Exercícios Resolvidos de Cálculo de Limites Através de Séries de Taylor

Ver Teoria

Enunciado

Usando a série de Taylor, calcule

lim x → 0 ⁡ x - a r c t a n ⁡ ( x ) x 3

Obs: a resposta deve ser dada na forma decimal com até três casas decimais exatas.

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

O enunciado nos pede um limite de uma equação bem chatinha hein, então um boa é testar as possibilidades! Logo de cara a gente já percebe que o x não pode simplesmente ser substituído por 0, pois o denominador zeraria, tornando o limite indeterminado!

Por esse motivo, vamos seguir a recomendação do enunciado de resolver o limite por série de Taylor, substituindo por séries de potências, que são polinômios!!

Então se conseguirmos escrever a r c t a n ⁡ ( x ) como polinômio a nossa vida seria mais fácil, né? Aqui nós demos sorte pois a série de Maclaurin é conhecida!

arctan ⁡ x = x - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 - 1 7 x 7 + 1 9 x 9 + …

Passo 2

Vamos substituir o polinômio com quatro termos e achar como podemos aproximar esta função!

x - a r c t a n ⁡ ( x ) x 3 = 1 3 x 3 - 1 5 x 5 + 1 7 x 7 x 3

Belezaaa, podemos continuar simplificando:

1 3 - 1 5 x 2 + 1 7 x 4

Passo 3

Substituindo no limite:

lim x → 0 ⁡ x - a r c t a n ⁡ ( x ) x 3 = lim x → 0 ⁡ 1 3 - 1 5 x 2 + 1 7 x 4

Agora podemos substituir x = 0 , pois não caímos em nenhuma indeterminação!

lim x → 0 ⁡ 1 3 - 1 5 x 2 + 1 7 x 4 = 1 3 = 0,333

Essa questão foi dificinha, né?

Vamos chegamos ao fim, ufaaa

Resposta

0,333

Exercícios de Livros Relacionados

Use a série do Exemplo 12(b) para calcular lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x - x x 3 Encontramos esse limite no Exemplo 4 da Seção 4.4, no Volume I, usando a Regra de L’Hôspital três vezes. Qual método você prefere?
Use séries para calcular o limite.underset(x - 0)(lim) (x - tg^(- 1) x)/(x^3)
Use séries para calcular o limite.underset(x - 0)(lim) (1 - cos x)/(1 + x - e^x)
Use séries para calcular o limite.underset(x - 0)(lim) (sen x - x + (1)/(6) x^3)/(x^5)
Nos Exercícios 15-18, utilize séries para estimar os valores das integrais com um erro de magnitude menor que 10 - 3 . (A seção de respostas apresenta os valores das integrais arredondados para cinco