Exercícios Resolvidos de Área com Integral imprópria

UNICAMP - Cálculo 1 - P3 2008.1 a – 4

Calcule a área da região limitada pelo eixo x e pelo gráfico de y = x - 1 e - x , para x ≥ 1

Passo 1

É o seguinte, eu não vou nem esboçar esse gráfico por que eu não faço ideia dos detalhes dele.

Juro, não faço ideia de como fica um polinômio do primeiro grau multiplicado a uma exponencial.

Agora, Eu sei que se ele for um gráfico positivo no intervalo pedido [ 1 , + ∞ ] , então sua área será dada por:

A = ∫ a b f ( x ) d x

Caso seja negativo, será o oposto:

A = - ∫ a b f ( x ) d x

Agora, independente de como seja o gráfico, sei que ele só tem uma raiz, justamente em 1 pois o polinômio ali zeraria. Como exponencial é sempre positiva e o ( x - 1 ) é positivo no intervalo x ≥ 1 podemos dizer que a área será dada pela primeira integral que coloquei. Agora, ele não tem limite superior, né? Bom, isso significa que teremos de usar uma integral imprópria. Vai ser

A = ∫ 1 ∞ f ( x ) d x

Temos que fazer o limite,

A = l i m a → ∞ ∫ 1 a f x d x  

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Passo 2

Agora, para facilitar a análise eu vou primeiro integrar e depois usar os limites, ok?

∫ x - 1 e - x d x

Integral por partes, né? Pelo LIATE nosso u será ( x - 1 ) :

u = x - 1   ; d v = e - x d x

d u = d x   ; v = - e - x

∫ x - 1 e - x d x = x - 1 - e - x - ∫ - e - x d x

= x - 1 - e - x - e - x = ( - e - x ) x

Passo 3

Agora podemos aplicar os limites de integração, lembrando que se trata de uma integral imprópria:

l i m a → ∞ - e - x x   | 1 a   = l i m a → ∞ - e - a a - - e - 1 1  

1 e - l i m a → ∞ a e a  

Para esse limite podemos usar L’Hospital:

l i m a → ∞ a e a     L ' H ⇒ l i m a → ∞   1 e b   = 1 ∞ = 0

Assim, temos a resposta:

1 e - l i m a → ∞ a e a   = 1 e

Resposta

A = 1 e   u . a .

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