Lista de Exercícios Resolvidos de Área com Integral imprópria

Exercícios de Fixação Resolvidos

Considere a região R dada por

R = x , y ∈ R x ≥ 0   e   0 ≤ y ≤ x 2 e - x }

a Determine, se possível, a área de R .

b Discuta a convergência da integral

∫ 0 ∞ x 2 e - x sen 6 ⁡ x d x .

Calcule a área da região limitada pelo eixo x e pelo gráfico de y = x - 1 e - x , para x ≥ 1

Determine a área abaixo da função

f x = 1 x 2 - 16

No intervalo 4 ≤ x ≤ 5

Considere as funções:

f x = 1 - x 2 ,       x ≤ 0 e - x ,       x > 0

g x = 3 x 2 ,       x ≤ 0 0 ,       x > 0

E seja R a região ilimitada definida por R = x , y ∈ R 2 ; g x ≤ y ≤ f x .

  1. Faça um esboço de R
  2. Calcule a área de R

Calcule a área da região limitada pelo eixo x e pelo gráfico de y = x - 1 e - x , para x ≥ 1

Considere a região infinita R limitada pela curva

y = e - x 2 x 2 + 1 2     - ∞ < x < ∞

e pelo eixo x . Escreva uma integral que represente a área de R e determine, sem calcular a integral, se essa região tem a área finita ou infinita. Justifique sua resposta.

Considere a região R a delimitada pelas curvas f x = x - 2 e g x = x - 3 , para x ≥ a .

( a ) Determine a área da região R a no caso a = 1 .

( b ) Determine o valor de a > 0 para que a área de R a seja o dobro da obtida no item anterior.

Considere a região R dada por

R = x , y ∈ R x ≥ 0   e   0 ≤ y ≤ x 2 e - x }

a Determine, se possível, a área de R .

b Discuta a convergência da integral

∫ 0 ∞ x 2 e - x sen 6 ⁡ x d x .

Q01) Seja f : 1 , + ∞ → I R a função definida por f x = 2 x - 1 x 2 - 1 , cujo gráfico está esboçado abaixo:

Considere a seguinte região plana:

R = x , y ∈ I R 2   x ≥ 2   ,   0 ≤ y ≤ f x

Sabendo que as retas x = 1 e y = 0 são assíntotas do gráfico de f , faça o que se pede

  1. Escreva a área da região R como uma integral na variável x . Neste item não é necessário calcular a integral
  2. Calcule a área da região R e conclua que ela é infinita

Considere as funções:

f x = 1 - x 2 ,       x ≤ 0 e - x ,       x > 0

g x = 3 x 2 ,       x ≤ 0 0 ,       x > 0

E seja R a região ilimitada definida por R = x , y ∈ R 2 ; g x ≤ y ≤ f x .

  1. Faça um esboço de R
  2. Calcule a área de R

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