Enunciado

  1. Usando o critério de Sassenfeld, verifique para que valores positivos de k se tem garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema:
  2. k x 1 + 3 x 2 + x 3 = 1   ( I ) k x 1 + 6 x 2 + x 3 = 2 ( I I ) x 1 + 6 x 2 + 7 x 3 = 3 ( I I I )

  3. Escolha o menor valor inteiro e positivo para k e faça duas iterações do modo de Gauss Seidel para o sistema obtido.
  4. Comente o erro cometido no item (b).

Passo 1

Fala meu camaradinha, tudo certinho?

Bora resover mais um exercício desse livro. Basicamente, vamos resolver um sisteminha de equações lineares.

A primeira coisa que temos que fazer aqui é conferir o critério de Sassenfeld, basicamente vamos testar valores de k para que β < 1

Se k = 1 :

β 1 = 3 + 1 1 = 4

Se k = 2 :

β 1 = 3 + 1 2 = 2

Se k = 3 :

β 1 = 3 + 1 3 = 1,33

Se k = 4 :

β 1 = 3 + 1 4 = 1

Se k = 5 :

β 1 = 3 + 1 5 = 0,8

Logo , quando k > 4   teremos β < 1 . O critério é satisfeito.

Passo 2

Agora, podemos usar o método de Gauss Seidel, faremos com k = 5 (pois é o primeiro número inteiro maior que 4):

5 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 1   ( I ) 5 x 1 + 6 x 2 + x 3 = 2 ( I I ) x 1 + 6 x 2 + 7 x 3 = 3 ( I I I )

Na equação I isolamos x 1 , na equação I I isolamos x 2 e na equação I I I isolamos x 3 :

x 1 = 1 - 3 x 2 - x 3 5

x 2 = 2 - 5 x 1 - x 3 6

x 3 = 3 - x 1 - 6 x 2 7

Basicamente nesse método vai acontecer o seguinte:

Cada iteração serve para encontrarmos o conjunto de pontos ( x 1 , x 2   ,   x 3 ) . Maaaaaaaas, como nem tudo nessa vida é lindo. Vai começar assim : temos um conjunto de pontos nulo onde x ( 0,0 , 0 ) , e usamos x 2 = x 3 = 0 para calcular o primeiro valor de x 1 .

Mas no passo seguinte não podemos fazer isso, porque já conhecemos um x 1 , então apenas x 3 = 0 , quando formos calcular x 3 teremos x 1 e x 2 calculados no passo anterior, faz sentido?

Vamos calcular!

Passo 3

Então vamos comecar considerando x ( 0,0 , 0 ) como passo inicial:

Iteração 1 :

x 1 1 = 1 - 3 x 2 0 - x 3 0 5

x 1 1 = 0,2

x 2 1 = 2 - 5 x 1 1 - x 3 0 6

x 2 1 = 0,166

x 3 1 = 3 - x 1 1 - 6 x 2 1 7

x 3 1 = 0 . 257

Então temos x 1 = 0,2 ; 0,166 ; 0,257 .

O exercício nos pediu 2 iterações, então borá lá!!

Iteração 2 :

x 1 2 = 1 - 3 x 2 1 - x 3 1 5

x 1 2 = 0 . 049

x 2 2 = 2 - 5 x 1 2 - x 3 1 6

x 2 2 = 0,26

x 3 2 = 3 - x 1 2 - 6 x 2 2 7

x 3 2 = 0,2072

Então temos x 2 = 0 . 049   ; 0.26 ; 0.2072 .

Resposta

k > 4

x 2 = 0.049   ; 0.26 ; 0.2072

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