Exercícios Resolvidos de Área com Integral imprópria

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2015.1 - 3a

Considere a região R dada por

R = x , y R x 0   e   0 y x 2 e - x }

a Determine, se possível, a área de R .

b Discuta a convergência da integral

0 x 2 e - x sen 6 x d x .

Passo 1

a Para resolver a maioria das questões nós começamos esboçando o gráfico dado para então calcular a área gerada por ele. Acontece que nessa questão isso não é necessário, uma vez que basta sabermos algumas características da região para já saber como ficará a nossa integral.

Vamos pensar: trabalhamos numa região onde x 0 e que y fica entre y = 0 e y = x 2 e - x . Acontece que essa curva, o x 2 e - x será sempre positivo, já que é produto de duas funções positivas para qualquer x . Com isso, a gente sabe que a área será a integração dessa curva de 0 até o limite máximo que x assume. Ué, mas x não está limitado na região. Bom, isso só pode significar uma coisa: o limite de integração superior é + .

Assim, a conclusão é essa função aqui:

A = 0 x 2 e - x d x

Vamos fazer esse cara pela integração por partes.

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Passo 2

Vamos chamar pelo LIATE o termo algébrico (polinômio) de u e o resto de d v .

u = x 2 d u = 2 x d x

d v = e - x d x v = - e - x

A = 0 x 2 e - x d x = ( x 2 - e x ) [ 0 - 0 2 x - e - x d x

A = 0 x 2 e - x d x = ( - x 2 e - x ) [ 0 + 0 2 x e - x d x

Vamos resolver essa outra integral para depois voltar para cá.

Passo 3

Caímos em outra integral com polinômio e exponencial, novamente vamos usar integração por partes e novamente usamos o LIATE com o 2 x sendo o novo u

u = 2 x d u = 2 d x

d v = e - x d x v = - e - x

0 2 x e - x d x = ( 2 x - e - x ) [ 0 - 0 2 - e - x d x

0 2 x e - x d x = ( - 2 x e - x ) [ 0 + 0 2 e - x d x

= - 2 x e x - 2 e - x [ 0

Vamos voltar à expressão inicial e substituir essa integral:

A = 0 x 2 e - x d x = ( - x 2 e - x ) [ 0 + 0 2 x e - x d x

A = ( - x 2 e - x - 2 x e x - 2 e - x ) [ 0

Passo 4

Para substituir os limites a gente precisa tomar cuidado, já que essa é uma integral imprópria:

- x 2 + 2 x + 2 e x [ 0 = lim a - x 2 + 2 x + 2 e x [ a 0

= lim a - a 2 + 2 a + 2 e a - - 0 2 + 2 0 + 2 e 0

= lim a - a 2 + 2 a + 2 e a + 2 1

= 2 - lim a a 2 + 2 a + 2 e a

Esse termo do limite que sobrou gera indeterminação do tipo , então podemos usar L’Hospital até que essa indeterminação não seja mais gerada:

lim a a 2 + 2 a + 2 e a L ' H lim a 2 a + 2 e a =

lim a 2 a + 2 e a L ' H lim a 2 e a = 2

= 0

Portanto,

A = 2 - lim a a 2 + 2 a + 2 e a = 2 - 0

= 2   u . a .

Passo 5

b Olha para essa integral que foi pedida:

0 x 2 e - x sen 6 x d x

O cara pergunta se essa integral aí vai convergir. Bom, a função que ele está integrando é basicamente a mesma da qual calculamos a área, com o detalhe desse sen 6 x . Como a gente viu, para esses mesmo limites de integração, a integral convergiu antes. Ora, como sen 6 x por definição será sempre menor ou igual a 1 , a gente conclui que:

x 2 e - x x 2 e - x sen 6 x

Com isso, pelo teorema da comparação, vemos que a integral do item b também vai convergir!

Resposta

a   A = 2   u . a .

b   A   i n t e g r a l   c o n v e r g e .

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