Exercícios Resolvidos de Área com Integral imprópria

Área entre Curvas

Calcule a área da região limitada pelo eixo x e pelo gráfico de y = x - 1 e - x , para x ≥ 1

Passo 1

É o seguinte, eu não vou nem esboçar esse gráfico por que eu não faço ideia dos detalhes dele. Juro, não faço ideia de como fica um polinômio do primeiro grau multiplicado a uma exponencial. Agora, Eu sei que se ele for um gráfico positivo no intervalo pedido [ 1 , + ∞ ] , então sua área será dada por:

A = ∫ a b f ( x ) d x

Caso seja negativo, será o oposto:

A = - ∫ a b f ( x ) d x

Agora, independente de como seja o gráfico, sei que ele só tem uma raiz, justamente em 1 pois o polinômio ali zeraria. Como exponencial é sempre positiva e o ( x - 1 ) é positivo no intervalo x ≥ 1 podemos dizer que a área será dada pela primeira integral que coloquei. Agora, ele não tem limite superior, né? Bom, isso significa que teremos de usar uma integral imprópria. Agora, para facilitar a análise eu vou primeiro integrar e depois usar os limites, ok?

∫ x - 1 e - x d x

Integral por partes, né? Pelo LIATE nosso u será ( x - 1 ) :

u = x - 1   ; d v = e - x

d u = d x   ; v = - e - x

∫ x - 1 e - x d x = x - 1 - e - x - ∫ - e - x d x

= x - 1 - e - x - e - x = ( - e - x ) x

Agora podemos aplicar os limites de integração, lembrando que se trata de uma integral imprópria:

lim b → ∞ ⁡ - e - x x [ b 1

lim b → ∞ ⁡ - e - b b - - e - 1 1

1 e - lim b → ∞ ⁡ b e b

Para esse limite podemos usar L’Hospital:

lim b → ∞ ⁡ b e b ⇒ L ' H lim b → ∞ ⁡ 1 e b = 1 ∞ = 0

Assim, temos a resposta:

1 e - lim b → ∞ ⁡ b e b = 1 e

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Resposta

A = 1 e   u . a .

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