Exercícios Resolvidos de Ângulo de Torção e Problemas Estaticamente Indeterminados

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 183-3.53.

O eixo composto mostrado consiste em uma jaqueta de latão de 5   m m de espessura ( G l a t ã o = 39   G P a ) unido a um núcleo de aço de 40   m m de diâmetro ( G a ç o = 77,2   G P a ). Sabendo que o eixo está submetido a um torque de 600   N * m , determine ( a ) a tensão de cisalhamento máxima na jaqueta de latão, ( b ) a tensão de cisalhamento máxima no núcleo de aço e ( c ) o ângulo de torção de B relativo a A .

Passo 1

O que está acontecendo?

A jaqueta de latão tem:

  • Um diâmetro interno de 40   m m , e, consequentemente, um raio interno c l a t , i n t = 40   m m / 2 = 20   m m ;
  • Uma espessura e = 5   m m , e, consequentemente, um raio externo c l a t = c l a t , i n t + e = 20   m m + 5   m m = 25   m m ;
  • E um módulo de elasticidade transversal G l a t = 39   G P a .

Já o núcleo de aço tem:

  • Um diâmetro de 40   m m , e, consequentemente, um raio c a ç o = 40   m m / 2 = 20   m m ;
  • E um módulo de elasticidade transversal G a ç o = 77,2   G P a .

Ambas as peças possuem um comprimento L = 2   m e estão suportando, juntas, a um torque de T = 600   N * m .

Como as peças estão suportando esse torque T juntas, temos que a soma dos torques suportados pela jaqueta de latão e pelo núcleo de aço deve ser igual ao torque T total:

T l a t + T a ç o = T       (Equação 1)

Mas essa relação não é suficiente para que a gente possa determinar os valores dos torques T l a t e T a ç o suportados por cada peça.

Então vamos ter que recorrer a uma equação de compatibilidade.

Qual vai ser a equação de compatibilidade nesse caso?

Nesse caso, temos que a jaqueta de latão e o núcleo de aço se torcem juntos.

Dessa forma, eles vão possuir o mesmo ângulo de torção ϕ :

ϕ l a t = ϕ a ç o

Essa vai ser a nossa equação de compatibilidade.

Para que ela seja útil, vamos ter que aplicar, para cada peça, a fórmula do ângulo de torção:

ϕ = T L G J

Assim, vamos poder usar a equação de compatibilidade ϕ l a t = ϕ a ç o para relacionar os torques T l a t e T a ç o .

E o que é que o exercício quer?

Nos itens ( a ) e ( b ) , ele quer saber as tensões de cisalhamento máximas τ m á x na jaqueta de latão e no núcleo de aço, respectivamente.

Para calcular essas tensões, vamos primeiro encontrar os torques T l a t e T a ç o suportados por cada peça, para, em seguida, aplicar a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Já no item ( c ) , ele quer saber o ângulo de torção ϕ do conjunto, que vai ser igual tanto ao ângulo de torção do latão quando ao ângulo de torção do aço:

ϕ = ϕ l a t = ϕ a ç o

Assim, podemos escolher entre calcular ϕ l a t ou ϕ a ç o para determinar o ângulo de torção ϕ do conjunto.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então como vimos, do equilíbrio de torques, temos que:

T l a t + T a ç o = T       (Equação 1)

Mas essa relação não é suficiente para calcular os torques desconhecidos T l a t e T a ç o .

Então...

Vamos recorrer à equação de compatibilidade:

ϕ l a t = ϕ a ç o

Aplicando a fórmula do ângulo de torção ϕ = T L / G J para o latão e para o aço (e tendo em mente que ambas as peças tem o mesmo comprimento L ), isso fica assim:

T l a t L G l a t J l a t = T a ç o L G a ç o J a ç o

Cortando L com L , temos que:

T l a t G l a t J l a t = T a ç o G a ç o J a ç o

E isolando T l a t , encontramos que:

T l a t = G l a t G a ç o   J l a t J a ç o   T a ç o

Agora, da Equação 1, temos que T l a t = T - T a ç o .

Sendo assim, temos que:

T - T a ç o = G l a t G a ç o   J l a t J a ç o   T a ç o

Em seguida, passando T a ç o para o outro lado:

T = G l a t G a ç o   J l a t J a ç o   T a ç o + T a ç o

E colocando T a ç o em evidência:

T = T a ç o 1 + G l a t G a ç o   J l a t J a ç o

Encontramos que:

T a ç o = T 1 + G l a t G a ç o   J l a t J a ç o

Agora, podemos identificar que:

  • A jaqueta de latão vai ter um momento de inércia polar J l a t = π / 2 c l a t 4 - c l a t , i n t 4 ;
  • Enquanto que, para o núcleo de aço, que é maciço, J a ç o = π / 2 c a ç o 4 .

