Exercícios Resolvidos de Ângulo de Torção e Problemas Estaticamente Indeterminados

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 149-5.66.

O dispositivo serve como uma mola de torção compacta. É feito de aço A-36 e composto por um eixo interno maciço C B embutido em um tubo A B e acoplado a esse tubo por um anel rígido em B . Podemos considerar que o anel em A também é rígido e está preso de modo que não pode girar. Se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τ a d m = 84   M P a e o ângulo de torção em C estiver limitado a ϕ a d m = 3 ° , determine o torque máximo T que pode ser aplicado na extremidade C .

Dados: G a ç o = 75   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo maciço B C possui um raio c B C = 12,5   m m enquanto que o tubo A B possui um raio externo c A B = 25   m m e um raio interno c A B , i n t = 18,75   m m .

O eixo tem um comprimento L B C = 600   m m enquanto que o tubo tem um comprimento L A B = 300   m m .

Ambos possuem um módulo de elasticidade transversal G = G a ç o = 75   G P a .

E ambos estão submetidos ao mesmo torque T , sendo que, a partir desse torque, é possível calcular:

1. Tanto a tensão de cisalhamento máxima em cada peça, usando a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

2. Quanto o ângulo de torção em cada peça, usando a sua fórmula:

ϕ = T L G J

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o torque máximo T que pode ser aplicado nessa dispositivo, tendo em mente que:

1. A tensão de cisalhamento máxima τ m á x tanto no tubo A B quando no eixo B C não pode ultrapassar a tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 84   M P a :

τ m á x A B ≤ τ a d m

&

τ m á x B C ≤ τ a d m

& 2. O ângulo de torção em C ( ϕ C ), que é igual à soma dos ângulos de torção do tubo A B ( ϕ A / B ) e do eixo B C ( ϕ B / C ), não pode ultrapassar o limite ϕ a d m = 3 ° :

ϕ C ≤ ϕ a d m

ϕ A / B + ϕ B / C ≤ ϕ a d m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar o exercício verificando as condições relativas à tensão de cisalhamento máxima:

τ m á x A B ≤ τ a d m

&

τ m á x B C ≤ τ a d m

Aplicando a fórmula da torção para o tubo A B e para o eixo B C (ambos submetidos ao mesmo torque T ), essas condições acima ficam assim:

T c A B J A B ≤ τ a d m

&

T c B C J B C ≤ τ a d m

Como o tubo A B possui um raio externo c A B e um raio interno c A B , i n t , o seu momento de inércia polar J A B vai ser:

J A B = π 2 c A B 4 - c A B , i n t 4

Já para o eixo B C , maciço, vamos ter que:

J B C = π 2 c B C 4

Substituindo essas fórmulas nas expressões anteriores, vamos ter que:

T c A B π 2 c A B 4 - c A B , i n t 4 ≤ τ a d m

&

T c B C π 2 c B C 4 ≤ τ a d m

Queremos avaliar qual é o torque T máximo que pode ser aplicado, então devemos isolá-lo.

Fazendo isso, as nossas expressões ficam assim:

T ≤ τ a d m π 2 c A B 4 - c A B , i n t 4 c A B

&

T ≤ τ a d m π 2 c B C 4 c B C

Ainda podemos arrumar essas expressões, deixando elas assim:

T ≤ τ a d m π c A B 4 - c A B , i n t 4 2 c A B

&

T ≤ τ a d m π c B C 3 2

Agora, substituímos os valores:

  • τ a d m = 84   M P a = 84   N / m m 2 ;
  • c A B = 25   m m ;
  • c A B , i n t = 18,75   m m ;
  • & c B C = 12,5   m m ,

Para encontrarmos que:

T ≤ 1409345   N * m m

&

T ≤ 257709   N * m m

Como esses números são muito grandes, podemos reescrevê-los em N * m , encontrando assim as seguintes condições limitantes do torque T :

T ≤ 1409   N * m       (Condição 1)

&

T ≤ 258   N * m       (Condição 2)

Passo 3

Agora, vamos verificar a condição referente aos ângulos de torção:

ϕ A / B + ϕ B / C ≤ ϕ a d m

Aplicando a fórmula do ângulo de torção para o tubo A B e para o eixo B C (ambos submetidos ao mesmo torque T ), essa condição acima fica assim:

T L A B G J A B + T L B C G J B C ≤ ϕ a d m

Colocando T / G em evidência, temos que:

T G L A B J A B + L B C J B C ≤ ϕ a d m

E isolando o torque T , encontramos que:

T ≤ ϕ a d m G L A B J A B + L B C J B C

Substituindo as fórmulas dos momentos polares de inércia J , já definidas no passo anterior, isso tudo fica assim:

T ≤ ϕ a d m G L A B π 2 c A B 4 - c A B , i n t 4 + L B C π 2 c B C 4

Sim, isso está meio assustador...

Mas não é nada que uma arrumadinha não resolva.

Dá para colocar o 1 / ( π / 2 ) em evidência, por exemplo:

T ≤ ϕ a d m G 1 ( π / 2 ) L A B c A B 4 - c A B , i n t 4 + L B C c B C 4

E aí multiplicar essa expressão por esse termo invertido, ou seja, por ( π / 2 ) :

T ≤ π ϕ a d m G 2 L A B c A B 4 - c A B , i n t 4 + L B C c B C 4

E pronto, já ficou um pouco melhor a cara da expressão!

Agora, a tentação é substituir os valores:

  • ϕ a d m = 3 ° ;
  • G = 75   G P a = 75   k N / m m 2 ;
  • L A B = 300   m m ;
  • L B C = 600   m m ;
  • c A B = 25   m m ;
  • c A B , i n t = 18,75   m m ;
  • & c B C = 12,5   m m ,

E encontrar o valor máximo para o torque T .

Mas a verdade é que ainda não podemos fazer isso.

Isso porque não podemos usar o valor ϕ a d m = 3 ° .

Se usarmos ele, o nosso resultado final para T vai sair em uma unidade bizarra como k N * m m * ° (graus).

Precisamos converter esse valor de ϕ a d m para radianos!

Para fazer isso, multiplicamos ele por ( π   r a d ) / 180 ° :

ϕ a d m = 3 ° * π   r a d 180 °

E encontramos que:

ϕ a d m = π 60   r a d

Agora sim, podemos substituir e calcular tudo.

Fazendo isso, vamos encontrar que:

T ≤ 240,02   k N * m m

Para deixar esse resultado em uma unidade mais usual, reescrevemos ele em N * m , encontrando assim a nossa terceira e última condição limitante para o torque T :

T ≤ 240,02   N * m       (Condição 3)

Passo 4

Comparando as três condições encontradas, vemos que a condição mais limitante é a condição 3 :

T ≤ 240,02   N * m

Dessa forma, temos que o maior torque T que pode ser aplicado no ponto C do dispositivo desse exercício é:

Resposta

T = 240,02   N * m

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