Enunciado

Faça J 10 1 = 0 e J 9 1 = μ . Use a formula do exercício anterior, na forma:

J n - 1 1 = 2 n J n 1 - J n + 1 ( 1 )  

E calcule J 8 ( 1 ) , ( 7 ) ,.... Encontre μ através da identidade:

J 0 x + 2 J 2 x + 2 J 4 x + … = 1

E calcule J 9 1 , J 8 1 , … , J 0 1 . Com esses resultados se comparam com os valores exatos.

Passo 1

Opa e aí galerinha do Responde Aí, meu nome e jacyara e vamos resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te informa três informações, a primeira é que

J 10 1 = 0

J 9 1 = μ

E ainda te informa que:

J 0 x + 2 J 2 x + 2 J 4 x + … = 1

A ideia é utilizar a seguinte equação de recorrência:

J n - 1 1 = 2 n J n 1 - J n + 1 ( 1 )  

Fazendo o n varia de 10 até 0 e montarmos uma equação que depende só de μ encontrando o valor μ podemos assim calcular os demais valores dos J n .

E ai? Podemos começar? Então vamos lá.

Passo 2

Vamos começar com os primeiros valores de J que é dado pela questão:

J 10 1 = 0

J 9 1 = μ

Como já temos o J 10 e o J 9 precisamos do J 8 e para isso precisamos fazer n = 9 , porque 9 - 1 = 8 .

Sendo assim a equação de recorrência para n = 9 é dada por:

J 8 1 = 2 * 9 * J 9 1 - J 10 1 = 18 μ - 0  

Para calcular o J 7 precisamos fazer n = 8 e obter a seguinte equação:

J 7 1 = 2 * 8 * J 8 1 - J 9 1 = 16 * 18 μ - μ = 287 μ  

Agora vamos fazer o n variar até chegar em 0 e vamos obter as seguintes equações:

J 6 = 2 * 7 * J 7 - j 8 = 14 * 287 * μ - 18 μ = 4000 μ

J 5 = 2 * 6 * J 6 - J 7 = 47713 μ

J 4 = 2 * 5 * J 5 - J 6 = 473130 μ

J 3 = 2 * 4 * J 4 - J 5 = 3737327 μ

J 2 = 2 * 3 * J 3 - J 4 = 21950832 μ

J 1 = 2 * 2 * J 2 - J 3 = 84066001 μ

J 0 = 2 * 1 * J 1 - J 2 = 146181170 μ

Agora vamos utilizar à seguinte relação:

J 0 x + 2 J 2 x + 2 J 4 x + … = 1

E vamos somar todos os elementos que o n é par, só que olha todos eles têm o fator μ em comum, sendo assim, vou colocar o fator μ em evidencia e somar todos os números que multiplica e gerar a seguinte igualdade

359169132 μ = 1

Portanto, temos:

μ = 1 359169132 ≅ 2,78 E - 9

Passo 3

Agora vamos utilizar o valor de μ para calcular o valor de cada J n sendo assim os valores de J n são dados por:

J 0   = 0,406998144

J 1 = 0,234056865

J 2 = 0,061115586

J 3 = 0,010405479

J 4 = 0,00131729

J 5 = 0,000132843

J 6 = 1,11368 E - 05  

J 7 = 7,99066 E - 07

J 8 = 5,01157 E - 08

J 9 = 2,7842 E - 09

J 10 = 0

Como podemos ver a medida que o n cresce temos que o valor de J n → 0 , portanto condiz com os valores reais da função de Bessel.

Resposta

Todas as alternativas foram devidamente respondidas.

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