡ ( 200 π t )

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos usar o gráfico do sinal para facilitar a visualização:

Perceba que o tempo que o sinal demora para completar um ciclo completo é de 0,01 , fazendo com que a frequência seja de 100   H z :

f = 1 0,01 = 100   H z

Esse valor é condizente com o valor que encontraríamos pela expressão do sina pois:

ω = 200 π   r a d / s e g

f = ω 2 π = 100   H z

Passo 2

O sinal será amostrado a uma taxa de 125   H z . O que quer dizer que a cada segundo, 125 amostras serão colhidas.

Vamos determinar quanto tempo leva para colher cada amostra:

f = a m o s t r a s t e m p o

125 = 1 Δ t

Δ t = 1 125 = 0,008

Ou seja, a cada 0,008 segundos, uma amostra é feita.

Passo 3

Vamos fazer a amostragem usando o gráfico da função acima e uma amostra a cada 0,008 segundos:

Passo 4

Repara que o ciclo começa em 0,0 só se conclui em 0,0 8 . Podemos calcular a frequência do sinal amostrado então:

f = c i c l o s t e m p o

f = 1 0,08 = 12 , 5   H z

Que é uma frequência oito vezes menor do que a frequência do sinal contínuo. Isso aconteceu porque a amostragem foi feita numa taxa menor que a taxa de Nyquist. Para esse caso a taxa de Nyquist seria:

f s = 2 × 100 = 200   H z

Ou seja, qualquer amostragem que fosse feita a uma taxa superior a 200   H z a frequência do sinal amostrado seria igual à do sinal contínuo. Como a taxa de amostragem foi menor, a frequência não foi a mesma. Isso é o que chamamos de aliasing.

Resposta

f = 12,5   H z