Exercícios Resolvidos de Cálculo de Limites Através de Séries de Taylor

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 710, exercício 58

Use a série

t g x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 +

Para calcular

lim x 0 t g x - x x 3  

Passo 1

Antes de calcular o limite vamos reescrever a função que queremos encontrar o limite! Para isso vamos substituir

t g x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 +

Usando apenas os três primeiros termos, assim teremos

t g x - x x 3 =   x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 - x x 3  

t g x - x x 3 =   1 3 x 3 + 2 15 x 5 x 3

t g x - x x 3 = 1 3 + 2 15 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já aproximamos a função, vamos calcular o limite!

lim x 0 t g x - x x 3 =   lim x 0 1 3 + 2 15 x 2

Esse limite é bem mais simples de calcular, vamos substituir x = 0

lim x 0 1 3 + 2 15 x 2 = 1 3 + 2 15 0 2   = 1 3

Resposta

Assim, teremos

lim x 0 t g x - x x 3 = 1 3

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