Exercícios Resolvidos de Área com Integral imprópria

Ver Teoria

Enunciado

Passo 1

Bom, a questão já nos deu tudo que precisamos para estruturar a integral da área. Em y , estamos entre duas funções de x . Logo, a função que nós vamos integrar é a diferença entre a que limita a parte superior ( 1 / x 2 , no caso) menos a que limita a parte inferior ( e - x nessa questão).

f x = 1 x 2 - e - x

Já os limites de integração tem que ser 1 e + ∞ já que x deve ser ≥ 1 :

A = ∫ 1 + ∞ f x = ∫ 1 + ∞ 1 x 2 - e - x d x

Passo 2

Resolvendo a integral imprópria, teremos:

∫ 1 + ∞ 1 x 2 - e - x d x = - 1 x + e - x [ + ∞ 1

= lim a → + ∞ ⁡ - 1 x + e - x [ a 1 = lim a → + ∞ ⁡ - 1 a + e - a - - 1 1 + e - 1

= lim a → + ∞ ⁡ - 1 a + e - a + 1 - 1 e

Substituindo o limite, os termos com a vão zerar!

lim a → + ∞ ⁡ - 1 a + e - a + 1 - 1 e = - 1 + ∞ + e - ∞ + 1 - 1 e

= 0 + 0 + 1 - 1 e = 1 - 1 e

Resposta

A = 1 - 1 e   u . a .

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita). S = x , y x ≥ 0 ,0 ≤ y ≤ x x 2 + 9 }
Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita). S = x ,y ; x ≥ 1 ,0 ≤ y ≤ e - x
Se g x = 1 x - 1 , use sua calculadora ou computador para fazer uma tabela de valores aproximados de ∫ 2 t g x d x para t = 5 , 10 , 100 , 1000 e 10000 . Parece que ∫ 2 ∞ g x d x é convergente ou dive
Esboce a região e encontre sua área (se for finita) x , y ; x ≥ 1,0 ≤ y ≤ 1 x 3 + x
Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita). S = x , y 0 ≤ x ≤ π 2 ,0 ≤ y ≤ sec 2 ⁡ x }