Enunciado

A equação 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 − 3 𝑥 2 = 0 tem três raízes. Um método iterativo pode ser definido usando a preparação óbvia da equação:

𝑥 = ± 𝑒 𝑥 3

i) Verificar que começando com x0 = 0 haverá convergência para a raiz próxima de –0.5, se o valor negativo for usado e que haverá convergência para a raiz próxima de 1.0, se o valor positivo for usado.

ii) Mostrar que a forma acima não converge para a terceira raiz próxima de 4.0, qualquer que seja a aproximação inicial próxima da raiz.

Passo 1

Opa! Tudo certinho? Teremos um grande rolê neste exercício, hein!? Vamos primeiramente fazer os testes que foram propostos, começando com x0 = 0 e usando o valor negativo do método iterativo ficamos com:

𝑥 1 = − 𝑒 0 3 = − 0.57735

𝑥 2 = − 0.43258  

𝑥 3   =   − 0.46506  

(...)

Deu certo! Usando o valor negativo, chegamos em uma raiz próxima a –0.5!

Agora fazendo o mesmo, porém com a fórmula iterativa com sinal positivo:

𝑥 1   =   + 𝑒 0 3 = 0.57735

𝑥 2 = 0.77057  

𝑥 3   =   0.84872  

(...)

𝑥 9 = 0.90948  

(...)

Novamente verificamos que o enunciado fez afirmações verdadeiras! Usando o sinal positivo, obtemos uma raiz próxima de 1.0, conforme citado.

Passo 2

Partindo para o segundo tópico da questão, vamos verificar que a fórmula iterativa não converge para sua raiz próxima de 4.0 . Para isso, vamos utilizar valores próximo de 4.0 e verificar se de fato, não há convergência:

Para 𝑥 1 = 3.9  

, considerando o método positivo e negativo:

𝑥 1   =   − 𝑒 3.9 3 = − 4.05801 …     𝑒   𝑥 1   =   𝑒 3.9 3 = 4.05801 …

𝑥 2   =   ±   4.39162 …

A cada iteração o valor aumenta, e 𝑥 3 =   ±   5.18880   , e o valor só tende para o infinito. Assim, independente do sinal, o método iterativo não irá convergir para a raiz próxima a 4.0 .

Resposta

Não converge!

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