Enunciado

Considere o seguinte problema:” dado um polinômio de grau n com coeficientes reais, P(z), onde z é uma variável complexa, determinar uma raiz complexa de P ( z ) , se existir, ou seja, resolver a equação P(z) = 0”. Como z   =   x   +   i   y , o polinômio P ( z ) pode ser escrito na forma:

P z = u x , y + v x , y i

Então resolver a equação P z = 0 é equivalente a resolver o seguinte sistema de equações:

{ u x , y = 0   v x , y = 0  

Dada uma aproximação inicial ( x 0 , y 0 ) conveniente, podemos resolver este sistema pela extensão do método de Newton (para sistemas não lineares).

Aplique o processo descrito acima para determinar uma aproximação da raiz complexa de P ( z )   =   z 2   -   2   z   +   3 , tomando como valor inicial ( x 0 , y 0 )   =   ( 1 ,   1 ) .

Passo 1

E aí galera do Responde Aí, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te informa que a variável z é dada por x + y i e pede as raízes do polinômio P z = x 2 - 2 z + 3 = 0 utilizando o método de newton para sistemas de equação não linear.

Basicamente, precisamos substituir o valor de z no polinômio e vamos ter uma parte real e uma imaginária gerando a seguinte equação:

P z = f 1 x , y + f 2 x , y i = 0

E para isso ser verdade, temos que cada parcela precisa ser zero, portanto:

f 1 = 0

f 2 = 0

Uma vez que as equações estão prontas precisamos resolver pelo método de Newton, mas oque é esse método né?

Bem, eu detesto decorar, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton para sistemas de equações não lineares com duas equações e duas variáveis é o seguinte:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.
    1. f 1 , f 2   ≤ 1 E - 3
  4. Quarto passo: Método de Newton
    1. Calcular as derivadas parciais
    2. Calcular os determinantes das matrizes
      1. D = ∂ f 1 ∂ x * ∂ f 2 ∂ y - ∂ f 2 ∂ x * ∂ f 1 ∂ y
      2. D 1 = f 2 ∂ f 1 ∂ y - f 1 ∂ f 2 ∂ y
      3. D 2 = f 1 ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ x f 2
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.
    1. Δ x 1 = D 1 D ,   Δ y 1 = D 2 D
    2. y 1 = Δ y 1 + y 1
    3. x 1 = Δ x 1 + x 1
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Vamos definir aqui que o critério de convergência é 10 - 1 para que não fique muita conta, certinho?

Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, vamos obter as equações não lineares. Não dá para resolver o problema sem as equações né?

As nossas equações são obtidas substituindo z = x + y i no polinômio P ( z ) que foi informado na questão, onde é possível obter a seguinte equação:

P z = z 2 - 2 z + 3 = x + y i 2 - 2 x + y i + 3

Portanto, temos que:

P z = x 2 - y 2 + 2 x y i - 2 x - 2 y i + 3 = x 2 - y 2 - 2 x + 3 + 2 x y - 2 y i = 0

Logo, temos:

f 1 = x 2 - y 2 - 2 x + 3 = 0

f 2 = 2 x y - 2 y = 0

Para utilizar o método de Newton vamos precisar das derivadas, portanto, temos que as derivadas são dadas por:

∂ f 1 ∂ x = 2 x - 2  

∂ f 1 ∂ y = - 2 y

∂ f 2 ∂ x = 2 y

∂ f 2 ∂ y = 2 y - 2

Agora que temos as derivadas e as funções, vamos utilizar o método de Newton e vamos encontrar as raízes do polinômio belezinha?

Vamos lá então.

Passo 3

Para encontrar a segunda raiz vamos utilizar a estimativa fornecida pela questão, uma vez que já calculamos as derivadas, vamos apenas seguir o roteiro.

( 1 ; 1 )

Partindo o mesmo passo a passo, temos que:

  1. Primeiro passo: 1 ; 1
  2. Segundo passo:
    1. f 1 1 ; 1 = 1
    2. f 2 1 ; 1 = 0
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 1 > 1 E - 1 , logo 1 ; 1   não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = 0
    2. ∂ f 2 ∂ x = 2
    3. ∂ f 1 ∂ y = - 2
    4. ∂ f 2 ∂ y = 0
    5. D = 4
    6. D 1 = 0
    7. D 2 = 2
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x 1 = 0
    2. Δ y 1 = 0,5
    3. x = 1 ; y = 1,5

Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.

  1. Primeiro passo: 1 ; 1,5
  2. Segundo passo:
    1. f 1   = - 0,25
    2. f 2   = 0
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 0,25 > 1 E - 1 , logo ( 1 ; 1,5 ) não é raiz
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = 0
    2. ∂ f 1 ∂ y = - 3
    3. ∂ f 2 ∂ x = 3
    4. ∂ f 2 ∂ y = 1
    5. D = 9
    6. D 1 = 0,25
    7. D 2 = - 0,75
  5. Quinto passo:
    1. Δ x = 0,28
    2. Δ y = - 0,083

Aplicando o método iterativo temos:

  1. Primeiro passo: 1,028 ; 1,417
  2. Segundo passo:
    1. f 1 = - 0,0061
    2. f 2 = 0,0787
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 0,078 < 1 E - 1 , logo ( 1,028 ; 1,417 ) é a raiz

Grandinho né? Mas relaxa, sei que você vai conseguir. E ae, o que achou? Responde Ai, vlwwwwwwww e até mais.

Resposta

x , y = ( 1,028 ; 1,417 )

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Resolva os sistemas não lineares abaixo usando seus programas pata os métodos de Newton e Newton Modificado com e = 1 o-4:
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Considere a equação dada no exemplo 3.9. Obtenha a raiz positiva com quatro casas decimais corretas. Usando (3.5) confirme que a ordem de convergência do método de newton é quadrática, isto é, p = 2.
Usando o método de Newton, com erro inferior a 10 − 2 , determinar uma raiz das seguintes equações:d) 𝑠 𝑒 𝑛   𝑥 − 𝑒 𝑥
Usando o método de Newton, com erro inferior a 10 − 2 , determinar uma raiz das seguintes equações:b) 5 x 3 + x 2 - 12 x + 4 = 0