Enunciado

Verifique que não é possível determinar as raízes de P x = x 2 - x + 2 , utilizando o algoritmo Q-D

Passo 1

Opa galerinha aqui quem fala é a jacyara e hoje vamos resolver mais uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te informa que não é possível encontrar as raízes do polinômio x 2 - x + 2 pelo algoritmo Q-D e pede para você mostrar isso.

Bem, o Algoritmo Q-D é um método para encontrar raízes de polinômios baseado na construção de uma tabelinha.

Que dado um polinômio do tipo:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 0

Podemos construir uma tabelinha que as primeiras duas linhas podem ser dada da seguinte forma:

E os novos e ( k ) e q k podem ser calculados com as seguintes expressões:

q k = e k   -   e k - 1 +   q k

e k   = q k + 1 q k   e k

Onde k varia de 2 até o grau máximo do polinômio portanto, como temos um polinômio de grau 2 temos apenas até k = 2 e temos que n = 2 .

E para provar o que a alternativa pede temos que provar que ao longo da conta para montagem dessa matriz existe algum q k = 0 , porque mostra uma divisão por 0 mostrando que o método não pode ser utilizado.

Mas e ai? Podemos começar? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar o nosso polinômio que é dado por:

x 2 - x + 2

Portanto, temos que nossos coeficientes são dados por:

Agora vamos montar a primeira linha da nossa tabelinha fazendo n = 2 .

Agora vamos utilizar as formulas de recorrência para calcular os novos q k e gerar a seguinte tabelinha:

E vamos agora calcular os novos e k e gera mais uma linha na nossa tabelinha:

Agora vamos calcular nosso novo q k , mas olha só:

q 1 = e 1   -   e 1 - 1 +   q 1 = - 1 - 0 + 1 = 0

Como temos um q 1 = 0 o método não pode continuar e não pode encontrar as raízes da equação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Usando o método de Newton, com erro inferior a 10−2, determinar uma raiz das seguintes equações:a) 2 𝑥 = 𝑡 𝑔 𝑥
Considere a fórmula para determinar a raiz cúbica de Q: 𝑥 𝑘 + 1 = 1 3 2 𝑥 𝑘 + 𝑄 𝑥 𝑘 2 ,   𝑘 = 0,1 …   b) Usando a fórmula, calcule 4 3 com precisão de 10 − 2 , determinando o valor inicial atr