Exercícios Resolvidos de Ângulo de Torção e Problemas Estaticamente Indeterminados

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Enunciado

O eixo de aço A-36 tem diâmetro de 50   m m e está preso nas extremidades A e B . Se for submetido ao momento, determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões A C e C B do eixo.

Dados: G a ç o = 75   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo tem um módulo de elasticidade transversal G = G a ç o = 75   G P a , um diâmetro d = 50   m m e, consequentemente, um raio c = d / 2 = 25   m m .

Ele está submetido a um torque T = 300   N ∙ m no ponto C .

E ele está preso nas extremidades A e B , que realizam torques de reação nele de forma a manter o seu equilíbrio.

Usando a regra da mão direita, obtemos o seguinte DCL (diagrama de corpo livre) para esse eixo:

Aplicando as condições de equilíbrio nesse eixo, vamos ter uma única equação (equilíbrio de torques), mas duas incógnitas ( T A e T B ).

Isso significa que esse é um problema estaticamente indeterminado.

Então também vamos precisar de uma equação de compatibilidade para resolver o exercício.

Qual vai ser a equação de compatibilidade nesse caso?

Nesse caso, temos que o eixo está fixo nos pontos A e B .

Assim, temos que o ângulo de torção entre esses dois pontos deve ser igual à zero:

ϕ A / B = 0

Mas o ângulo de torção entre esses dois pontos é igual à soma dos ângulos de torção do trecho A C e do trecho C B :

ϕ A / B = ϕ A / C + ϕ C / B = 0

Essa vai ser a nossa equação de compatibilidade.

Para que ela seja útil, vamos precisar descrever os ângulos de torção de cada trecho do eixo usando a fórmula:

ϕ = T L G J

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a tensão de cisalhamento máxima τ m á x nas regiões A C e C B do eixo.

Essas tensões máximas podem ser calculadas usando a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Mas... para poder usar essas fórmulas, precisamos antes conhecer os torques internos T nos trechos A C e C B desse eixo.

E para conhecer esses torques, vamos ter que usar o equilíbrio de torques e a equação de compatibilidade acima.

Passo 2

Então vamos começar o exercício identificando os torques internos T nos trechos A C e C B do eixo.

Começamos pelo DCL do eixo:

Em seguida, fazemos uma análise dos esforços internos: secionamos o eixo em cada trecho e observamos os esforços internos nessas seções.

Nessa análise, desenhamos os torques internos em vermelho “saindo” da peça pois essa é a nossa convenção.

Caso os seus professores utilizem a convenção contrária (a de que os torques internos são positivos quando “entram” nas peças), você deve desenhar os torques internos entrando.

Aplicando o equilíbrio de torques ∑ T = 0 em cada caso, temos que:

- T A + T A C = 0       (Seções entre A e C)

&

- T A + T + T C B = 0       (Seções entre C e B)

Isolando os torques T A C e T C B , encontramos que:

T A C = T A

&

T C B = T A - T

Passo 3

Agora que já definimos os torques internos T A C e T C B nos diferentes trechos do nosso eixo, podemos estudar a nossa equação de compatibilidade:

ϕ A / C + ϕ C / B = 0

Aplicando a fórmula do ângulo de torção para cada trecho, e tendo em mente que os dois trechos possuem:

  • O mesmo módulo de elasticidade transversal G ;
  • E a mesma seção transversal circular maciça de raio c , e, consequentemente, o mesmo momento de inércia polar J = π / 2 c 4 ,

Essa equação fica assim:

T A C L A C G J + T C B L C B G J = 0

Multiplicando tudo por G J , temos que:

T A C L A C + T C B L C B = 0

Substituindo T A C = T A e T C B = T A - T :

T A L A C + T A - T L C B = 0

E fazendo as multiplicações, temos que:

T A L A C + T A L C B - T L C B = 0

Colocando T A em evidência, isso fica assim:

T A L A C + L C B - T L C B = 0

E, finalmente, isolando T A , encontramos que:

T A = T L C B L A C + L C B

Substituindo L C B = 0,8   m e L A C = 0,4   m , isso nos diz que:

T A = T 0,8 0,8 + 0,4 = 2 3 T

Assim, temos que os torques internos T A C e T C B no nosso eixo são:

T A C = T A = 2 3 T

&

T C B = T A - T = 2 3 T - T = - 1 3 T

Passo 4

Por fim, agora que já conhecemos os torques T A C e T C B resistido por cada trecho do eixo, podemos calcular as tensões de cisalhamento máxima τ m á x em cada trecho.

Para tanto, usamos a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Para ambos os trechos do eixo, que são ambos maciços e de raio c , o momento polar de inércia J vai ser igual à π / 2 c 4 .

Dessa forma, temos que:

τ m á x = T c π 2 c 4

Simplificando, isso fica assim:

τ m á x = 2 T π c 3

Aplicando essa expressão para o trecho A C , temos:

τ m á x A C = 2 T A C π c 3

Substituindo T A C = 2 / 3 T , temos:

τ m á x A C = 2 2 3 T π c 3 = 4 T 3 π c 3

Finalmente, substituindo os valores:

  • T = 300   N ∙ m = 300000   N ∙ m m ;
  • & c = 25   m m ,
  • Encontramos que:

    τ m á x A C = 8,15   N / m m 2

    Agora, como N / m m 2 = M P a , isso significa que:

    τ m á x A C = 8,15   M P a

    Fazendo o mesmo procedimento para C B , temos:

    τ m á x C B = 2 T C B π c 3

    Substituindo T C B = - 1 / 3 T , temos:

    τ m á x C B = 2 - 1 3 T π c 3 = - 2 T 3 π c 3

    Por fim, substituindo os valores:

  • T = 300   N ∙ m = 300000   N ∙ m m ;
  • & c = 25   m m ,

Encontramos que:

τ m á x C B = - 4,07   M P a

Como para a nossa resposta, só importa a intensidade da tensão de cisalhamento máxima τ m á x C B , retiramos o sinal de negativo na hora de fornecer a nossa resposta final:

τ m á x C B = 4,07   M P a

E assim finalizamos o exercício!

Resposta

τ m á x A C = 8,15   M P a

&

τ m á x C B = 4,07   M P a

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