Exercícios Resolvidos de Cálculo de Limites Através de Séries de Taylor

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 710, exercício 56

Use séries para calcular o limite

lim x 0 1 - cos x 1 + x - e x

Passo 1

Para calcular este limite, não podemos substituir x = 0 pois caíremos numa divisão por 0 .

Então se conseguirmos escrever e x e cos x   como um polinômio, sorte nossa que a série de Maclaurin destas funções são conhecidas!

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! +

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! +

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos substituir o polinômio com quatro termos na função e achar como podemos aproximar esta função!

1 - cos x 1 + x - e x =   1 - 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! 1 + x - ( 1 + x + x 2 2 ! )

1 - cos x 1 + x - e x =   x 2 2 - x 4 24 - x 2 2

1 - cos x 1 + x - e x =   - x 2 2 + x 4 24 × 2 x 2

1 - cos x 1 + x - e x = x 2 12 - 1

Passo 3

Substituindo no limite

lim x 0 1 - cos x 1 + x - e x =   lim x 0 x 2 12 - 1

Agora podemos substituir x = 0 pois não caímos em nenhuma indeterminação!

lim x 0 1 - cos x 1 + x - e x = 0 2 12 - 1  

lim x 0 1 - cos x 1 + x - e x = - 1  

Resposta

lim x 0 1 - cos x 1 + x - e x = - 1  

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