Integração de Romberg

Teoria Completa

Introdução

Faaaaaaaaaaaaaaaaaala meu caro, tudo certinho?

Vimos até agora que podemos usar métodos numéricos para obter a solução de uma integral definida do tipo:

∫ a b f x d x

Costumamos fazer essa aproximação por partes, em pontos dentro do intervalo, e normalmente usando pontos com mesma distância entre si.

Talvez você se lembre dos assuntos passados, quando falamos dos métodos dos trapézios e método 1/3 de Simpson ...

Nãooooooooooo, não é desse tipo de Simpson que estamos falando hahahahha

Pois bem, quando usamos esses métodos comparativamente e usando a mesma quantidade de pontos, a precisão do método de Simpson acaba sendo maior que a do método dos trapézios. Até aí tudo suave né?

E onde é que entra o método de Romberg?

O tal do Romberg viu que poderia melhorar e aumentar a precisão da regra dos trapézios aplicando um negócio chamado “extrapolação para o limite” de Richardson... Maaaaaaaaaaaaas vamos focar no nosso coleguinha Romberg.

Como calcular

Basicamente o Método de Romberg consiste na sucessiva aplicação da extrapolação de Richardson à uma quadratura composta de maior exatidão.

A determinação da integral é dada por:

I ≅ ∫ a b f x d x = h k 2 [ f a + f b + 2 ∑ i = 1 2 k - 1 f ( a + i . h k ) ]

Onde:

h k = b - a 2 k - 1

Aqui, h k representa a amplitude entre cada subintervalo.

Quando k = 1 , o limite superior será igual a zero e não precisaremos usar outros termos.

A primeira coisa que iremos fazer para resolver a integral é definir uma nova notação:

R k , j

Onde:

k = 1,2 , … , n

j = 1,2 , … , k

Aí meus caros, temos que ter um valor inicial... certo?

Primeiro quando k = 1 :

R 1,1 = h k 2 f a + f b

Generalizando para k = 2,3 , … , n ficamos com:

R k , 1 = 1 2 [ R k - 1,1 + h k - 1 [ ∑ i = 1 2 k - 2 f ( a + 2 i - 1 h k ) ]

Para situações em que j > 2 :

R k , j = R k , j - 1 + R k , j - 1 - R k - 1 , j - 1 4 j - 1 - 1

Parece confuso? Mas calma... já vamos entender para que serve tudo isso:

E para isso, conseguimos construir uma tabela com a seguinte aparência:

Montamos esse modelo, dependendo do k e chegamos no onde queremos e na resposta certa quando o erro for:

E = R n , n - R n - 1 , n R n , n < ε

Agora, chega de papo furado e bora fazer exercícios pra fixar bem o conteúdo. Bora lá?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Adaptado de Aula 8, Integração Numérica da Estácio

Utilize o conteúdo aprendido para realizar o primeiro passo da Integração de de Romberg para obter uma aproximação para a integral abaixo com k = 1,2 , 3   .

I = ∫ 0 π s e n x d x

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Passo 1

Vamos determinar os termos R k , 1 :

R k , 1 = 1 2 [ R k - 1,1 + h k - 1 [ ∑ i = 1 2 k - 2 f ( a + 2 i - 1 h k ) ]

R 1,1 = h k 2 f a + f b

Para k = 1 :

R 1,1 = ( b - a ) 2 f a + f b

R 1,1 = ( π - 0 ) 2 s e n ( π ) + s e n ( 0 )

R 1,1 = 0

Passo 2

Para k = 2 :

R k , 1 = 1 2 [ R k - 1,1 + h k - 1 [ ∑ i = 1 2 k - 2 f ( a + 2 i - 1 h k ) ]

R 2,1 = 1 2 [ R 1,1 + h 1 . f a + h 2 ]

h k = b - a 2 k - 1

h k = b - a 2

R 2,1 = 1 2 [ R 1,1 + b - a . f a + b - a 2 ]

R 2,1 = 1 2 [ 0 + π - 0 . s e n 0 + π - 0 2 ]

R 2,1 = 1 2 [ π . s e n π 2 ]

R 2,1 = π 2 = 1,5708

Passo 3

Para k = 3 consideramos :

R k , 1 = 1 2 [ R k - 1,1 + h k - 1 [ ∑ i = 1 2 k - 2 f ( a + 2 i - 1 h k ) ]

R 3 , 1 = 1 2 { R 2 , 1 + h 2 . [ f a + h 3 + f a + 3 . h 3 ]

R 3,1 = 1 2 { R 2,1 + h 2 . [ f a + h 3 + f a + 3 . h 3 ]

h 3 = b - a 2 k - 1 = b - a 4

R 3,1 = 1 2 { R 2,1 + b - a 2 . f a + b - a 4 + f a + 3 . b - a 4 }

R 3,1 = 1 2 { R 2,1 + π - 0 2 . f 0 + π - 0 4 + f 0 + 3 . π - 0 4 }

R 3,1 = 1 2 { R 2,1 + π - 0 2 . f 0 + π - 0 4 + f 0 + 3 . π - 0 4 }

R 3,1 = 1 2 { 1,5708 + π 2 . f π 4 + f 3 . π 4 }

R 3,1 = 1 2 { 1,5708 + π 2 . s e n π 4 + s e n 3 . π 4 }

R 3,1 = 1,8962

Resposta

Exercício Resolvido #2

Autoria do Responde Aí

A implementação do método de Romberg é muito importante para facilitar a resolução numérica de integrais.Defina as entradas necessárias para essa implementação numérica:

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Passo 1

Para iniciar o programa, primeiro precisamos definir a função a ser implementada, os limites de integração e o número de iterações:

F=função a ser integrada

Xi=intervalo inicial de integração

Xf= intervalo final de integração

N= número de iterações

Resposta

F

Xi

Xf

N

Exercício Resolvido #3

Autoria do Responde Aí

Encontre o valor da integral abaixo com k = 1 :

∫ 0 1 e x 2 d x

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Passo 1

Consideramos aqui f x = e x 2

A primeira coisa que faremos é calcular o passo h k : h k = b - a 2 k - 1

Se k = 1 ; a = 0   e   b = 1 :

h k = 1 - 0 2 1 - 1 = 1 1 = 1

Passo 2

Utilizando as fórmulas dadas k = 1 :

R 1,1 = h k 2 f a + f b

R 1,1 = 1 2 f 0 + f 1

R 1,1 = 1 2 f 0 + f 1

Se:

f x = e x 2

f 0 = e 0 = 1

f 1 = e 1 2 = e 1

R 1,1 = 1 2 1 + e 1 = 1,8591

Resposta

R 1,1 = 1 2 1 + e 1 = 1,8591

Exercício Resolvido #4

Adaptado de material “ejemplo del método de Romberg”

Encontre o valor da integral abaixo com k = 3 :

∫ 0 1 x 2 e - x d x

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Passo 1

Aqui, levamos em consideração 3 subintervalos e então precisaremos dos seguintes termos conforme tabela: