Lista de Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

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Em cada caso verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito e resolva por Gauss-Seidel com ε = 0.0001 , se possível:

a A = 10 1 1 1 10 1 1 1 10 ; b = 12 12 12

b A = 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 ; b = 1 1 1 1

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Dar exemplo de um sistema de equações 2 × 2 que não seja diagonal dominante, mas seja convergente usando o método de Gauss-Seidel.

Obs.: Um sistema é diagonal dominante se para todas as linhas da matriz de coeficientes, o módulo do valor da matriz na diagonal é maior que a soma dos módulos de todos os demais valores (não-diagonais) daquela linha. 

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Dado o sistema linear abaixo. Use precisão ε = 0.1

2 x + y + 4 z =   1 4 x + y + 2 z =       1   x + 4 y + 2 z =     1

  1. O que é possível dizer sobre a sua convergência quando utilizado o método de Gauss- Seidel?
  2. Permutando-se as equações, seria possível garantir convergência para um chute inicial x 0 y 0 z 0 = 0 0 0 ?

Se possível, resolva o sistema para o chute inicial. Use ε = 0.1

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Considere o seguinte sistema de equações lineares:

x 1 + 2 x 2 - x 3     = 1 2 x 1 - x 2         = 1   - x 2 + 2 x 3 - x 4 = 1       - x 3 + 2 x 4 = 1

a Mostre que este sistema não satisfaz o critério de linhas;

b Mostre que esse sistema não satisfaz o critério de Sassenfeld;

c O que se pode afirmar sobre a convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, quando aplicados a este sistema?

d Mostre que o sistema obtido permutando-se as duas primeiras equações satisfaz o critério de Sassenfeld;

e Usando o método de Gauss-Seidel, determine a solução aproximada do sistema, com a permutação sugerida no item anterior e erro ε = 1 × 10 - 3 = 0.001 .

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Considere o sistema linear:

1 1 2 7 5 1 1 1 1 - 6 1 1 1 1 8 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = - 5 4 7 7

a Escreva um sistema linear equivalente tal que o método de Gauss-Seidel convirja.

b Aplique o método de Gauss-Seidel para resolver o sistema modificado utilizando x 0 = 0 , 0,0 , 0 T e com precisão de 0.1 .

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Resolva o sistema linear:

5 x + y + z =   5 3 x + 4 y + z =       6   3 x + 3 y + 6 z =     0

Pelo método de Gauss-Seidel com x 0 y 0 z 0 = 0 0 0 e ε = 5 × 10 - 2

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Resolva pelo método iterativo de Gauss-Seidel, se possível. Use precisão ε = 0.1

0.2 x + y - 0.3 z = - 1.2 0.3 x - 0.1 y - z =       1.5   x - 0.5 y + 0.1 z =     0.5

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Seja o sistema linear:

10 1 - 1 2 10 8 7 1 10 x 1 x 2 x 3 = 10 20 30

a É possível dizer que o Método de Jacobi é convergente para este sistema?

b E o de Gauss-Seidel?

c Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel com x 0 = 0.7 , - 1.6,0.6 T , tolerância de 0.01 .

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