Enunciado

Dividir o polinômio x^6 - 3 x^5 + 4 x^2 - 5 por x^2 - 3 x - 1 e escrevê-lo na forma 3.19

Passo 1

Opa galerinha do Responde Aí, meu nome é Jacyara e hoje vamos resolver mais uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te informa dois polinômios, que são dados por:

x^6 - 3 x^5 + 4 x^2 - 5

x^2 - 3 x - 1

E pede para realizar a seguinte operação:

Como a questão não enuncia qual método utilizar, nos vamos utilizar o método da divisão tradicional, belezinha?

E aí? Vamos lá? Vamos nessa.

Passo 2

O método da divisão corresponde a utilizar a seguinte operação:

(x^6 - 3 x^5 + 4 x^2 - 5)/(x^2 - 3 x - 1)

Analisando o polinômio de ordem 2, conseguimos perceber que se multiplicamos ele por x^4 conseguimos a potência x^6 , portanto temos que:

x^4 (x^2 - 3 x - 1) = x^6 - 3 x^5 - x^4

Agora vamos realizar a seguinte operação:

- (x^6 - 3 x^5 + 4 x^2 - 5) + (x^6 - 3 x^5 - x^4) = - 4 x^2 - x^4 + 5

Para montar o polinômio resultante, invertemos o sinalzinho da equação e por isso o resultante é dado por:

+ 5 x^2 + 3 x^3 - 5

Portanto temos que a nossa operação polinomial se torna o que sobrou dividido pelo polinômio x^2 - 3 x - 1 , gerando:

x^4 + (x^4 + 4 x^2 - 5)/(x^2 - 3 x - 1)

Agora para que o polinômio do divisor fiquei com a potência 4 temos que multiplicar por x^2 , gerando o seguinte polinômio:

x^2 (x^2 - 3 x - 1) = x^4 - 3 x^3 - x^2

E realizando novamente a mesma operação de subtração, temos:

- ( x^4 + 4 x^2 - 5 ) + (x^4 - 3 x^3 - x^2) = - 5 x^2 - 3 x^3 + 5

Para montar o polinômio resultante, invertemos o sinalzinho da equação e por isso o resultante é dado por:

5 x^2 + 3 x^3 - 5

Vamos realizar esse passo em todos os resultados posteriormente, certinho? Sendo assim conseguimos gerar o seguinte polinômio:

x^4 + x^2 + (3 x^3 + 5 x^2 - 5)/(x^2 - 3 x - 1)

Para igualar a maior potência do polinômio do numerador, temos que multiplicar o denominador por 3 x , analogamente temos:

- 3 x (x^2 - 3 x - 1) - (3 x^3 + 5 x^2 - 5) = 4 x^2 + 3 x - 5

Portanto temos:

x^4 + x^2 + 3 x + (14 x^2 + 3 x - 5)/(x^2 - 3 x - 1)

Como temos que os polinômios do numerador e denominador tem a mesma ordem precisamos apenas igualar o número que multiplica eles portanto, vamos multiplicar o denominador por 14 e chegar na seguinte operação:

- 14 * (x^2 - 3 x - 1) + 14 x^2 + 3 x - 5 = - 45 x - 9

Finalmente o resultado final do nosso polinômio é dado por:

x^4 + x^2 + 3 x + 14 + (45 x + 9)/(x^2 - 3 x - 1)

Não podemos dividir mais porque o nosso numerador possui uma ordem de polinômio menor, portanto, ficamos por aqui.

E ai, curtiu? Responde Aí e até mais.

Resposta

x^4 + x^2 + 3 x + 14 + (45 x + 9)/(x^2 - 3 x - 1)

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Resolva os sistemas não lineares abaixo usando seus programas pata os métodos de Newton e Newton Modificado com e = 1 o-4:
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Considere a equação dada no exemplo 3.9. Obtenha a raiz positiva com quatro casas decimais corretas. Usando (3.5) confirme que a ordem de convergência do método de newton é quadrática, isto é, p = 2.
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Usando o método de Newton, com erro inferior a 10 − 2 , determinar uma raiz das seguintes equações:b) 5 x 3 + x 2 - 12 x + 4 = 0