Exercícios Resolvidos de Área com Integral imprópria

Área entre Curvas

Considere a região R a delimitada pelas curvas f x = x - 2 e g x = x - 3 , para x ≥ a .

( a ) Determine a área da região R a no caso a = 1 .

( b ) Determine o valor de a > 0 para que a área de R a seja o dobro da obtida no item anterior.

Passo 1

Começamos, como sempre, esboçando esse espaço aí que o cara deu:

Bom, os gráficos só se tocam em x = 1 , então para achar a área entre eles eu preciso resolver uma integral imprópria. Para x ≥ 1 , f ( x ) é sempre maior que g ( x ) . Assim, o cálculo da integral se resume a isso aqui:

A = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b ( f x - g x )   d x

= lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b ( x - 2 - x - 3 ) d x = lim b → ∞ ⁡ - x - 1 + x - 2 2 [ b 1

= lim b → ∞ ⁡ - 1 b + 1 2 b 2 - - 1 1 + 1 2 1 2

= lim b → ∞ ⁡ - 1 b + 1 2 b 2 + 1 2 = 0 + 1 2

1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, agora além da área depois de x = 1 , que vale 1 / 2 pelo que achamos na letra ( a ) , temos que somar uma área entre os gráficos que vai de x = a até x = 1 . Ou seja,

R a = A a + 1 2

Onde A a é a área de x = a até x = 1

Nesse espaço, g x > f ( x ) , pode substituir uns valores para comprovar isso. Redesenhando as duas hipérboles, teríamos isso aqui:

Ele quer

R a = 2 ∙ 1 2 = 1

Então

1 = A a + 1 2

A a = 1 2

Vamos ter a seguinte integral então

A a = ∫ a 1 ( g x - f x ) d x = 1 2

= ∫ a 1 x - 3 - x - 2 d x = - x - 2 2 + x - 1 [ 1 a = 1 2

- 1 2 1 2 + 1 1 - - 1 2 a 2 + 1 a = 1 2

1 2 - - 1 2 a 2 + 1 a = 1 2

- 1 2 a 2 + 1 a = 0

a = 2 a 2 → a = 0     o u   a = 1 / 2

Desses dois valores, um não pode. Lembra, no enunciado ele pede que a seja maior que 0 . Assim, o a que procuramos é a = 1 / 2 !

Resposta

  1. A = 1 2 u . a .
  2. a = 1 2

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