Enunciado

Sejam C = (1, 0) e D = (0, 1). Usando o método de Newton para sistemas não lineares determine

o valor de um ponto P = (x, y), com precisão de 10−3, que diste 2 unidades de C e de D, obtendo os

valores iniciais necessários através de gráfico.

Passo 1

E aí galera do Responde Aí, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

Bem, a questão não te fornece as questões, mas ela te fornece uma forma de obter as questões. Basicamente, ela quer encontrar um ponto genérico P na qual esteja com uma distância de duas unidades simultaneamente dos pontos C e D .

Então poderemos utilizar a formula de distancia de dois pontos para obtermos as equações não lineares, a equação da distância de dois pontos é dada por:

D i s t â n c i a P 1 , P 2 = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

Questão nos informa uma precisão de 10 - 3 e fala que para encontrar a melhor estimativa inicial o ideal é plotar um gráfico para encontrar.

Agora a resolução, temos que os métodos para resolução de questões de equações não lineares são métodos iterativos, “o que é isso né?”

Um método iterativo é um método que possui uma sequência de passos que se repetem, até que a solução seja alcançada com a tolerância fornecida e o método que vamos utilizar é o método de Newton.

Eu detesto decorar, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton para sistemas de equações não lineares com duas equações e duas variáveis é o seguinte:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.
    1. f 1 , f 2   ≤ 1 E - 3
  4. Quarto passo: Método de Newton
    1. Calcular as derivadas parciais
    2. Calcular os determinantes das matrizes
      1. D = ∂ f 1 ∂ x * ∂ f 2 ∂ y - ∂ f 2 ∂ x * ∂ f 1 ∂ y
      2. D 1 = f 2 ∂ f 1 ∂ y - f 1 ∂ f 2 ∂ y
      3. D 2 = f 1 ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ x f 2
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.
    1. Δ x 1 = D 1 D ,   Δ y 1 = D 2 D
    2. y 1 = Δ y 1 + y 1
    3. x 1 = Δ x 1 + x 1
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Vamos definir aqui que o critério de convergência é

Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, vamos obter as equações não lineares. Não dá para resolver o problema sem as equações né?

Bem, temos que calcular a distância de dois pontos entre o ponto C , P

D i s t â n c i a C , P = x - 1 2 + y - 0 2

E a distância entre o ponto P , D

D i s t â n c i a D , P = x 2 + y - 1 2

E como a questão informa, ambas as distâncias precisam ser iguais a duas unidades.

D i s t â n c i a C , P = x - 1 2 + y - 0 2 = 2

D i s t â n c i a D , P = x 2 + y - 1 2 = 2

Sendo assim os nossos sistemas de equação se torna:

f 1 = x - 1 2 + y 2 - 2 = 0

f 2 = x 2 + y - 1 2 - 2 = 0

Agora precisamos encontrar a estimativa inicial, como a questão sugere a melhor forma é plotando os gráficos para que se possa obter algum valor inicial para a melhor estimativa.

Plotando o gráfico da equação f 1 , temos que:

Analisando o gráfico, conseguimos notar que 1,8 parece ser uma estimativa inicial muito boa. Pois, a raiz de uma das equações está em 1,8 .

Agora precisamos calcular as derivadas e para isso vamos utilizar as derivadas parciais:

∂ f 1 ∂ x = ( x - 1 ) x - 1 2 + y 2

∂ f 1 ∂ y = y x - 1 2 + y 2

∂ f 2 ∂ x = x x 2 + y - 1 2

∂ f 2 ∂ y = ( y - 1 ) x 2 + y - 1 2

Agora que temos todas as informações, vamos procurar a solução com o método de Newton.

Passo 3

Para encontrar a segunda raiz vamos utilizar a estimativa fornecida pelo gráfico, uma vez que já calculamos as derivadas, vamos apenas seguir o roteiro.

( 1,8 ; 1,8 )

Partindo o mesmo passo a passo, temos que:

  1. Primeiro passo: 1,8 ; 1,8
  2. Segundo passo:
    1. f 1 1,8 ; 1,8 = - 0,0302
    2. f 2 1,8 ; 1,8 = - 0,0302
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 0,0302 > 1 E - 2 , logo 1,8 ; 1,8   não é raiz.
  4. Quarto passo:
    1. ∂ f 1 ∂ x = 0,406
    2. ∂ f 2 ∂ x = 0,9138
    3. ∂ f 1 ∂ y = 0,9138
    4. ∂ f 2 ∂ y = 0,4061
    5. D = - 0,6701
    6. D 1 = - 0,01534
    7. D 2 = - 0,01534
  5. Quinto Passo:
    1. Δ x 1 = 0,0229  
    2. Δ y 1 = 0,0229
    3. x = 1,8229 ; y = 1,8229

Como não encontramos a raiz na primeira execução do método, vamos executar o método mais uma vez, utilizando a solução da primeira tentativa como estimativa do passo seguinte.

  1. Primeiro passo: 1 , 8229 ; 1,8229
  2. Segundo passo:
    1. f 1   1,8229 ; 1,8229 = 3,37 E - 5
    2. f 2   1,8229 ; 1,8229 = 3.37 E - 5
  3. Terceiro passo:
    1. f 1 , f 2   = 3,37 E - 5 < 1 E - 3 , logo 1,8229 ; 1,8229 são as raízes.

Grandinho né? Mas relaxa, sei que você vai conseguir. E ae, oque achou? Responde Ai, vlwwwwwwww e até mais.

Resposta

x = 1,8229 ; y = 1,8229

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