Enunciado

Em cada caso:

  1. verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito ;
  2. resolva por Gauss-Seidel , se possível:

A = 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 ; b = 1 1 1 1

Passo 1

Fala meu camaradinha, tudo certinho?

Bora resover mais um exercício desse livro. Basicamente, vamos resolver um sisteminha de equações lineares.

A primeira coisa que temos que fazer aqui é conferir o critério de Sassenfeld, que basicamente serve para ver se os valores numéricos da diagonal principal são os maiores de suas respectivas fileiras.

Verificando o critério de Sassenfeld:

β 1 = 1 4 = 0.25 < 1

β 2 = 0.25 + 1 4 = 0.3125 < 1

β 3 = 0.3125 + 1 4 = 0.328125 < 1

β 4 = 0.328125 4 = 0.082 < 1

Logo, β = 0.328125 < 1 . O critério é satisfeito.

Agora, podemos começar a resolver o problema usando Gauss-Seidel.

Passo 2

Fala meu camarinha, vamos começar a resolver esse exercício. Mas uma coisa importante que o exercício não nos deu é o critério de parada. Ou seja, aquilo que vai dizer que estamos chegando na resposta certa ou não. Vamos definir um critério de ε = 0.05 só para termos um parâmetro, feshow?

Bora calcular então, vamos primeiro transformar nossa matriz em um sistema de equações:

A = 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 - 1 0 0 - 1 4 ; b = 1 1 1 1

Então, nosso sistema será:

4 x 1 - x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 = 1   ( I ) - x 1 + 4 x 2 - x 3 + 0 x 4 = 1 ( I I ) 0 x 1 - x 2 + 4 x 3 - x 4 = 1 I I I 0 x 1 + 0 x 2 - x 3 + 4 x 4 = 1   ( I V )

Na equação I isolamos x 1 , na equação I I isolamos x 2 e na equação I I I isolamos x 3 , na equação I V isolamos x 4 :

x 1 = 1 + x 2 4

x 2 = 1 + x 1 + x 3 4

x 3 = 1 + x 2 + x 4 4

x 1 = 1 + x 3 4

Basicamente nesse método vai acontecer o seguinte:

Cada iteração serve para encontrarmos o conjunto de pontos ( x 1 , x 2   ,   x 3 , x 4 ) . Maaaaaaaas, como nem tudo nessa vida é lindo. Vai começar assim : temos um conjunto de pontos nulo onde x ( 0,0 , 0 , 0 ) , e usamos x 2 = x 3 = 0 para calcular o primeiro valor de x 1 .

Mas no passo seguinte não podemos fazer isso, porque já conhecemos um x 1 , então apenas x 3 = 0 , quando formos calcular x 3 teremos x 1 e x 2 calculados no passo anterior, faz sentido?

Vamos calcular!

Passo 3

Agora precisamos de um chute inicial. Se a gente jogar 0.5 em todas as variáveis dá valores bem próximos né? Então vamos usar x 0 = 0.5,0.5,0.5,0.5 .

Iteração 1 :

x 1 1 = 1 + x 2 0 4

x 1 1 = 0.375

x 2 1 = 1 + x 1 1 + x 3 0 4

x 2 1 = 0.46875

x 3 1 = 1 + x 2 1 + x 4 0 4

x 3 1 = 0.49219

x 4 1 = 1 + x 3 1 4

x 4 1 = 0.37305

Então temos x 1 = 0.375 ,   0.46875 ,   0.49219 ,   0.37305 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.125 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 1 + x 2 1 4

x 1 2 = 0.36719

x 2 2 = 1 + x 1 2 + x 3 1 4

x 2 1 = 0.46484

x 3 2 = 1 + x 2 2 + x 4 1 4

x 3 2 = 0.45947

x 4 2 = 1 + x 3 2 4

x 4 2 = 0.36487

Então temos x 2 = 0.36719,0.46484,0.45947,0.36487 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.00781 > ε

Como 0,00781 < 0,05 , nós paramos por aqui e teremos como conjunto de pontos:

x 0.36719,0.46484,0.45947,0.36487

Resposta

x 0.36719,0.46484,0.45947,0.36487

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