Enunciado

29. Considere o sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz esparsa.

a) Ache a solução por inspeção

b) Faça mudanças de linhas na matriz original para facilitar a aplicação do método da eliminação de Gauss. O que você pode concluir, de uma maneira geral?

c) Aplique o método de Gauss-Seidel ao sistema. Comente seu desempenho

d) Faça uma comparação da utilização de métodos diretos e iterativos na resolução de sistemas lineares esparsos.

Passo 1

a) Bora lá! Temos a seguinte matriz pro nosso sistema:

1 1 - 1 2 - 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 16 0 0 0 4 0 0 2 2 2 20 4

Chamando de r , s , t , y , w as nossas variáveis. Da linha dois, temos que...

2 r = 2

r = 1

Da linha três...

2 s = 2

s = 1

Da linha cinco...

4 w = 4

w = 1

Da linha quatro...

4 r + 16 y = 20

4 + 16 y = 20

16 y = 16

y = 1

E da primeira linha...

r + s - t + 2 y - w = 2

1 + 1 - 1 + 2 - w = 2

w = 1

Chegamos então, à seguinte solução...

x * = 1 1 1 1 1 T

Passo 2

b) Aplicando agora, o método de Gauss-Jordan, iremos obter a mesma solução do item anterior, ou seja, a seguinte matriz abaixo...

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

Onde, temos como solução...

x * = 1 1 1 1 1 T

Passo 3

c) Vamos ver agora, pelo método de Gauss-Seidel!

Pelo critério de Sassenfeld, temos que...

β 1 = 1 + - 1 + 2 + | - 1 | 1 = 6 > 1

Se o primeiro beta deu bem maior do que 1 , é porque o negócio azedou de vez! O sistema linear não vai convergir pra solução de jeito nenhum!

Passo 4

d) E quanto a essa letra, como podemos ver no item anterior a solução não convergia pelo método de Gauss-Seidel! Isso é bem comum para sistemas lineares esparsos!

Por isso, o método de Gauss-Jordan acaba sendo mais eficaz na hora de resolver esse tipo de sistema!

Resposta

a) x * = 1 1 1 1 1 T

b)

x * = 1 1 1 1 1 T

c)

N ã o   c o n v e r g e

Resposta

a)

x * = 1 1 1 1 T

b)

x * = ( 0 1 1 ) T

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Em cada caso: verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito ;resolva por Gauss-Seidel , se possível: A = 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 ; b = 1 1 1 1
Usando o critério de Sassenfeld, verifique para que valores positivos de k se tem garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema: k x 1 + 3 x 2
27. Prove que no método de Gauss-Seidel vale a relação:
28. a)Um possível teste de parada para um método iterativo é testar se A x k - b está próximo de zero, quando então x k será escolhido como aproximação da solução x * do sistema. Como realizar computa