Dessa forma, temos que:

T a ç o = T 1 + G l a t G a ç o   π / 2 c l a t 4 - c l a t , i n t 4 π / 2 c a ç o 4

Cortando ( π / 2 ) com ( π / 2 ) , isso significa que:

T a ç o = T 1 + G l a t G a ç o   c l a t 4 - c l a t , i n t 4 c a ç o 4

Finalmente, substituindo os valores:

  • T = 600   N * m ;
  • G l a t = 39   G P a e G a ç o = 77,2   G P a ;
  • & c l a t = 25   m m , c l a t , i n t = 20   m m e c a ç o = 20   m m ,

Vamos encontrar que:

T a ç o = 347,188   N * m

E como da Equação 1, temos que:

T l a t = T - T a ç o

Podemos substituir T = 600   N * m e T a ç o = 347,188   N * m para encontrarmos que:

T l a t = 252,812   N * m

Passo 3

Agora que já conhecemos os torques T a ç o = 347,188   N * m e T l a t = 252,812   N * m em cada peça, já podemos calcular as tensões de cisalhamento máxima em cada uma delas.

Para tanto, usamos a fórmula da torção:

τ m á x = T c J

Aplicando essa fórmula para a jaqueta de latão, vamos ter que:

τ m á x l a t = T l a t c l a t J l a t

Substituindo J l a t = π / 2 c l a t 4 - c l a t , i n t 4 , isso fica assim:

τ m á x l a t = T l a t c l a t π 2 c l a t 4 - c l a t , i n t 4

Arrumando tudo, temos que:

τ m á x l a t = 2 T l a t c l a t π c l a t 4 - c l a t , i n t 4

Por fim, substituindo:

  • T l a t =   252,812   N * m = 252812   N * m m ;
  • c l a t = 25   m m & c l a t , i n t = 20   m m ,
  • Encontramos que:

    τ m á x l a t = 17,45   N / m m 2

    E como N / m m 2 = M P a , isso significa que:

    τ m á x l a t = 17,45   M P a

    O que é a nossa resposta para o item ( a ) !

    Agora, aplicando a mesma fórmula, mas para o núcleo de aço, temos que:

    τ m á x a ç o = T a ç o c a ç o J a ç o

    Substituindo J a ç o = π / 2 c a ç o 4 , isso fica assim:

    τ m á x a ç o = T a ç o c a ç o π 2 c a ç o 4

    E simplificando tudo, temos que:

    τ m á x a ç o = 2 T a ç o π c a ç o 3

    Finalmente, substituindo:

  • T a ç o =   347,188   N * m = 347188   N * m m ;
  • & c a ç o = 20   m m ,

Encontramos nossa resposta para o item ( b ) :

τ m á x l a t = 27,6   N / m m 2 = 27,6   M P a

Passo 4

Agora só falta o item ( c ) : calcular o ângulo de torção.

Para tanto, vamos optar por calcular o ângulo de torção no núcleo de aço:

ϕ = ϕ a ç o

Aplicando a fórmula do ângulo de torção para o núcleo de aço, que possui um comprimento L , temos que:

ϕ = T a ç o L G a ç o J a ç o

Como o núcleo de aço tem seção transversal circular e maciça de raio c a ç o , temos que J a ç o = π / 2 c a ç o 4 , de tal forma que:

ϕ = T a ç o L G a ç o π 2 c a ç o 4

Agora, substituindo os valores:

  • T a ç o = 347,188   N * m = 347 , 188   k N * m m ;
  • L = 2   m = 2000   m m ;
  • G a ç o = 77,2   G P a = 77,2   k N / m m 2 ;
  • & c a ç o = 20   m m ,

Vamos encontrar que:

ϕ = 0,035788   r a d

Multiplicando esse resultado por ( 180 ° ) / ( π   r a d ) , conseguimos convertê-lo para graus:

ϕ = 0,035788   r a d * 180 ° π   r a d

Calculando tudo, encontramos nossa resposta para o item ( c ) e finalizamos o exercício:

ϕ = 2,05 °

Resposta

a   τ l a t ã o = 17,45   M P a

b   τ a ç o = 27,6   M P a

&

c   ϕ = 2,05 °

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