Enunciado

Mostre que se A satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A se decompõe de maneira única no produto L D U , onde L   e   U são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, ambas com 1 na diagonal, e D é matriz diagonal. Além disso, d e t ( A )   =   d 11 d 22   . .   . d n n .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide ele pede para mostrar que se A satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A se decompõe de maneira única no produto L D U , onde L   e   U são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, ambas com 1 na diagonal, e D é matriz diagonal. Além disso, d e t ( A )   =   d 11 d 22   . .   . d n n .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então rapaziada nessa questão ele deseja mostrar que A satisfaz as hipoteses de decomposição de L U sendo,

A = d 11 d 12 d 13 d 21 d 22 d 23 d 31 d 32 d 33 ;

Tendo,

A ' = d 11 d 12 d 13 0 d 22 d 23 0 0 d 33 ;

Ficando a matriz de fatores,

3 3 1 2 2 - 1 1 - 1 5 7 3 5

Ficando,

det A = ⁡ 3 3 2 2 = 6 - 6 = 0

Logo,

3 3 1 0 - 2 14 3 0 0 - 5 3 7 8 - 5 3

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

3 3 1 0 - 2 14 3 0 0 - 5 3 7 8 - 5 3

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Seja A ,n×n , decomponível em L U . Sejam A i,i=1 ,2 , .. ., n , os menores principais de ordem i . Mostre que: u i i = ∆ i ∆ i - 1 ,i = 1,2 , … , n , Onde, ∆ i = det ⁡ A i , ∆ n = det ⁡ Ae∆ 0 = 1 .
Considere o sistema: 5 x 1 + 2 x 2 + x 3 = - 12 - x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 20 2 x 1 - 3 x 2 + 10 x 3 = 3 a) Resolva-o usando decomposição L U . b) Calcule o determinante de A , usando a decomposição.
Resolver o sistema A x = b , onde:A = ([[2,3,-,1],[1,0,2],[0,3,-,1]]) ; x = ([[x_1],[x_2],[x_3]]) ; b = ([[4],[3],[2]]) usando a decomposição L U .
Aplicando-se o método da decomposição LU à matriz: A = … … 3 … 4 - 1 10 8 … - 3 12 11 0 … 0 10 obteve-se as matrizes: L = … 0 … … 2 … … … 3 0 … 0 0 … 1 … , U = … - 1 … 5 … 1 … - 2 … 0 3 - 4 0 … 0 10 P