Exercícios Resolvidos de Ângulo de Torção e Problemas Estaticamente Indeterminados

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Enunciado

Os torques mostrados são aplicados nas polias A , B e C . Sabendo que ambos os eixos têm seção transversal cheia e são feitos de latão ( G = 39   G P a ), determine o ângulo de torção entre ( a ) A e B e ( b ) A e C .

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo A B C é composto pelos segmentos:

  • A B , de comprimento L A B = 1,2   m , diâmetro d A B = 30   m m , e, consequentemente, raio c A B = d A B / 2 = 15   m m ;
  • & B C , de comprimento L B C = 1,8   m , diâmetro d B C = 40   m m , e, consequentemente, raio c B C = d B C / 2 = 20   m m .

Ambos os segmentos são feitos de latão, com um módulo de elasticidade transversal G = 39   G P a .

Além disso, eixo é carregado com torques externos nos seus pontos A , B e C , como mostra o seu DCL (diagrama de corpo livre) abaixo, feito utilizando a regra da mão direita:

A partir desse DCL, é possível fazer uma análise dos esforços internos para descobrir o valor dos torques internos T A B e T B C nos segmentos A B e B C do eixo, respectivamente.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o ângulo de torção ϕ entre os pontos A e B ( ϕ A / B ) e entre os pontos A e C ( ϕ A / C ).

Para calcular ϕ A / B , que é o ângulo de torção do segmento A B do eixo, podemos usar a fórmula do ângulo de torção:

ϕ = T L G J

Além disso, também podemos usar essa fórmula para calcular o ângulo de torção ϕ do segmento B C do eixo, ϕ B / C .

Daí que, somando ϕ A / B com ϕ B / C , vamos encontrar ϕ A / C :

ϕ A / C = ϕ A / B + ϕ B / C

Passo 2

Vamos começar o exercício fazendo uma análise dos esforços internos na peça para identificar os valores dos torques internos nos trechos A B e B C , T A B e T B C .

Primeiro, fazemos seções dentro desses trechos e desenhamos os torques internos desconhecidos:

Nessa análise, desenhamos os torques internos em vermelho “saindo” da peça pois essa é a nossa convenção.

Caso os seus professores utilizem a convenção contrária (a de que os torques internos são positivos quando “entram” nas peças), você deve desenhar os torques internos entrando.

Em seguida, aplicamos o equilíbrio de torques ∑ T = 0 para cada trecho:

- 400 + T A B = 0       (Seções entre A e B)

&

- 400 + 1200 + T B C = 0       (Seções entre B e C)

Isolando os torques desconhecidos T A B e T B C nessas equações, encontramos que:

T A B = 400   N ∙ m

&

T B C = - 800   N ∙ m

Passo 3

Agora, podemos calcular os ângulos de torção dos segmentos A B e B C usando a fórmula:

ϕ = T L G J

Primeiro, temos que ambos esses segmentos possuem seções circulares maciças, e assim, tem um momento de inércia polar J = π / 2 c 4 .

Usando isso, temos que:

ϕ = T L G π 2 c 4

Arrumando tudo, isso fica assim:

ϕ = 2 T L π G c 4

Agora, aplicando essa expressão para o segmento A B , temos:

ϕ A / B = 2 T A B L A B π G c A B 4

Substituindo:

  • T A B = 400   N ∙ m ;
  • L A B = 1,2   m ;
  • G = 39   G P a = 39 * 10 9   N / m 2 ;
  • & c A B = 15   m m = 0,015   m ,
  • Encontramos que:

    ϕ A / B = 2 400   N ∙ m 1,2   m π 39 * 10 9   N / m 2 0,015   m 4

    O que nos dá a resposta do item ( a ) :

    ϕ A / B = 0,154772   r a d

    aplicando a expressão para o segmento B C , temos:

    ϕ B / C = 2 T B C L B C π G c B C 4

    Substituindo:

  • T B C = - 800   N ∙ m ;
  • L B C = 1,8   m ;
  • G = 39   G P a = 39 * 10 9   N / m 2 ;
  • & c B C = 20   m m = 0,02   m ,

Encontramos que:

ϕ B / C = - 0,146912   r a d

Passo 4

Encontrados ϕ A / B e ϕ B / C , podemos soma-los para encontrar ϕ A / C :

ϕ A / C = ϕ A / B + ϕ B / C

Substituindo os valores encontrados, temos que:

ϕ A / C = 0,154772   r a d - 0,146912   r a d

Calculando isso, encontramos a nossa resposta para o item ( b ) :

ϕ A / C = 0,007860   r a d

Passo 5

Apesar de que o exercício não especificou no enunciado que ele queria os resultados em graus ( ° ) e não em radianos ( r a d ), ele forneceu o gabarito final em graus.

A verdade é que muitos professores preferem resultados em graus, então precisamos saber fazer essa conversão.

Lembra aí...

Você pode converter radianos para graus usando a relação de que π   r a d equivale à 180 ° :

π   r a d = 180 °

Ou seja:

1   r a d = 180 ° π

Substituindo isso nas nossas respostas, vamos ter que:

a   ϕ A / B = 0,154772   180 ° π

&

b   ϕ A / C = 0,007860   180 ° π

Calculando tudo, encontramos as nossas respostas finais:

Resposta

a   ϕ A / B = 8,87 °

&

b   ϕ A / C = 0,450 °

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