Enunciado

11. a) Comprove gráfica e analiticamente que se:

i) f ' ' ( x ) é contínua em [ a , b ] , e

ii) f ' ' x > 0 ,     ∀ x ∈ [ a , b ] ,

então, a aproximação obtida para ∫ a b f x d x pela regra dos Trapézios é maior do que o valor exato da ∫ a b f x d x . Considere n = 1 .

b) Sabendo que f x = e x + x 2 satisfaz as condições acima em [ 0,1 ] , e que I = ∫ 0 1 e x + x 2 d x = 2.051 , comprove que a conclusão do item (a) é válida também para a regra dos Trapézios repetida, calculando I com erro inferior a 5 ⋅ 10 - 2 . Use três casas decimais.

Passo 1

a) E aí meu bom! Se liga só!

O erro da regra dos Trapézios envolve a segunda derivada  f ' ' , nos dando o resultado exato quando aplicada a qualquer função cuja segunda derivada seja igual a zero, ou seja, para qualquer função com grau 1 ou menos. Se a segunda derivada der igual a zero, o valor fica mais aproximado do que utilizando o cálculo da integral propriamente dita.

Como vimos, a regra dos trapézios faz uso de uma aproximação de uma função  f ( x )  por meio de uma reta. A aproximação da integral desejada é feita a partir da área do trapézio obtido. Ao aplicar diversas vezes esta regra em um intervalo [ a ,   b ] , ela adequa-se melhor ao cálculo da integral, sendo uma técnica mais refinada em relação à simples aproximação da área por um trapézio e muito útil quando temos uma função  f ( x )   com grau maior que 1   e desejamos, ainda assim, a aproximação por trapézios.

Passo 2

No caso abaixo, a integral de  f ( x )  pode ser aproximada pela área de um único trapézio. Deste modo, observa-se que quanto menor a altura h do trapézio no intervalo [ x 0 , x 1 ] , indicada na imagem abaixo, melhor será a aproximação. 

Dependendo do intervalo/altura utilizada, a aproximação pode ser grosseira. Para melhorarmos tal relação, restringimos o intervalo a um certo tamanho e aplicamos a regra do trapézio repetidas vezes, tomando muitos trapézios com altura tendendo a zero para que a aproximação seja a mais adequada para a função, como mostra a imagem:

Nesse caso, a segunda derivada da função é maior que zero, o que faz com que a aproximação seja melhor com o uso dos trapézios do que com os retângulos propriamente ditos.

Passo 3

b) Agora, vamos recorrer à regra dos trapézios repetida.

Primeiro, vamos ver o número de subintervalos n pra usar...

n h 3 12 M 2 ≤ E T R

Sendo que...

h = 1 - 0 n = 1 n

A segunda derivada da função f x = e x + x 2 , é dada por...

f ' ' x = e x + 2

Calculando f ' ' ( 0 ) e f ' ' ( 1 ) :

f ' ' 0 = 3

f ' ' 1 = e + 2

Podemos ver que o valor máximo é...

M 2 = e + 2

Sendo assim...

n 1 n 3 12 M 2 ≤ 5 ⋅ 10 - 2

e + 2 12 n 2 ≤ 5 ⋅ 10 - 2

n ≥ 2.8

Peguemos então n = 4 !

Logo...

h = 1 n = 0.25

Passo 4

Assim, obtemos a tabela abaixo...

E então, calculando a integral, temos que...

I T R = 0.25 2 [ 1 + 2 ⋅ 1.346525 + 1.898721 + 2.6795 + 3.178282 ]

I T R = 2.086

Obtendo então, nossa resposta!

Resposta

a)

C o m   a   s e g u n d a   d e r i v a d a ,   a   r e g r a   d o s   t r a p é z i o s   d á

  u m a   m e l h o r   a p r o x i m a ç ã o   d a   i n t e g r a l

b)

I T R = 2.086

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Usando a regra do trapézio sobre 5 pontos, calcular:Sabe-se que:
Dada a tabela:Calcular:Pela regra do trapézio usando todos os pontos.
Determine h de modo que a regra do trapézio forneça o valor de:Com erro inferior a 0.5   × 10 − 6   .
Aplicar a regra do trapézio para calcular:Utilizando os dados da tabela a seguir:
Calcular:Pela regra do trapézio, com h = 0.4, 0.2 e 0.1, sabendo que